时域量子—电磁多物理场耦合算法的研究

发布时间：2020-08-13 07:38

【摘要】：随着现代电子科技的高速发展,电子电路的集成度越来越高,电子电路的尺寸也不断的向着纳米级别甚至更低的尺度发展。高集成度电路一直是现代工程研发和仿真运算的热门领域。在对于纳米级别或者亚纳米级别电路或者器件进行研发设计时,由于量子效应逐渐凸显,仅使用传统的麦克斯韦方程组的单物理建模手段已经无法满足实际需求。因此,针对量子效应在纳米尺寸仿真占比重的问题,能够同时考量电磁效应与量子效应的建模方法的研究引起了电子科学学科学者们的广泛关注。对于电磁效应而言,麦克斯韦方程组能够系统而准确的描述电磁场的变化和影响。传统的电磁效应建模的出发点大多数是麦克斯韦方程组,由此衍生出诸多经典理论。同时,由于单纯理论解析对于实际问题来说,求解往往非常困难。随着计算机技术的飞速发展,研究者们将计算机运算技术与麦克斯韦方程组相结合,开创了经典的时域有限差分、矩量法、有限元法等对实际问题而言有效且通用的计算电磁学算法理论,为工程设计研发做出了巨大的贡献。对于量子效应而言,薛定谔方程是系统解释微观粒子运动、易于与计算机运算结合的理论公式。通过求解薛定谔方程可以得到微观粒子的本征能量、本征频率和波函数分布等参数。而对于纳米器件量子效应的研究,其有效切入点之一便是求解器件的电子的本征能量、本征态等参数,从而推导计算出器件的量子效应对于电荷密度、电流大小的影响。如何准确而高效的将电磁效应中麦克斯韦方程组与量子效应中薛定谔方程耦合,是研究电磁-量子多物理场问题的关键。电子受到电磁场影响产生运动,而电子运动本身代表了波函数的改变和新的电流产生。电子产生的电流同时产生新的电磁场,影响着原先电磁场。解决这个相互作用问题便是这个领域的核心思想。基于这个思想,当前研究者们对电磁-量子多物理问题取得了长足的进展,主要分为两种算法流派。对于第一种算法,因为受到电磁场影响的含时薛定谔方程的求解需求磁矢量、电标量的参与,故其核心思想是:1.通过计算麦克斯韦方程组得到当前时刻的电场和磁场值2.通过得到的电磁场值,运用磁矢势、电标量的定义以及洛伦兹规范,计算出所需的磁矢势、电标量3.代入磁矢势、电标量,计算受到电磁场影响的含时薛定谔方程得到系统的波函数4.通过波函数计算出电子运动产生的电流,作为额外项代入下一课时麦克斯韦方程组中计算,从而达到耦合电磁系统与量子系统的作用。这种算法直接使用传统麦克斯韦方程组进行迭代,在每一时间都需要进行电磁场与磁矢势、电标量的置换运算,然后代入薛定谔方程中,所以导致算法的耦合度不高、消耗的计算机内存大、仿真所需时间偏长。同时,如果提高仿真空间的精度、大小,计算机内存的消耗、计算性能的要求会急剧增加。如果与辛结构、隐式差分等提高精度的方法相结合,更是对计算机性能和仿真时间需求的巨大挑战。另一种流派的核心思想是通过一系列近似替换,将受电磁场影响的薛定谔方程近似表示为只包含电场的形式,同时忽略掉量子系统对于电磁系统的电流影响项。这样算法的步骤相对前者会有很大的简化:1.计算当前时刻的电场磁场值2.计算只包含电场项、与磁矢势电标量无关的薛定谔方程近似形式3.代入当前时刻的值计算下一时刻各种值。这种算法的仿真步骤简单,对于计算机内存和计算性能要求不高,计算速度也相对快。但是由于基于各种近似和忽略电磁效应与量子效应的相互影响,与实际情况有误差,而且随着仿真时间的增加,这个误差会不断累积放大,对于精确的求解纳米级别的器件的长时间、复杂仿真情况,往往力不从心。针对上述的各种情况,本文主要通过理论研究和数值计算方法探索新的解决电磁效应与量子效应多物理场仿真的方法。本文的主要研究工作为以下几个方面:(1)简单介绍了电磁计算学中常用的数值方法的种类,包括矩量法、有限元法和时域有限差分法等。以麦克斯韦方程组为例,着重对本论文使用的时域有限差分的实行步骤进行介绍,系统分析了该方法的数值稳定性和数值色散特性。讨论了时域有限差分方法的差分方法,分析了不同差分格式下离散格式的精度和计算性能等问题。