功能梯度材料稳态热传导问题的数值流形方法研究
发布时间：2019-09-09 18:37
【摘要】：数值流形方法(Numerical Manifold Method,简称NMM)中特有的两套覆盖系统(数学覆盖系统和物理覆盖系统)使得其在分析问题时可采用与物理域边界不一致的数学覆盖系统。发展了用于研究功能梯度材料(FGM)二维稳态热传导问题的NMM。给出了控制方程和边界条件,介绍了NMM的基本概念,导出了NMM的离散方程,探讨了相关矩阵的求积策略,选取了两个典型算例对方法的可行性和精确性进行了验证,结果表明该方法可以很好地模拟FGM稳态热传导问题。
【图文】：
局部特性的覆盖函数可准确描述待研究的物理问题。从提出至今，已有一些学者采用NMM研究了热传导问题。文献[17]发展了非协调NMM并分析了无热源二维均质材料的稳态热传导问题。文献[18-20]实现了裂隙岩体的单一温度尝温度场-流场耦合问题、温度场-应力场耦合问题的NMM求解。文献[21]通过在NMM中引入奇异物理覆盖思想分析了均质材料的稳态热断裂问题。纵观已有的基于NMM的热传导研究工作[17-21]，其考察对象皆为均质材料，本文拟进一步发展用于FGM这类非均质材料热传导问题分析的NMM。2控制方程及边界条件考虑图1所示的由各向同性FGM组成的物理域Ω，该域由封闭边界123Γ=ΓΓΓUU(123Γ、Γ、Γ两两无交集)围成。根据稳态热传导理论和傅里叶定律，，该问题的控制微分方程为[22](k(X)T)+Q=0(1)其中：为梯度算子；k(X)是随平面位置X=(x,y)变化的热传导系数；T为温度；Q为热源。相应的边界条件为1T=T,(X∈Γ)(2)2(),()TkqΓ=∈XXn(3)3()(),()fTkhTTΓ=∈XXn(4)式中：123Γ、Γ、Γ分别表示第一类、第二类、第三类边界；T和q分别表示1Γ和2Γ上的温度和热流密度；h为物理域表面换热系数；fT为环境温度；n为外法向量。图1由FGM组成的物理域及其边界Fig.1ThephysicaldomainconsistingofFGManditsboundary3NMM求解FGM稳态热传导问题3.1NMM简介NMM以数值流形为基石，在DDA方法的基础上，兼顾了FEM的连续变形分析能力，其核心在于特有的两套覆盖系统，即数学覆盖系统和物理覆盖系统。该方法涉及的主要概念如下。1)数学覆盖(系统)：数学覆盖由用于离散物理域的一系列任意形状的分片组成。其形状由用户自定义，可相互重叠。所有数学覆盖的并集称为
第2期胡国栋，等：功能梯度材料稳态热传导问题的数值流形方法研究313(a)物理域(b)数学覆盖系统(physicaldomain)(mathematicalcoversystem)(c)物理覆盖的生成(generationofphysicalcovers)(d)流形单元的生成(generationofmanifoldelements)图2NMM基本概念图示Fig.2IllustrationofthebasicconceptsintheNMM3.2NMM的近似函数基于3.1节中描述的概念，对稳态热传导问题，任一单元e上温度场的NMM近似函数可表示为1()()()NhiiiTwT=X=∑XX(5)其中：N是组成单元的物理覆盖的个数；wi是物理覆盖Pi所对应的权函数，它与包含Pi的数学覆盖Mi上定义的权函数相同；Ti是定义在Pi上的覆盖函数，对二维问题，常表示为()()iiTX=Pxa(6)其中ai是定义在Pi上的未知量列阵。多项式基P(x)为()=[1,x,y,]LPx(7)3.3NMM总体方程借助变分原理[23]，可得NMM求解FGM稳态热传导问题的总体方程为KΤ=F(8)式中：T为未知量列阵；K和F分别为热传导矩阵和等效温度荷载列阵，其可通过逐单元组装得到，任一单元e对K和F的贡献为()()()()13TTT()dddeeeeiiiikwwwhwΩΓΓΩλΓΓ=++∫∫∫KBXBPPPP(9)()()()()123TTTTddddeeeeeiiiifwQwTwqwhTΩΓΓΓΩλΓΓΓ=++∫∫∫∫FPPPP(10)其中：上标T表示矩阵的转置；eΩ为单元e的积分域，1eΓ、2eΓ、3eΓ分别为与单元e有关的第一、第二、第三类边界；λ为用于处理强制边界条件(即式(2)对应的边界条件)时的罚函数。采用罚函数法的主要原因为：NMM中的数学覆盖系统的边界与物理域的边界可能不重合以及式(6)中的自由度为广义自由度
【作者单位】： 南昌航空大学土木建筑学院;
