基于GLC多项式谱元法的频率域三维电磁正演模拟研究

发布时间：2020-04-28 12:21

【摘要】：如何快速高效地获得高精度三维电磁模拟结果一直是三维电磁正演研究的重点。为进一步提高数值模拟的精度和稳定性,本文将基于Gauss-LobattoChebyshev(GLC)多项式的谱元法引入到三维电磁正演模拟中。谱元法是一种结合了有限元法和谱方法的求解边值问题的高精度数值计算方法。与传统三维正演算法相比,谱元法具有高精度、指数收敛等特点。本文首先由麦克斯韦方程出发,为了克服源的奇异性,进行背景场/二次场分离,推导出关于二次电场的矢量亥姆赫兹方程,利用混合阶GLC正交多项式的张量积构建矢量插值基函数对单元内的场值进行展开,再通过伽辽金加权残差法离散控制方程并合成大型线性方程组。针对基于移动平台的航空电磁和海洋可控源电磁问题,本文采用直接求解器实现多源快速回带求解,最后通过插值得到接收点处的电磁响应。本文详细阐述了基于GLC多项式谱元法的基本原理和实施步骤,及其在频率域航空电磁法和频率域海洋可控源电磁法中的新应用,比较了谱元法与传统数值计算方法的优缺点。具体内容包括以下几个方面:(1)基于二次场方案的三维电磁谱元模拟理论。为了避免场源位置的奇异性,本文采用基于背景场/二次场分离技术的二次场方案,遵循谱元法的研究思路,首先将计算区域划分为离散的单元,在单元内采用高阶矢量插值基函数拟合近似解,利用伽辽金法离散亥姆赫兹方程建立谱元方程组,求解线性方程组得到全局近似解,最后通过插值得到接收点处的航空电磁响应。(2)基于GLC正交多项式的矢量谱元基函数构建及对应单元积分的计算方法。本文利用物理单元与参考单元的映射技术,在参考单元内选用GLC正交多项式的张量积构建谱元矢量插值基函数,并利用GLC多项式的性质,完整推导了单元矩阵元素的解析表达式,使得模拟精度得到有效保证。(3)数值算例与正演模拟结果分析。本文将所提出的基于GLC多项式的谱元法应用于频率域航空电磁和频率域海洋可控源电磁三维正演模拟中,通过与一维结果对比验证了本文算法的计算精度。本文进一步通过不同算例以及与不同正演方法的比较,研究了谱元法在三维电磁正演模拟中的特性及优缺点。最后模拟分析了典型三维模型对应的航空电磁和海洋可控源电磁响应特征。数值结果表明基于GLC多项式的谱元法是进行频率域三维电磁正演模拟的有效方法,相对于传统数值计算方法,具有高精度、低网格依赖性等显著优势。
【图文】：

示意图,谱元法,谱方法,区域剖分

国内外公开发表的研究成果很少。谱元法属于高阶有限元法的一种，它结合了谱方法和有限元法的思想。图1.3.1 示意了谱方法、有限元法、谱元法三种方法的区域剖分和单元插值情况。谱方法是在整个求解域上通过正交高阶展开函数寻求区域内的解，理论上谱方法可以达到任意高精度且具有指数收敛性，但对于复杂求解域问题的求解有一定的困难；而有限元法将求解域划分成小单元，通过单元内的插值和单元之间的关系求取全局的近似解，具有很强的区域适应性。谱元法与有限元类似，将区域剖分为互不重叠的基本单元，在每个单元内与谱方法类似，对未知量（如电磁场值）在配置点处利用正交插值多项式进行谱逼近，再借助伽辽金加权残差法形成单元矩阵，进而合成总体大型线性方程组，最后求解得到全局的近似解。在谱元法中，若正交多项式阶数选为 N=1 或 N=2，则分别与传统线性插值和二次插值的有限元方法完全一致。因此，谱元法即进行了单元剖分又在单元内进行谱展开，具有和有限元法相当的良好几何区域适应性，以及和谱方法相当的高精度和收敛特性，是一种极具发展潜力的求解电磁勘探正演模拟问题的数值方法。图 1.3.1 谱方法、有限元法、谱元法区域剖分与单元插值示意图

示意图,棱边,谱元法,电场方向

bzyxzyxzyxNjjjNtNsNrzrstrstzNtNsNryrstrstyNtNsNrxrstrstsxEExyzExyzxyzExyz010 0 0010 00 010Φ~~,,~,,~,,,,ΦΦEΦ，··················（3.2.1）其中 Nx、Ny、Nz分别表示插值基函数沿三个坐标方向的多项式阶数，Nb=Nx(Ny+1)(Nz+1)+ (Nx+1) Ny(Nz+1)+(Nx+1) (Ny+1) Nz表示单元棱边总数，，jΦ~表示第 j 条棱边对应的插值基函数，jE 表示第 j 条棱边上的切向电场。为了直观起见，当在某方向采用高阶多项式进行单元电场插值时，可以视为对该方向单元棱边进行了再次剖分。图 3.2.1 展示了 Nx=Ny=Nz=3 时谱元法单元棱边再剖分示意图。
【学位授予单位】：吉林大学
【学位级别】：硕士
【学位授予年份】：2018
【分类号】：P631.325

【参考文献】