非参数计量经济联立模型的局部线性工具变量估计

  本文关键词：非参数计量经济联立模型的局部线性工具变量估计，由笔耕文化传播整理发布。

　

摘　要: 发展了一种非参数联立方程计量经济模型的估计 方法。 将非参数单方程计量经济模型的局部线性估计方法与 传统联立方程计量经济模型的工具变量估计方法相结合, 在 随机设计下, 提出了非参数联立方程计量经济模型的局部线 性工具变量估计方法, 并利用大数定律和中心极限定理等在 点处具有一致性和渐近正态性, 其收敛速度达到了非参数模 型估计的最优收敛速度。

内点处研究了该方法的大样本性质。结果表明: 该方法在内

关键词: 计量经济模型; 非参数模型; 局部线性估计; 工具 变量估计; 渐近正态性

中图分类号: F 224

Abstract: T h is

m odel .

non 2 aram etric sim u ltaneou s equat ion s econom etric m odel A local p . linear estim ation w as u sed w ith in st rum en tal variab les, w hen all variab les w ere random. A local linear estim ation m ethod fo r non 2 aram etric single equation m odel w as com b ined w ith the p T he p roperties under large sam p le size w ere stud ied in in terio r po in ts by u sing large num bers law and cen tral lim it theo rem. T he resu lts show that th is m ethod has con sistency and asym p to tic no rm ality in in terio r po in t s, and its convergence rates are estim ation. Key words: econom et ric m odel; non 2 aram etric m odel; local linear p estim ation; in strum en tal variab le estim ation; asym p to tic no rm ality trad itional in strum en tal variab le m ethod fo r sim u ltaneou s equat ion s equal to the op tim al convergence rate of the non 2 aram etric m odel p

文章编号: 100020054 ( 2002) 0620714204
YE Azhong , L I Z ina i

ISSN 100020054 清华大学学报 ( 自然科学版) 2002 年 第 42 卷 第 6 期 　 CN 1122223 N . J T singhua U n iv ( Sci & T ech ) , 2002, V o l 42, N o. 6

非参数计量经济联立模型的局部线性工具变量估计
叶阿忠1, 2 , 　李子奈1

(1. 清华大学 经济管理学院, 北京 100084; 2. 福州大学 管理学院, 福州 350002)

经济模型的研究在近 30 年间得到了迅速的发展并 趋于成熟[ 1, 3～ 5 ] , 而关于非参数联立方程计量经济模 型的研究在国际上刚刚起步[ 3 ]。 联立方程计量经济模型在经济政策制定、 经济

结构分析和经济预测方面具有重要作用[ 6 ] , 与传统 联立方程模型相比, 非参数联立方程模型能更好地 描述现实经济现象, 具有较高的拟合优度。N ew ey, [7 ] Pow ell 和 V ella 提出了非参数联立方程模型的两 阶段正交序列估计方法, 并证明其相合性和渐近正 态性。 但是该方法得出的正交序列系数没有经济意 义, 所依赖的已知条件 Κ( u ) = Κ 是人为确定的, 其收 敛速度未必达到 Stone [ 8, 9 ] 提出的最优收敛速度。采 用局部线性拟合的方法对非参数单方程模型进行估 计, 已 经 被 认 为 是 研 究 非 参 数 模 型 的 有 效 方 法[ 2, 5, 10～ 12 ]。 但是, 在单方程模型中是一致估计的方
-

文献标识码: A

L oca l l inear est i a t ion w ith in strum en ta l m var iables for non - param etr ic s i ultaneous equa t ion s m econom etr ic m odel
(School of Econom ics & M anagem en t, Tsinghua Un iversity, Be ij ing 100084, Ch ina) p resen t s an

法在联立方程模型中不再是一致估计的方法[ 6 ]。 本文将非参数单方程模型的局部线性估计方 法[ 5 ] 与传统联立方程模型估计方法相结合, 在随机 设计下, 首次提出了非参数计量经济联立模型的局 部线性工具变量估计方法, 并在内点处研究了它的 大样本性质和收敛速度。

pap er

estim ation

m ethod

fo r

1　非参数联立模型局部线性工具变量估计

　　将非参数联立方程计量经济模型中的某结构式 方程表示为 ( 1) Y i = m (X i ) + u i , 其中: (X 1 , Y 1 ) , …, (X n , Y n ) 是在 R d + 1 上取值的独立

