半参数计量经济联立模型的变窗宽估计理论

发布时间：2016-08-01 16:08

  本文关键词：半参数计量经济联立模型的变窗宽估计理论，由笔耕文化传播整理发布。

半参数计量经济联立模型的变窗宽估计理论

叶阿忠 吴相波 黄志刚

(福州大学管理学院，福建 福州 350002)

摘要：联立方程模型在经济政策制定、经济结构分析和经济预测方面起重要作用。文章将半参数单方程计量经济模型的局部线性估计方法与传统联立方程计量经济模型的工具变量估计方法相结合, 在随机设计(模型中所有变量为随机变量)下, 提出了半参数联立方程计量经济模型的局部线性工具变量变窗宽估计方法, 并利用极限理论研究了估计的大样本性质。结果表明：参数分量的估计具有一致性和渐近正态性且收敛速度为n

-1/2

；非参数分量估计在内点处具有一致性和渐近正态性, 其收敛速度达到了非参数函数估计的

最优收敛速度。

关键词：半参数模型；局部线性估计；工具变量估计；变窗宽估计；渐近正态性

Theory of variable bandwidth estimation for

semi-parametric simultaneous equations econometric models

YE Azhong, WU Xiangbo, HUANG Zhigang

(College of Management, Fuzhou University, Fuzhou, Fujian 350002)

Abstract: Econometric simultaneous equation models play an important role in making economic policies, analyzing economic structure and economic forecasting. This paper presents an estimation method for semi-parametric simultaneous equations econometric model. A local linear estimation with variable bandwidth was used with instrumental variables, when all variables were random. A local linear estimation method for semi-parametric single equation model was combined with the traditional instrumental variable method for simultaneous equations model. The properties under large sample size were studied by using the asymptotic theory. The results show that the estimators of the parameters have consistency and asymptotic normality, and their convergence rates are equal to n. And the estimator of the nonparametric function has the consistency and asymptotic normality in interior points and its rate of convergence is equal to the optimal convergence rate of the nonparametric function estimation.

Key words: semi-parametric models; local linear estimation; instrumental variable estimation; variable bandwidth estimation; asymptotic normality

-1/2

0 引言

计量经济联立模型在经济政策制定、经济结构分析和经济预测方面起重要作用线性计量经济联立模型

[1-3]

[1-2]

。传统的线性或非

容易造成单方程的设定误差，致使联立方程的累积误差较大，不能很好地反映

[4-8]

现实中的经济现象。目前非参数计量经济联立模型的估计理论已取得较大进展，但已有的研究存在的

共同局限性有两方面，一是假定经济变量的关系未知，而现实中的经济变量的关系是部分已知的；二是模型非参数回归函数估计趋于实际量的收敛速度慢。变窗宽估计的窗宽可随着观察点的不同而不同，这样有的附近数据多的点的窗宽可取小一些，附近数据少的点的窗宽可取大一些，从而改进估计效率

收稿日期：2007-01-

基金项目：国家自然科学基金资助项目(70371025)；教育部人文社会科学研究资助项目(02JA790014)

作者简介：叶阿忠(1963-)，男，福建沙县人，博士，教授，电话：13950313537，Email：ye2004@fzu.edu.cn。 [8-10]

。本文

将作者的非参数计量经济联立模型的变窗宽估计理论进行扩展，，提出半参数计量经济联立模型的局部线性工具变量变窗宽估计，并证明了参数分量估计的渐近正态性和一致性，且其收敛速度为n?1/2(与经典线性回归模型参数的收敛速度一致

[3][11]

[8]

)，还证明了非参数分量估计(在内点处)的渐近正态性和一致性，它的

收敛速度达到了非参数函数估计的最优收敛速度。我们的研究表明：由于半参数模型中的部分解释变量与被解释变量的关系已知，所以，其参数分量和非参数分量估计的收敛速度快于非参数模型回归函数估计的收敛速度，这与经典的半参数单方程回归模型的结论一致

[12-13]

。从而，本研究建立的半参数计量经济联立

模型的工具变量变窗宽估计理论有效地克服和弥补了已有的非参数计量经济联立模型估计理论的缺陷，使得联立模型的估计理论更具有实用价值。

1局部线性工具变量变窗宽估计

设半参数计量经济联立模型的某结构式方程为

Yi=Xiβ+m(Pi)+ui(i=1,??,n) (1)

其中β是未知参数，m(?)是未知函数，(X1,P1,Y1),??,(Xn,Pn,Yn)是在R

d+1

(d=dx+dp)上取值的独

立同分布的随机变量向量序列，ui是均值为零且相互独立的随机变量。假定解释变量向量

T

Xi=(X1i,??,Xdxi)T和Pi=(Pdpi)中某些变量是内生变量与随机误差项ui相关，即 1i,??,P

E(Xiui)≠0，E(Piui)≠0 (2)