(2)论文从麦克斯韦方程组出发,通过对磁矢势、电标量的理论研究,推导出了能够直接迭代的磁矢势、电标量方程组。该方程组能够避开计算电场、磁场,直接迭代磁矢势、电标量的性质,更使用于各种需要磁矢势和电标量的建模场合。并通过时域有限差分方法,对提出的磁矢势和电标量方程组进行离散差分,给出了其易于计算机实现的形式结构。(3)分别以复数坐标延伸和完美匹配吸收理论为基础,推导出适用于磁矢势和电标量迭代方程组的完美匹配吸收边界。经过仿真实验与理论解对比,证明了所提出的吸收边界能够有效吸收边界磁矢势、电标量,在长时间仿真中能够保证不产生影响仿真结果的反射。(4)通过时域有限差分方法对薛定谔方程进行定性研究,给出了薛定谔方程的离散差分形式。同时引入辛结构进一步耦合薛定谔方程,从理论层面证明了辛结构对薛定谔方程的适用性,并给出了辛结构中辛传播子的求解方法。然后通过仿真实验、理论分析值对分别使用普通二阶时域有限差分方法、高阶时域有限差分方法、引入辛结构的时域有限差分方法的薛定谔离散数值方程进行测试,证明了辛结构对于量子系统仿真中长时间仿真、密集网格划分的情况具有更稳定、仿真结果更精确的优势。(5)从理论层面推导出了受到电磁效应影响的薛定谔方程形式,针对其仅与磁矢势和电标量强相关的特点,提出了基于电磁势能和薛定谔修正方程耦合的算法。该算法分为两个部分:电磁部分使用提出的磁矢势和电标量方程取代传统的麦克斯韦方程组;量子效应方面使用受到电磁效应影响的薛定谔方程。通过量子效应计算出的电流项、磁矢势和电标量影响薛定谔方程这两个方面成功耦合了电磁-量子多物理系统。并在此基础上,对整个算法引入辛结构,提出了辛结构下的电磁势能方程-薛定谔方程耦合算法,使之具有了辛算法的长时间仿真稳定性、量子系统能量保一性的优点。(6)针对传统量子态控制电流计算算法耦合度不高、计算误差大的问题,以磁矢势和电标量方程组、薛定谔方程为基础,结合波函数变换和量子态控制电流计算理论,提出了基于电磁势能的新型量子态控制电流计算算法。值得注意的是,在该算法的电磁势能部分,我们通过引入洛伦兹规范,进一步改进了磁矢量和电标量方程组,使之计算结构更简洁、计算速度更快,电标量和磁矢势处于同一取样时刻,代入薛定谔方程中更为简便。传统的算法将受电磁场影响的薛定谔方程近似表示为只包含电场的形式,同时忽略掉量子系统对于电磁系统的电流影响项,带来了理论近似误差,无法通过改变计算精度消除。而提出的算法克服了这个缺点,从理论上来讲,不存在近似误差。最后通过仿真实验对比提出的算法和传统量子态控制电流计算算法,定性定量分析实验结果,证明了提出的算法计算更为准确、控制能力更强的优点。综上所述,本论文主要着重于研究有效解决电磁效应-量子效应多物理场仿真的算法,通过电磁势能和辛算法的研究,提出了耦合度高、计算精确高的算法结构。论文的主要创新点如下:(1)论文提出了磁矢势和电标量的迭代方程组,给出了其时域有限差分格式。同时系统的研究和给出了对于这个迭代方程组的完美匹配层算法。使得磁矢势和电标量方程组能够如同传统的麦克斯韦方程组仿真一样,适用于各种需要模拟无限大空间和无反射空间的实际仿真情况。(2)通过耦合新型磁矢势电标量迭代方程组和受电磁效应影响的薛定谔方程,构建了解决电磁效应-量子效应多物理问题的计算结构。同时理论证明了辛结构对于提出的算法的可行性,将辛算法与之结合,创立了一种新型的基于电磁势能的电磁-量子辛算法。(3)论文建立了不基于忽略量子影响假设的、使用电磁势能方程组的量子态控制电流算法,并改进提出了更为简洁、计算效率更高的电磁势能方程组形式。该算法能够准确的计算激发带电粒子从基态至激发态所需要的电流的精确值,并从仿真角度证明所计算的控制电流的控制性能和稳定性。
【学位授予单位】：山东大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2019
【分类号】：O413;TN701
【图文】：