2 38 7142717

非参数计量经济模型的研究是当前计量经济学 研究中的一个重要方向[ 1, 2 ] , 其中非参数单方程计量

收稿日期: 2001210229

基金项目: 教育部人文社会科学重点研究基地重大项目
(01JA ZJD 790004)

作者简介: 叶阿忠 (19632) , 男 ( 汉) , 福建, 副教授。
. . E 2 ail: yaz@p ub3. fz fj cn m

通讯联系人: 李子奈, 教授。E 2 ail: lizinai@ tsinghua. edu. cn m

叶阿忠, 等: 　非参数计量经济联立模型的局部线性工具变量估计

715

同分布的随机变量向量序列, u i 是均值为零且相互 独立的随机变量。 假定解释变量向量 X i = [ X 1 i , …,
X
di

] T 中 某 些 变 量 与 随 机 误 差 项 u i 相 关, 即

E (X iu i ) ≠O 或 E ( u i X i ) ≠0。非参数函数 m 及其一

　　条件 2: ( Z W xX x )
T T

阶、 二阶导数有界连续, 其估计的最优收敛速度为
n
- 2 ( d + 4) [ 12, 13 ]

存在, 其中 T Z = [ Z 1 , …, Z n ] , 　X x = (X x , 1 , …, X x , n ) ,
- 1

　

。

设 Z 1 , …, Z n 是 R d + 1 维独立同分布的随机变量 向量, Z i = [ Z 0 i , Z 1 i , …, Z d i ] T 与 X i 相关, 但与 u i 不 相关, 即有 E ( Z iu i ) = O , E ( Z iu i X i ) = O。 称 Z i 为 X i 的工具变量向量。 设 f ( ) 是 X i 的密度函数, f ( x ) > 0, 有凸支撑 d supp ( f ) < R , f 是有界连续函数, 其一阶导数连
2

W x = d iag [ K h n (X 1 -

续; g i ( x ) = E ( Z i1 X 1 = x ) 和 p i ( x ) = E ( ( Z i1 ) X 1 = 2 x ) 有界连续; F ij ( x ) = E [ Z i1 Z j 1 ( u 1 ) X 1 = x ] 有界 连续。
hn
- d

设 K ( ) 是 d 维 密 度 函 数, 令 K hn ( u ) = - 1 K ( h n u ) , 称 K 为核函数, h n 为窗宽, K h n ( ) 为
d

核权函数。K 有紧支撑
supp ( K ) <

∏[ i= 1

且

K ( u ) ≥ 0, 　 K ( u ) d u = 1, 　 K ( u ) u d u = O ,
T 2

δ 　　定义 2: A 的局部线性工具变量估计 A IV ( h n , K ) 满足下式:

其中: Λ2 (K ) ≠0, I 为单位阵。
( b ) h n →0, nh d + 2 →+ ∞; n ( c) h n = cn 1 ( d + 4)

d 条件 1: ( a ) h n →0, nh n →+ ∞;

若存在 h 0 > 0, 使得当 h ≤h 0 时, ( x , h = supp ( K ) , 则称 x 为内点。 否则称之为边界点。 其中:
m (X i ) ≈ Α+ (X i D m (x ) =
T x ) B = [ 1, (X i -

约定: i 为元素全为 1 的矩阵或列向量或行 向量。 m (X i ) 在局部 x 处有线性近似:
x ) ]A ,
T

定义 1: 给定 x ∈ supp ( f ) < R d 和窗宽 h , 记 ( x , h = {z: ( x + hz ) ∈ supp ( f ) } ∩ supp ( K ). Α= m ( x ) , 　B = D m ( x ) , 　A = [ Α B T ] T , , 9m ( x ) 9m ( x ) … 9x 1 9x d
T

∫ ∫ K ∫(u ) uu du = Λ (K ) I ,

, c> 0 为常数。

1, 1 ] < R d , .

