基于MLPG法的地下水模拟问题研究
发布时间：2022-02-15 00:48
目前数值模拟中常用方法还是有限元和有限差分法,这样的方法需要构造网格或单元,给问题解决带来了麻烦。为了克服这样的困难,无网格方法逐渐发展起来,日益受到关注。该类方法节点布置灵活,无需网格信息,部分或彻底避免了网格的影响,有助于推进数值模拟技术的进步。在这些方法中,无网格局部Petrov-Galerkin（MLPG）方法将Petrov-Galerkin方法与无网格近似函数结合在一起,在形函数构造和数值积分过程中均不需要网格,是纯无网格方法。本文首先概述了无网格方法及MLPG法的发展历史。介绍了做为MLPG法研究基础的加权残量法、用于构造近似解函数的移动最小二乘法及两种施加本质边界条件的方法。其次针对常见的渗透系数为分片常数的地下水模拟问题,建立了求解该类问题的MLPG法与配点法耦合求解的方法。该方法依据渗透系数为分片常数的特征,基于MLPG法和配点法分区域建立求解方程组,在每个子区除去分界线的节点上建立MLPG方程组,在各子区分界线布置的节点上,应用相容条件建立配点方程组,从而得到了求解该类问题水头函数数值解的耦合方程组,给出了该方程组的求解算法。将计算结果与MLPG法以及边界元法的结果...
【文章来源】：辽宁师范大学辽宁省
【文章页数】：45 页
【学位级别】：硕士
【部分图文】：
二维基函数Fig.2.1Thetwo-dimensionalbasisfunction
辽宁师范大学硕士研究生学位论文91()()()()().mhTiiiupapax,xxxxx(2.23)其中：x是计算点x的邻域x内的节点。12()[(),(),,()]Tmaxaxaxax，()iax为待解量，12()[(),(),,()]Tmpxpxpxpx为基函数矩阵，m为基函数的个数。式中()ipx常选用单项式基函数，可由Pascal三角得到，二维和三维情况见图2.1和图2.2。线性基和二次基写成具体向量形式为：线性基：()(1,,),3,()Tpxxym二维空间()(1,,,),4,()Tpxxyzm三维空间二次基：22()(1,,,,,),6,()Tpxxyxxyym二维空间222()(1,,,,,,,,,),10.()Tpxxyzxxyyyzzxzm三维空间图2.1二维基函数图2.2三维基函数Fig.2.1Thetwo-dimensionalbasisfunctionFig.2.2Three-dimensionalbasisfunction在用多项式进行整体拟合时，适当增加多项式次数拟合效果会好些，但次数过高，会生成病态方程，影响拟合效果。而移动最小二乘法采用局部拟合的方式，较低次数的多项式就能达到不错的拟合效果。为了实现局部拟合，在整个研究域内的每个离散节点(1,2,,)IxIN处定义一个权函数()=(,)IIIwxwxx，I为节点Ix对应的权函数影响域半径，权函数Iw只在Ix附近的一个有限区域I(称为权函数Iw的支撑域，也称节点Ix的影响域)内大于零，在该区域外均为零，即()Iwx为紧支函数，离散点Ix的值只与它附近有限区域I内的点有关，与区域外的点无关。在MLS法中，为了达到最佳模拟效果，要求(2.23)式中系数()iax的选取使得局部近似函数()hux,x在计算点x的邻域x(x的定义域)内与函数u(x)的逼近误差最校在x的定义域内包含的节点Ix=x处近似函数()hux,x与精确解之差的加权平方和为：
