基于低秩矩阵插值分解的快速矩量法研究

发布时间：2020-03-22 11:54

【摘要】：插值分解(ID)是利用低秩矩阵的压缩形式来降低电磁场矩量法矩阵存储需求并加速矩阵-向量积计算的一种算法。利用ID,可将远场矩阵块表示为骨架矩阵与插值矩阵相乘的形式,而选取骨架基函数(即骨架化)只需在本地进行。借助八叉树数据结构,利用类似于快速算法MLFMA的框架,我们将ID发展为一个多层版本(MLID),进一步提高了压缩效率,并将MLID与组合场积分方程(CFIE)结合,用于求解完纯导体的电磁散射。在较粗层,MLID做骨架化的效率比较低。为了克服这个弱点,让MLFMA替代MLID承担较高层的骨架矩阵-向量积计算,从而得到一个混合算法MLID-FMA。MLID的上行过程完成后,中间层得到的输入骨架向量经过MLFMA的骨架矩阵-向量积操作得到与粗层相关的输出骨架向量,然后,任务再次转交给MLID来执行下行过程,最后得到完整的输出向量。本文对混合算法MLID-FMA的计算机程序实现也进行了深入研究。快速算法与普通矩量法的不同主要在于系统矩阵的存储方案和矩阵-向量积的执行方案,本文利用C++语言的动态多态特性,将基类中与矩阵-向量积有关的函数都声明为纯虚函数,让子类去实现它们。这样,我们获得了一个通用编程框架,它抽象化矩量法。本文中构建的或使用的算法都是在这个通用框架下开发完成的。本文的具体工作如下:1.提出了多层插值分解算法MLID的构建方法和实现方案,并用数值算例验证了算法的计算效率和数值稳定性。2.提出了 MLFMA与MLID的混合算法MLID-FMA,让MLFMA承担高层骨架矩阵-向量积计算,而MLID承担低层骨架矩阵-向量积计算,这样的算法同时发挥了 MLFMA和MLID的优势。此外,利用OpenMP实现了 MoM、MLFMA、MLID以及MLID-FMA的并行加速。3.提出了改善程序运行效率的一些策略;借助C++语言的动态多态特性和模板机制,设计了矩量法和快速算法的通用程序框架。
【图文】：

基函数,算子方程,组合场

ＣＦＩＥ邋＝邋0．邋ＥＦＩＦ邋（１邋—邋ａ）邋ｒｊ邋ＭＦＩＥｌ］为组合系数。这个组合场积分方程可简记为ＣＦＩＥ（ａ）。，适合用迭代求解器求解。但是，，由于ＭＦＩＥ是一个组ＰＥＣ目标。逡逑函数逡逑函数的选取是将算子方程（２．２－１）转化为离散方程的重要函数是最为常用的一种基函数逡逑ｆｎ（ｒ）邋＝邋＜逦－邋ｒ）逦ｒ邋｛邋0邋ｆｉＴ：ＵＴ－邋＝邋Ｓｎ逡逑

级数解,矩阵条件数,数值解

三角形耗时０．０３２秒，填充矩阵（启用８个线程并行）分别耗时６．７６秒、７．１８秒和１３．６１逡逑秒。方程的求解使用ＣＧＮＲ作为迭代求解器，相对误差终止门限为Ｈｒ３。数值计算得逡逑到的ＲＣＳ结果均与Ｍｉｅ级数解进行了对比，如图２．２所示。结果表明矩量法有较高的数逡逑值精度。逡逑２５邋１逦逦邋２５逦逦：逦：￣逡逑逦Ｍｉｅ邋Ｓｅｒｉｅｓ逦Ｍｉｅ邋Ｓｅｒｉｅｓ逡逑２０－逦？邋ＥＦＩＥ逦２０－逦｜邋？邋ＭＦＩＥ逡逑１５－逦／逦１５－逦／逡逑Ｅ邋１０＿逦／逦Ｅ邋１０￣逦／逡逑卜邋ｖ邋卜：邋＾逡逑－ｓ：逦－５：逡逑－１０邋－逦－ｉ0邋－逡逑－１５－逦－１５－逦｜逡逑＿２０邋—｜逦ｉ逦ｉ逦？逦ｉ逦■逦ｉ逦■逦－２０邋｜逦１逦ｉ逦＊逦Ｉ逦１逦ｉ逦１逡逑0逦５０逦１００逦１５０逦０逦５０逦１００逦１５０逡逑Ｏｂｓｅｉｖａｔｉｏｎ邋Ａｎｇｌｅ／ｄｅｇｒｅｅ逦ｍ逦Ｏｂｓｅｒｖａｔｉｏｎ邋Ａｎｇｌｅ／ｄｅｇｒｅｅ逡逑（ａ）邋ＥＦＴＥ与Ｍｉｅ级数解对比逦（ｂ）邋ＭＦＩＥ与Ｍｉｅ级数解对比逡逑２５邋．逦逦Ｍｉｅ邋Ｓｅｒｉｅｓ逡逑２０－逦－邋ＣＦＩＥ逡逑１５－逦／逡逑Ｅ１０－逦．．．逡逑＾邋°：逦ｖ逡逑：ｉ邋Ｉ逡逑－２０逦｜逦ｉ逦ｉ逦１逦Ｉ逦１逦ｌ逦１逡逑０逦５０逦１００逦１５０逡逑Ｏｂｓｅｒｖａｔｉｏｎ邋Ａｎｇｌｅ／ｄｅｇｒｅｅ逡逑（ｃ）邋ＣＦＴＥ与Ｍｉｅ级数解对比逡逑图２．２邋ｌｍ的ＰＥＣ球ＲＣＳ的数值解与Ｍｉｅ级数解对比逡逑ＥＦＩＥ、ＭＦＩＥ和ＣＦｆｆｉ（０．５）导出的矩阵条件数不同
【学位授予单位】：东南大学
【学位级别】：硕士
【学位授予年份】：2018
【分类号】：TN011

【参考文献】