经典的半参数回归模型假定解释变量与随机误差项不相关

T

[12-13]

，但在联立模型中该假定被破坏

[1-3]

，或是

与被解释变量关系已知的解释变量Xi=(X1i,??,Xdxi)中有些变量与随机误差项相关，或是与被解释变量关系未知的解释变量Pi=(Pdpi)中有些变量与随机误差项相关。假定dp≤3，设非参数函数m及1i,??,P其一阶、二阶导数有界连续，则其估计的最优收敛速度为n速度)。设Z1,??,Zn是R

d+1

T

?2/(dp+4)[14-15]

( dp过大将会降低m估计的收敛

上独立同分布的随机变量向量，其中Zi=(Z1i,??,Zd+1i)T。假设

E(Ziui)=0,E(Ziui|Xi,Pi)=0，称Zi为工具变量向量。

设fP(?)是Pi=(Pdpi)的密度函数，fP(p)>0有凸支撑supp(fP)?R1i,??,P

2

2

T

dp

，fP是有界连续函数，

其一阶导数连续；E(Zji|Pi=p)、E((Zji)|Pi=p)和E(ZjiZki(ui)|Pi=p)有界连续；设K(?)是dp维密度函数，令Khn(p)=hn

?dp

K(hn?1p)，称K为核函数，Khn/α(Pi)(?)为核权函数，hn为不变窗宽，α(Pi)为

变窗宽。若掌握解释变量Pi分布的一些信息，对密度大的点取较小的窗宽，对密度小的点取较大的窗宽，这样采用与掌握的信息有关的变窗宽估计将会提高估计的效率

[8-10]

。假定核函数K有紧支撑

supp(K)?∏[?1,1]?Rp

d

i=1

dp

且

K(p)≥0,∫K(p)dp=1,∫K(p)pdp=0,∫K(p)ppTdp=μ2(K)I

其中μ2(K)≠0，I为单位阵。

定义1 给定p∈supp(fP)?R

dp

和窗宽h，记

Θp,h,α={z:(p+h(α(p))?1z)∈supp(fP)}∩supp(K)

若存在h0>0，使得当h≤h0时，Θp,h,α=supp(K)，则称p为supp(fP)的内点。否则称之为边界点。

约定 i分别是元素全为1的矩阵或列向量或行向量。 条件1 hn=c?n

T

?1/(dp+4)

(c为某常数)，α(?)有界且minα(z)>0。

z

条件2 (Z*Wp,αΦp)存在，其中Z*=(Z*1,??,Z*n)T，Z*i=(Zdx+1i,??,Zd+1i)，

?1T

Wp,α=diag{Khn/α(P1)(P1?p),??,Khn/α(Pn)(Pn?p)},Φp=(Pp1,??,Ppn)TPpi=(1,(Pi?p)T)T。

条件3 E[Z#i(m(Pi)?E[m(Pi)|Z*i])]=0，其中Z#i=(Z1i,??,Zrxi)。

T

?(α)是下列线性方程组的定义2 在条件1-2下，模型(1)中参数β的局部线性工具变量变窗宽估计βIV

解：

∑[Y?m(P,α)?(X

i

1

i

i=1

n

i

?m2(Pi,α))β]Zji=0,j=1,??,dx (3)

T

T

?1

其中m1(p,α)=e1(Z*Wp,αΦp)Z*Wp,αY，m2(p,α)=e1(Z*Wp,αΦp)Z*Wp,αX，

TT?1TT

e1=(1,0,??,0)T。

定义3 在条件1-2下，模型(1)中非参数函数m(?)的局部线性工具变量变窗宽估计为

?(α) (4) ?IV(p,α)=m1(p,α)?m2(p,α)βmIV

2 局部线性工具变量变窗宽估计的性质

引理1 在条件1-2下，m1(p,α)和m2(p,α)分别是E(Y|P=p)和E(X|P=p)的一致估计且收敛速度都是n

?2/(dp+4)

(2/(dp+4)>1/4)。

证明 由文献[8]中定理1的推论2可推得。

引理2(Chebychev不等式) 设X为随机变量，则对于任意ε>0，

P(|X?E(X)|≥ε)≤var(X)/ε2

定理1 在条件1-3下，

LT?1TT?1?(α)?β)??(0,()()β→NΓΓΓVΓΓΓ) (5) IV

其中V=E[Qi(β)Qi(β)T],Qi(β)=Z#i[Yi?E(Yi|Z*i)?(Xi?E(Xi|Z*i))β],

Γ=E[Z#i(Xi?E(Xi|Z*i))T]。

证明 由引理1知，m1(p,α)和m2(p,α)是一致估计。再应用文献[16]中定理3或文献[17]的定理1可得到本定理的结论。

注1 由定理1可知，参数分量估计的收敛速度为n?1/2，与经典线性回归模型参数的收敛速度一致

[3][11]