基于MLPG法的地下水模拟问题研究183.1.2局部积分弱形式的MLPG法离散在整个研究区域内及其边界上布置N个节点jx，j1,2,,N。依据这些节点建立移动最小二乘形式的近似水头函数：1()()(),NhjjjHhxxhx(3.7)其中，x(x,y)，j为移动最小二乘法中形函数，jh为节点jx对应的水头函数近似值。以每个节点ix(i1,2,,N.)为中心，建立一个圆形子域i，将(3.7)式的近似函数代入(3.6)式中，并取v为以节点ix为中心的检验函数iv，使得代入后式子在每个节点ix对应的子域i上成立，可得求解h的离散化线性方程组：111[ddd]iiiNjijijjiijjvvvvhxxyyn12dd,1,,.iiiiHvQviN(3.8)3.2非均质稳定流问题的MLPG法与配点法耦合方法3.2.1耦合方法的建立在非均质介质中的实际地下水计算过程中，导水系数T常取为分片常数，即将区域划分为若干均质的子区域，在每个子区内的T为常数，不同子区的T取不同常数.对每个子区来说，用子区布置的所有节点建立移动最小二乘近似函数，在除去子区分界线上布置的节点外的其它节点上列出MLPG方程组，在各子区分界线布置的节点上利用相容条件建立配点方程组，最终将每个子区建立的MLPG方程组与配点方程组联立，即可计算出整个区域所有节点上解的近似值。以两个分区为例，如图3.1所示图3.1非均质区图Fig.3.1Heterogeneousmap依据(3.7)式在Ⅰ区和Ⅱ区分别建立水头近似函数：
【参考文献】：
期刊论文
[1]热弹性动力学耦合问题的插值型移动最小二乘无网格法研究[J]. 王峰,郑保敬,林皋,周宜红,范勇. 工程力学. 2019(04)
[2]无网格全局介点法[J]. 杨建军,郑健龙. 应用力学学报. 2017(05)
[3]求解大Pe对流扩散问题的MLPG新方法[J]. 陈征骥,谢文礼,李增耀,吴学红. 工程热物理学报. 2016(08)
[4]带源参数热传导问题的基于滑动Kriging插值的MLPG法[J]. 王峰,林皋,郑保敬,刘俊,李建波. 力学季刊. 2013(02)
[5]MLPG混合配点法在形状优化中的应用研究[J]. 赵亮,李书,鲁大伟. 计算力学学报. 2011(01)
[6]弹性力学的插值型边界无单元法[J]. 任红萍,程玉民,张武. 中国科学:物理学 力学 天文学. 2010(03)
[7]大变形问题分析的局部Petrov-Galerkin法[J]. 熊渊博,崔洪雪,龙述尧. 计算力学学报. 2009(03)
[8]无网格局部Petrov-Galerkin方法中本质边界条件的处理[J]. 赵美玲,聂玉峰,袁占斌. 应用力学学报. 2006(03)
[9]弹性力学的重构核粒子边界无单元法[J]. 秦义校,程玉民. 物理学报. 2006(07)
[10]弹塑性力学问题的无网格法分析[J]. 熊渊博,龙述尧,刘凯远. 机械强度. 2004(06)
硕士论文
[1]MLPG方法在地下水稳定流计算中的应用[D]. 付鑫.辽宁师范大学 2014
[2]用无网格局部彼得罗夫—伽辽金法求解非均质多孔介质中的水流问题[D]. 吴志红.辽宁师范大学 2009
本文编号：3625578
【文章来源】：辽宁师范大学辽宁省
【文章页数】：45 页
【学位级别】：硕士
【部分图文】：
二维基函数Fig.2.1Thetwo-dimensionalbasisfunction
辽宁师范大学硕士研究生学位论文91()()()()().mhTiiiupapax,xxxxx(2.23)其中：x是计算点x的邻域x内的节点。12()[(),(),,()]Tmaxaxaxax，()iax为待解量，12()[(),(),,()]Tmpxpxpxpx为基函数矩阵，m为基函数的个数。式中()ipx常选用单项式基函数，可由Pascal三角得到，二维和三维情况见图2.1和图2.2。线性基和二次基写成具体向量形式为：线性基：()(1,,),3,()Tpxxym二维空间()(1,,,),4,()Tpxxyzm三维空间二次基：22()(1,,,,,),6,()Tpxxyxxyym二维空间222()(1,,,,,,,,,),10.()Tpxxyzxxyyyzzxzm三维空间图2.1二维基函数图2.2三维基函数Fig.2.1Thetwo-dimensionalbasisfunctionFig.2.2Three-dimensionalbasisfunction在用多项式进行整体拟合时，适当增加多项式次数拟合效果会好些，但次数过高，会生成病态方程，影响拟合效果。而移动最小二乘法采用局部拟合的方式，较低次数的多项式就能达到不错的拟合效果。