( 2)

　　设 x ∈ supp ( f ) < R d 为内点, 则不妨设对任意 的 n , 都有 ( x , hn = supp ( K ) 。 可将模型 ( 1) 写成矩阵形式: Y= M + U , 其中: T T M = [m (X 1 ) , …, m (X n ) ] , U = [ u 1 , …, u n ] 。由 m (x ) 1 + Q m ( x ) , 其中: T aylo r 展开, M = X x 2 (x ) Dm T Q m ( x ) = [ (X 1 - x ) H m ( z 1 ( x , X 1 ) ) (X 1 - x ) , …, (X n - x ) T H m ( z n ( x , X n ) ) (X n - x ) ] T ,
H m (x ) =

　　在条件 2 下, 由式 ( 3) 解出: δ T - 1 T A IV ( h n , K ) = ( Z W xX x ) Z W x Y,
T

其中 Y= [ Y 1 , …, Y n ] 。 于是, m ( x ) 的局部线性工具变量估计为: T T - 1 T δ m IV ( x ; h n , K ) = e1 ( Z W xX x ) Z W x Y, 其中, e 1 = ( 1, 0, …, 0) 。
T

2　局部线性工具变量估计在内点处的性质

‖z i ( x , X i ) - x ‖ ≤ ‖X i - x ‖ . 　　由 X i 相互独立, 可知 z i ( x , X i ) 相互独立。 容易 得到 δ m IV ( x ; h n , K ) - m ( x ) =
n
- 1
n

　　由条件 2, 明显有
n
- 1

　　引理 1: ( a ) 在条件 1 ( a ) 下,
n
- 1

其中 g (x ) = E ( Z 1 X 1 = x ) 。 ( b ) 在条件 1 ( b ) 下,
n
- 1

2 T T 2 Λ2 ( K ) h n [ g ( x ) D f ( x ) + f ( x ) D g ( x ) ] + op ( h n i).

6

n

Z i (Y i -

T

i= 1

K h n (X i -

X x , i = ( 1, (X i -

T - 1 T e 1 ( Z W xX x ) Z W x

T

Z W xX x =

T

n

- 1

6

n

K h n (X i -

i= 1

6

6

K h n (X i -

i= 1

n

K h n (X i -

i= 1

δ [ 1, (X i - x ) T ]A IV ( h n , K ) )
x ) = O.
T T x) ) ,

( 3)

x ) , …, K h n (X n -

x ) ].

( 4)

( 5)

x ) Z i = f ( x ) g ( x ) + op ( i) ,

9 2m ( x ) 9 x i 9x j

d ×d

,

1 Q m (x ) + U . 2

( 6)

x ) Z i (X i -

x ) Z i (X i -

6

n

K h n (X i -

x ) Z i,

i= 1

x)

T

.

( 7)

x) =

T

716

清 华 大 学 学 报 ( 自 然 科 学 版)

2002, 42 ( 6)

　　 ( c) 在条件 1 (b ) 下,
n A 11 ( x ) + op ( 1) A 21 ( x ) + op ( 1)
- 1

Z W xX x =
2 2 2 2

T

n

- 1

其中:

A 11 ( x ) = f ( x ) g 0 ( x ) ,
T

A 12 ( x ) = g 0 ( x ) D f ( x ) + f ( x ) D g 0 ( x ) , A 21 ( x ) = f ( x ) g 1 ( x ) ,
T T

A 22 ( x ) = g 1 ( x ) D f ( x ) + f ( x ) D g 1 ( x ) ,

[ g 0 ( x ) , ( g 1 ( x ) ) T ] T = g ( x ).

　　 ( d ) 在条件 1 ( a ) 下,
n
- 1 2 T

Z W xQ m ( x ) =

　　 ( e ) E [ n - 1 Z TW xU ] = 0 和 va r [ n - 1 Z TW xU ] = - 1 - d - 1 - d n h n R ( K ) F ( x ) f ( x ) + o ( n h n i) , 其中:
F ( x ) = E ( u i Z i Z i X i = x ).
2 T

　　为证明引理 1, 需要如下引理 2。 引理 2: 设 R d 中函数 v ( x ) 及其导数 D v ( x ) 在 x 处连续, 则在条件 1 (a ) 下,

