基于快速多极边界元法的局部场地对地震波高频散射二维模拟

发布时间：2020-03-07 01:55

【摘要】：结合快速多极子展开技术与间接边界元法,发展一种新的高频地震波散射(二维平面内)快速模拟方法。精度和效率检验表明该方法具有很高的计算精度、求解效率及良好的数值稳定性,同时可大幅度降低计算存储量。进而以半空间峡谷与凸起地形对平面SV波的高频散射为例,讨论了峡谷及凸起周围地震波宽频散射基本特征,给出了千米尺度局部场地、0~25 Hz频带宽度的散射模拟结果。分析表明:高频SV波垂直入射下,峡谷角部水平和竖向位移均表现出明显的放大效应,而峡谷底部的散射效应较弱;半圆凸起顶部附近水平位移谱峰值高达5.0,山脚处位移反应则受到明显的抑制作用;斜入射情况,峡谷地形迎波面一侧位移幅值较大,而凸起地形则是背波面一侧放大显著。数值结果可为复杂局部场地中大型工程抗震设计提供部分理论依据。
【图文】：

半空间,起伏地形,Rayleigh波,计算模型

波的二维散射问题求解（平面应变）。由于涉及到压缩波、剪切波及面波间的波型转换，因而波场构造更为复杂。在方法精度、效率检验基础上，进而以半空间峡谷、凸起地形对平面SV波散射为例进行计算模拟，给出了千米尺度局部场地0～25Hz带宽的频域分析结果，揭示了峡谷、凸起地形周围高频波二维散射若干规律，以期为复杂场地中的大型工程（桥梁、大坝等）抗震设计提供部分理论依据。1间接边界元法（IBEM）下面以半空间中局部起伏地形对平面P、SV、Rayleih波的散射为例，，简要介绍传统间接边界元法的基本原理。计算模型如图1所示。各向同性均匀介质D中稳态波传播的运动方程可表示为2div()0()iiuxD，(1)式中，i和iu分别表示应力和位移矢量，为密度，为圆频率，i=1，2。首先将总波场分解为自由场和散射常IBEM方法的核心部分是构造半空间中的散射场，即基于单层位势理论，在起伏地表表面（L）及附近半空间水表面（H）上施加虚拟荷载，然后由半空间表面上的零应力边界条件建立方程求解得到虚拟荷载密度。最后弹性半空间D中的总波场则由散射波场与自由波场叠加得到。消除体力的影响下，弹性半空间的散射位移和应力可表达为[13]siS()()(,)djijyuxyGxyS，(2)siS()()(,)djijyxyTxyS。(3)其中，()jy可看作边界单元上施加的虚拟均布荷载密度，半空间二维集中荷载动力格林函数表达式为2(2)0211(,)(,,)4πijijGxyHkxykxx(2)(2)00(,,)(,,)ijHhxyHkxy，(4)1212(,)jjijiGGTxynxx121212ijjijjjiGGGGnnxxxx。(5)式中x和y分别为场点和源点；i，j=1，2，对应于x,y方向（下文同）；(2)H()n

多极展开

在传统的边界元法中，采用GMRES迭代算法求解大型方程组，计算量庞大且需要存储大型系数矩阵。快速多极子边界元法使用树结构作为主要存储和运算对象，对核函数进行展开和传递，借助GMRES迭代算法，在每一次迭代中以树结构取代系数矩阵，与迭代量相乘，通过迭代精度控制，得出结果。核函数展开方式不尽相同，本文采用Graf加法定理[14]对式（5）中核心函数(2)0H()进行多极展开：(2)0cc()(,)(,)pinininpHkrOkyxIkyy，(16)式中，p为展开截断数，cy为多极展开中心，且满足ccyyyx，如图2。函数c()nOyx和c()nIyy分别定义如下：(2)icc(,)(||)enniniOkyxHkyx，(17)icc(,)J(||)enniniIkyykyy，(18)式中，J()ng为第一类贝塞尔函数，，分别为向量与x正方向的夹角，如图3。核函数的多极展开截断数根据经验公式[15]为0pkDclg(kDπ)，(19)式中，D为叶子或父细胞边长，c0为精度控制参数。图2多极展开Fig.2Multipoleexpansion图3Graf加法平面参数Fig.3Grafadditionplaneparameters将式（16）代入式（2）可得积分式的多极展开：,cc1()(,)d(,)()4πpOkjijynijSnpyGxySMkyyNyx,cc(,)()OhnijMhyyNyx，(20)2,ccc21(,)()(,)CknijijnijCkyxNyxCkyxkxx，(21)2,cc21(,)()ChnijijChyxNyxkxx。(22)式中，nC为nO或nI，(,)ncMqyy称为关于点cy的多级展开系数，即cc(,)()(,)dnjnySMqyyyIqyyS。(23)从式（20）可以看出基本解已经被分离成x和y独立的两部分，从而cM(yy)只需计算一次便可重复用于

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