【基金】：国家自然科学基金(11462014) 江西省自然科学基金(20151BAB202003) 江西省教育厅科技项目(GJJ14526)
【分类号】：TB34
【图文】：
局部特性的覆盖函数可准确描述待研究的物理问题。从提出至今，已有一些学者采用NMM研究了热传导问题。文献[17]发展了非协调NMM并分析了无热源二维均质材料的稳态热传导问题。文献[18-20]实现了裂隙岩体的单一温度尝温度场-流场耦合问题、温度场-应力场耦合问题的NMM求解。文献[21]通过在NMM中引入奇异物理覆盖思想分析了均质材料的稳态热断裂问题。纵观已有的基于NMM的热传导研究工作[17-21]，其考察对象皆为均质材料，本文拟进一步发展用于FGM这类非均质材料热传导问题分析的NMM。2控制方程及边界条件考虑图1所示的由各向同性FGM组成的物理域Ω，该域由封闭边界123Γ=ΓΓΓUU(123Γ、Γ、Γ两两无交集)围成。根据稳态热传导理论和傅里叶定律，，该问题的控制微分方程为[22](k(X)T)+Q=0(1)其中：为梯度算子；k(X)是随平面位置X=(x,y)变化的热传导系数；T为温度；Q为热源。相应的边界条件为1T=T,(X∈Γ)(2)2(),()TkqΓ=∈XXn(3)3()(),()fTkhTTΓ=∈XXn(4)式中：123Γ、Γ、Γ分别表示第一类、第二类、第三类边界；T和q分别表示1Γ和2Γ上的温度和热流密度；h为物理域表面换热系数；fT为环境温度；n为外法向量。图1由FGM组成的物理域及其边界Fig.1ThephysicaldomainconsistingofFGManditsboundary3NMM求解FGM稳态热传导问题3.1NMM简介NMM以数值流形为基石，在DDA方法的基础上，兼顾了FEM的连续变形分析能力，其核心在于特有的两套覆盖系统，即数学覆盖系统和物理覆盖系统。该方法涉及的主要概念如下。1)数学覆盖(系统)：数学覆盖由用于离散物理域的一系列任意形状的分片组成。其形状由用户自定义，可相互重叠。所有数学覆盖的并集称为
第2期胡国栋，等：功能梯度材料稳态热传导问题的数值流形方法研究313(a)物理域(b)数学覆盖系统(physicaldomain)(mathematicalcoversystem)(c)物理覆盖的生成(generationofphysicalcovers)(d)流形单元的生成(generationofmanifoldelements)图2NMM基本概念图示Fig.2IllustrationofthebasicconceptsintheNMM3.2NMM的近似函数基于3.1节中描述的概念，对稳态热传导问题，任一单元e上温度场的NMM近似函数可表示为1()()()NhiiiTwT=X=∑XX(5)其中：N是组成单元的物理覆盖的个数；wi是物理覆盖Pi所对应的权函数，它与包含Pi的数学覆盖Mi上定义的权函数相同；Ti是定义在Pi上的覆盖函数，对二维问题，常表示为()()iiTX=Pxa(6)其中ai是定义在Pi上的未知量列阵。多项式基P(x)为()=[1,x,y,]LPx(7)3.3NMM总体方程借助变分原理[23]，可得NMM求解FGM稳态热传导问题的总体方程为KΤ=F(8)式中：T为未知量列阵；K和F分别为热传导矩阵和等效温度荷载列阵，其可通过逐单元组装得到，任一单元e对K和F的贡献为()()()()13TTT()dddeeeeiiiikwwwhwΩΓΓΩλΓΓ=++∫∫∫KBXBPPPP(9)()()()()123TTTTddddeeeeeiiiifwQwTwqwhTΩΓΓΓΩλΓΓΓ=++∫∫∫∫FPPPP(10)其中：上标T表示矩阵的转置；eΩ为单元e的积分域，1eΓ、2eΓ、3eΓ分别为与单元e有关的第一、第二、第三类边界；λ为用于处理强制边界条件(即式(2)对应的边界条件)时的罚函数。采用罚函数法的主要原因为：NMM中的数学覆盖系统的边界与物理域的边界可能不重合以及式(6)中的自由度为广义自由度
【作者单位】： 南昌航空大学土木建筑学院;
【基金】：国家自然科学基金(11462014) 江西省自然科学基金(20151BAB202003) 江西省教育厅科技项目(GJJ14526)
【分类号】：TB34
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1 高彦峰,王秀峰,罗宏杰;功能梯度材料中的渗流现象及其模型研究[J];陶瓷工程;2000年06期
2 徐智谋,郑家q
本文编号：2533783
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