∫ ∫ (K (Q ) ) v (x ) dQ + o (1) , l= 1, 2. (b ) ∫ (K (Q ) ) v (x + h Q )Q dQ = h ∫ K (Q )QQ D (x ) dQ + o (h i) =
(a )
supp ( K )

( c)

(d )

这里省略引理 2 的证明。 对于引理 1, 只证明 ( b ) , 其它类似可证。而对于 引理 1 ( b ) , 只需证明
n
- 1

注意到

2 2 Λ2 ( K ) h n [ g j ( x ) D f ( x ) + f ( x ) D g j ( x ) ] + op ( h n i).

f ( x ) Λ2 ( K ) h n t r{H m ( x ) }g ( x ) + op ( h n i).
2

( K (Q ) ) l v ( x + h nQ ) dQ =
l

supp ( K )

supp ( K )

n

supp ( K )

∫ ∫

supp ( K )

supp ( K )

∫ ∫

supp ( K

v ( x + h nQ ) dQ =
supp ( K

6

n

i= 1

h n Λ2 ( K ) D v ( x ) + o ( h n i). l = 1, 2. l = 1, 2.

( K (Q ) ) l v (x + h nQ ) QQ T dQ = ( K (Q ) ) l v (x ) QQ T dQ + o ( i) ,

[ K (Q ) Q TH m ( z i (x , x + h nQ ) ) Q ] l ? ) [ K (Q ) Q TH m ( x ) Q ] l v ( x ) dQ + o ( 1) , )

K h n (X i - x ) Z j i (X i - x ) =

Λ2 ( K ) h nA 12 ( x ) + op ( h n i) Λ2 ( K ) h nA 22 ( x ) + op ( h n i)
T
n

E K h n (X 1 -

,

T

v

n

其中, 7 是 va r ( K hn (X 1 - x ) Z j 1 (X 1 - x ) ) 的对角元 素组成的列向量。 由 g j 和 f 的连续性和引理 2 (b ) , 可得到 E K h n (X 1 - x ) Z j 1 (X 1 - x ) =
E {E [ K h n (X 1 E [ K h n (X 1 x ) Z j 1 (X 1 x ) X 1 ]} = x) ] = x ) g j (X 1 ) (X 1 -

∫

g j (X 1 ) (X 1 -

∫
2

supp ( K )

K (Q ) g j ( x + h nQ ) f ( x + h nQ ) h nQ dQ =
2

　　因为

由 p j 和 f 的连续性和有界性及引理 2 (c) , 可得到 E { [ K h n (X 1 - x ) Z j 1 (X 1 - x ) ]
[ K h n (X 1 - x ) Z j 1 (X 1 - x ) ] T } =
2 x ) ) p j (X 1 ) (X 1 -

E [ ( K h n (X 1 -

所以

于是, 在条件 1 ( b ) 下,

h n Λ2 ( K ) [ f ( x ) D g j ( x ) + g j ( x ) D f ( x ) ] + o ( h n i).

va r ( K h n (X 1 - x ) Z j 1 (X 1 - x ) ) =
E {K h n (X 1 x ) Z j 1 (X 1 x) -

E [ K h n (X 1 -

{K h n (X 1 - x ) Z j 1 (X 1 - x ) x ) Z j 1 (X 1 -

E [ K h n (X 1 -

E { [ K h n (X 1 -

[ K h n (X 1 - x ) Z j 1 (X 1 - x ) ] T } -

{E [ K h n (X 1 - x ) Z j 1 (X 1 - x ) ]}

{E [ K h n (X 1 - x ) Z j 1 (X 1 - x ) ]}T ,

∫
- d+ 2

supp ( f )

p j (X 1 ) f (X 1 ) (X 1 hn

hn

- d+ 2

∫

supp ( K )

va r ( K h n (X 1 - x ) Z j 1 (X 1 - x ) ) =
- d+ 2

O (h n

6

n

K h n (X i -

x ) Z j i (X i -

x) =
- 1

i= 1

x ) Z j 1 (X 1 -

x ) + O p (】 n

supp ( f )

- 1 h n K ( h n (X 1 -

- d

x) )

x ) f (X 1 ) dX 1 =

x ) Z j 1 (X 1 -

x ) ]} ×

x ) ]} = x) ]

T

x ) Z j 1 (X 1 -

x ) (X 1 -

- d - 1 [ h n K ( h n (X 1 - x ) ) ] 2

x ) (X 1 -

x ) dX 1 =

T

∫

supp ( K )

[ K (Q ) ] 2 p j ( x + h nQ )

T f ( x + h nQ ) QQ dQ =

[ K (Q ) ] 2 p j ( x ) f ( x ) QQ T dQ +
I ) = O (h n
- d+ 2

o (h n

- d+ 2

i) ,

i) - O ( h n i) = O ( h n

4

- d+ 2

i).