标量,强度,电磁势

果和理论分析结果，观察算法的精确性以及吸收边界的有效性。那么对于电磁势逡逑方程，我们同样使用经典的点源仿真从理论和仿真观察这组电磁势更新方程的性逡逑能。本小节会从仿真图结果、仿真值与理论对比、计算累计误差三个方面分析提逡逑出的电磁势仿真算法以及电磁势卷积完美匹配层理论的精确性和有效性。逡逑将一个偶极子源放在无限大空间的真空中，其源为Ｊ＝ｉｓｉｎ（２；ｒ／0的ｘ轴方向逡逑电流，频率为０．１ＧＨｚ。仿真网格划分为１６８，１６８，邋１６８的三维空间；外层的完美逡逑匹配层的厚度为２０个网格；每个网格划分的单位是０．３米；仿真时间长为１０００００逡逑个时间步长。那么通过电磁场理论我们可以写出其理论传播解：逡逑Ａ邋＝邋ｘ＾－ｅ：ｋｒｅ＇￣－逦（３－６８）逡逑Ａｎｒ逡逑７７逡逑０邋＝邋ｃｏｓ６——ｅｉｋｒｅ＇２逦（３－６９）逡逑４＾ｒ逡逑仿真结果如下图：逡逑ｐｈｉ逦ｐｈｉ逡逑

磁矢量,分量,计算值,强度

（ａ）逦（ｂ）逡逑图３－２邋（ａ）为磁矢量ｘ分量在ｘｙ平面的强度图；（ｂ）为磁矢ｘ分量在ｘｙ平面的强度图。逡逑２ｘ邋１０邋９逦—一逡逑；—ａｎａｌｙｔｉｃａｌ邋ｉ逡逑：？邋ｓｉｍｕａｌｔｅｄ邋：逡逑１逦Ａ邋／？逡逑0｜＂广．Ｗ／逦＼逦＼逦！邋Ｉ邋／邋＼邋／＂＇ｖ＇逡逑“Ｖｓ邋！逦Ｖ邋ｖ逡逑－１逦ｉ逡逑－２逦！逡逑■３逦丨ｉ逡逑．３逦Ｉ邋Ｉ逡逑ｉ邋Ｉ逡逑：邋１逡逑５逦１０逦１５逦２０逦２５逦３０逦３５逦４０逦４５逦５０逡逑Ａｘ｛．邋１６８／２，１６８＾）逡逑（ａ）逡逑０．８逦＇逦？逦ｉ逦：￣■逦ｈ逡逑！—ａｎａｌｙｔｉｃａｌ邋：逡逑ｆｖ逦丨、ｓｉｍｕａｌｔｅｄ；逡逑0６＿逦卜逦＾逡逑0．４逦ｉ＇逦！＼逡逑ｉｉ邋Ｍ逡逑°－２逦／，邋｜Ｊ邋ｉ邋Ａ逡逑ａ邋；ｒ－邋；邋？逦ｉ邋；邋＼逡逑ｖ邋＼；邋；邋ｉ邋；．邋■邋Ｊ邋Ｖ邋ｖ逡逑？０．２逦Ｖ邋Ｈ邋；逦Ｖ逡逑＼ｊ邋ｊ逡逑－０．４逦？逡逑４邋ｔ逡逑－０．６逡逑１逡逑？０８逦－逦１５逦２0＂￣逦２５￣逦３０逦３５逦４０逦４５逦５０逡逑ｐｈｉ（．邋１６８／２，１６８／２）逡逑（ｂ）逡逑图３－３邋（ａ）磁矢量的ｘ分量仿真与理解计算值比较；（ｂ）电标量的ｘ分量仿真与理解计算值逡逑比较。逡逑２８逡逑

分量,磁矢量,计算值,强度

ｐｈｉ（．邋１６８／２，１６８／２）逡逑（ｂ）逡逑图３－３邋（ａ）磁矢量的ｘ分量仿真与理解计算值比较；（ｂ）电标量的ｘ分量仿真与理解计算值逡逑比较。逡逑２８逡逑

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