。

p

?(α)??→β。 推论1 在条件1-3下，βIV

证明 由定理1和引理2容易推得。

从文献[8]的引理3可知，

e1T(n?1Z*TWp,αΦp)?1=B(p,α)+op(1) (6)

其中B(p,α)=(B1(p,α),B2(p,α)),B1(p,α)=[A11(p)?A12(p,α)(A22(p,α))?1A21(p)]?1,

B2(p,α)=?(A11(p))?1A12(p,α)[A22(p,α)?A21(p)(A11(p))?1A12(p,α)]?1,A11(p)=fP(p)g0(p),

A12(p,α)=α(p)?3{fP(p)g0(p)∫

T

supp(K)

T

uTDα(p)uuTDK(u)du

T

fP

Tg0

+μ2(K)[dpfP(p)g0(p)Dα(p)+α(p)(g0(p)D(p)+fP(p)D(p))]}

,

A21(p)=fP(p)g1(p),

A22(p,α)=α(p)?3{fP(p)g1(p)∫

T

supp(K)

T

uTDα(p)uuTDK(u)du

T

fP

Tg1

+μ2(K)[dpfP(p)g1(p)Dα(p)+α(p)(g1(p)D(p)+fP(p)D(p))]}[g0(p),(g1(p))T]T=g(p)=E(Z*i|Pi=p)。

,

?IV(p,α,β)=m1(p,α)?m2(p,α)β。 记m

定理2 在条件1-2下，设p∈supp(fP)?R

dp

为内点，则

n

2/(dp+4)

c2?d

?IV(p,α,β)?m(p)]??[m→N(μ2(K)a(p,α),cpR(K)b(p,α)) (7)

2

d

其中a(p,α)=(α(p))?2fP(p)s{Hm(p)}B(p,α)g(p)，

b(p)=(α(p))pfP(p)B(p,α)F(p)B(p,α)T，

??2m(p)?

的对角元素之和。 F(p)=E(uZ*iZ|Pi=p)，s{Hm(p)}为矩阵Hm(p)=??

???pi?pj??dp×dp

2

i

T*i

d

证明 即文献[8]中定理1。

引理3 设{Xn}是一个随机变量序列且Xn??→c，设{Yn}是另一个随机变量序列且Yn??→Y,则

LL

Xn+Yn??→c+Y，XnYn??→cY

p

L

证明 该引理的结论是文献[3]Proposition 7.3(b)的特例。

定理3 在条件1-32下，设p∈supp(fP)?R

dp

为内点，则

n

2/(dp+4)

c2?d

?IV(p,α)?m(p)]??[m→N(μ2(K)a(p,α),cpR(K)b(p,α)) (8)

2

d

证明 因为

n

2/(dp+4)

?IV(p,α)?m(p)]=n[m

2/(dp+4)

?IV(p,α,β)?m(p)]?n[m

2/(dp+4)

?(α)?β) m2(p,α)(βIV

由引理1，

p

m2(p,α)??→E(X|P=p)

所以，应用引理3可推出

L?(α)?β)??n1/2m2(p,α)(β→N(0,(E(X|P=p))2(ΓTΓ)?1ΓTVΓ(ΓTΓ)?1) IV

再由Chebychev不等式(引理2)可知

n

2/(dp+4)

p?(α)?β)=n2/(dp+4)?1/2?n1/2m(p,α)(β?(α)?β)??m2(p,α)(β→0 IV2IV

结合定理2再次应用引理3可知定理3成立。

注2 由定理2可知，非参数分量估计的收敛速度为n收敛速度

[14-15]

?2/(dp+4)

（达到了估计非参数函数m的最优。另外，参数分量估计的收敛速度

），快于非参数模型回归函数估计的收敛速度n

?2/(dp+dx+4)

为n?1/2。所以，半参数模型的参数分量和非参数分量估计的收敛速度都快于非参数模型估计的收敛速度。从而，半参数模型可有效地提高模型估计的收敛速度。

?IV(p,α)??推论2 在定理3的条件下，m→m(p)。

证明 由定理3和引理2容易推得。

p

?IV(p,α)的渐近均方误差为 由定理3可推得m

AMSE(p,α,c)=

1n

4/(dp+4)

22?????c??dp

+p(K)a(,)cR(K)b(,)μααp??? (9) 2????2???

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本文编号：80525