7〈) ,
T

x) ] =

叶阿忠, 等: 　非参数计量经济联立模型的局部线性工具变量估计

717

O p (】 n

- 1

O p (】 h n n
- 1

　　由引理 1 和文 [ 13 ] 第 . 3 节中命题2. 26、 练习 2. 35 和推论 2. 36, 容易推得如下引理。 引理 3: 在条件 1 ( b ) 下, T - 1 T - 1 ( 8) e 1 ( n Z W xX x ) = B ( x ) + op ( i) , 其中:
b 1 ( x ) = [A B ( x ) = ( b1 ( x ) , b 2 ( x ) ) ,

( x ) - A 12 ( x ) (A 22 ( x ) ) - 1A 21 ( x ) ] - 1 , b 2 ( x ) = - (A 11 ( x ) ) A 12 ( x )
11 11

[A 22 ( x ) ) - A 21 ( x ) (A

至此, 可以得到下述定理与推论。 定理 1: 在条件 1 ( c) 下,
n
2 ( d + 4) 2

N

c

2

其中:

a ( x ) = f ( x ) t r{H m ( x ) }B ( x ) g ( x ) ,
T b (x ) = f (x )B (x ) F (x )B (x ) ) .

　　证明: 由中心极限定理容易推得
n
2 ( d + 4)

- d N [O , c R ( K ) F ( x ) f ( x ) ],

由引理 1 (d ) ,
n

2 ( d + 4)

c

2

2

所以,
n

2 ( d + 4)

N

c

2

　 　 再应用引理 3, 不难推出本定理成立。 推论 1: 在定理 1 的条件下, δ ( a ) E {m IV ( x; h n , K ) - m ( x ) } 2 →0,
- d c R (K ) F (x ) f (x ) .

(b )

∫
a

其中

δ m IV ( x ; h n , K )
4
a=

2 δ E {m IV ( x ; h n , K ) - m ( x ) } w ( x ) d x =

4 4 ( Λ2 ( K ) ) 2 h n + n - 1 h n d R ( K ) b+ o ( h n ) ,

Λ2 ( K ) f ( x ) t r{H m ( x ) }g ( x ) ,
n
- 1

2

7〈) = O p ( 】- 1O ( h n n - d+ 2

d+ 2

)〈) = i

b=

2 〈) = op ( h n i). i

b( ∫x )w (x ) dx ,

w ( x ) ≥0 为某权数。

3　结　论
定理 1 说明, 局部线性工具变量估计的渐近分 布为正态分布。 该定理的条件允许模型的随机误差 项存在异方差现象, 所以当随机误差项异方差时, 该 结论仍成立。 推论 1 (a ) 说明, 局部线性工具变量估计依 2 阶 矩收敛或均方误差收敛, 于是也是依概率收敛, 即局 部线性工具变量估计是一致估计。 由推论 1 (b) 知, 本模型的局部线性工具变量估 (d+ 计的收敛速度为 n - 2 4) , 于是该收敛速度达到通 常解释变量与随机误差项不相关的非参数模型估计 的最优收敛速度[ 8, 9 ]。

( x ) ) - 1A 12 ( x ) ] - 1.

Λ2 ( K ) a ( x ) , c- d R ( K ) b ( x ) ,
n
- 1

Λ2 ( K ) f ( x ) t r{H m ( x ) }g ( x ) ,
p

δ [m IV ( x ; h n , K ) - m ( x ) ]
n
- 1

L

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  本文关键词：非参数计量经济联立模型的局部线性工具变量估计，，由笔耕文化传播整理发布。