为了实现局部拟合，在整个研究域内的每个离散节点(1,2,,)IxIN处定义一个权函数()=(,)IIIwxwxx，I为节点Ix对应的权函数影响域半径，权函数Iw只在Ix附近的一个有限区域I(称为权函数Iw的支撑域，也称节点Ix的影响域)内大于零，在该区域外均为零，即()Iwx为紧支函数，离散点Ix的值只与它附近有限区域I内的点有关，与区域外的点无关。在MLS法中，为了达到最佳模拟效果，要求(2.23)式中系数()iax的选取使得局部近似函数()hux,x在计算点x的邻域x(x的定义域)内与函数u(x)的逼近误差最校在x的定义域内包含的节点Ix=x处近似函数()hux,x与精确解之差的加权平方和为：
基于MLPG法的地下水模拟问题研究183.1.2局部积分弱形式的MLPG法离散在整个研究区域内及其边界上布置N个节点jx，j1,2,,N。依据这些节点建立移动最小二乘形式的近似水头函数：1()()(),NhjjjHhxxhx(3.7)其中，x(x,y)，j为移动最小二乘法中形函数，jh为节点jx对应的水头函数近似值。以每个节点ix(i1,2,,N.)为中心，建立一个圆形子域i，将(3.7)式的近似函数代入(3.6)式中，并取v为以节点ix为中心的检验函数iv，使得代入后式子在每个节点ix对应的子域i上成立，可得求解h的离散化线性方程组：111[ddd]iiiNjijijjiijjvvvvhxxyyn12dd,1,,.iiiiHvQviN(3.8)3.2非均质稳定流问题的MLPG法与配点法耦合方法3.2.1耦合方法的建立在非均质介质中的实际地下水计算过程中，导水系数T常取为分片常数，即将区域划分为若干均质的子区域，在每个子区内的T为常数，不同子区的T取不同常数.对每个子区来说，用子区布置的所有节点建立移动最小二乘近似函数，在除去子区分界线上布置的节点外的其它节点上列出MLPG方程组，在各子区分界线布置的节点上利用相容条件建立配点方程组，最终将每个子区建立的MLPG方程组与配点方程组联立，即可计算出整个区域所有节点上解的近似值。以两个分区为例，如图3.1所示图3.1非均质区图Fig.3.1Heterogeneousmap依据(3.7)式在Ⅰ区和Ⅱ区分别建立水头近似函数：
【参考文献】：
期刊论文
[1]热弹性动力学耦合问题的插值型移动最小二乘无网格法研究[J]. 王峰,郑保敬,林皋,周宜红,范勇. 工程力学. 2019(04)
[2]无网格全局介点法[J]. 杨建军,郑健龙. 应用力学学报. 2017(05)
[3]求解大Pe对流扩散问题的MLPG新方法[J]. 陈征骥,谢文礼,李增耀,吴学红. 工程热物理学报. 2016(08)
[4]带源参数热传导问题的基于滑动Kriging插值的MLPG法[J]. 王峰,林皋,郑保敬,刘俊,李建波. 力学季刊. 2013(02)
[5]MLPG混合配点法在形状优化中的应用研究[J]. 赵亮,李书,鲁大伟. 计算力学学报. 2011(01)
[6]弹性力学的插值型边界无单元法[J]. 任红萍,程玉民,张武. 中国科学:物理学 力学 天文学. 2010(03)
[7]大变形问题分析的局部Petrov-Galerkin法[J]. 熊渊博,崔洪雪,龙述尧. 计算力学学报. 2009(03)
[8]无网格局部Petrov-Galerkin方法中本质边界条件的处理[J]. 赵美玲,聂玉峰,袁占斌. 应用力学学报. 2006(03)
[9]弹性力学的重构核粒子边界无单元法[J]. 秦义校,程玉民. 物理学报. 2006(07)
[10]弹塑性力学问题的无网格法分析[J]. 熊渊博,龙述尧,刘凯远. 机械强度. 2004(06)
硕士论文
[1]MLPG方法在地下水稳定流计算中的应用[D]. 付鑫.辽宁师范大学 2014
[2]用无网格局部彼得罗夫—伽辽金法求解非均质多孔介质中的水流问题[D]. 吴志红.辽宁师范大学 2009
本文编号：3625578
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