光滑粒子流体动力学方法及其在浅水波方程中的应用

【摘要】 光滑粒子流体动力学方法作为一种典型的无网格方法,近年来在解决计算流体力学问题时获得了广泛应用,与传统有限差分、有限元及有限体积等方法相比,该方法具有其独特的优势。本文对光滑粒子流体动力学方法的理论研究进展和应用做了综合评述,在算法改进和算法应用方面做了一定的研究,提出了一些有意义的改进措施,拓宽了算法的应用范围。主要研究工作包括：1、围绕提高光滑粒子流体动力学方法的稳定性和计算精度,在对基本方法及修正方法理论分析的基础上,指出了方法在计算稳定性、计算精度和算法效率方面所存在的问题,通过对方法数值精度的理论分析和数值模拟验证,给出了提高算法稳定性和改善计算精度的策略。2、开展了光滑粒子流体动力学方法在浅水波方程中的应用研究,详细阐述了求解浅水波方程的SPH粒子分裂算法、基于间断解的SPH方法。(1)在已有研究文献的基础上讨论了求解一维和二维浅水波方程的光滑粒子流体动力学基本方法,并对求解浅水波方程的相关技术包括稳定项的处理、初始粒子布置及光滑长度的选择等进行讨论和分析,总结了适宜于求解浅水波方程的光滑粒子流体方法的相关实现技术。(2)探讨了一种求解浅水波方程的粒子分裂算法。为提高算法的稳定性和局部流场的精度,对流场中数值陡变的区域或粒子分布较少的区域实施粒子分裂,通过局部粒子加密的方法来提高粒子分布的均匀性,以满足核函数近似和粒子近似对流场中粒子分布的要求,分裂算法拓宽了方法在干湿界面的应用。(3)探讨了求解浅水波方程的基于间断解的光滑粒子流体动力学方法。为了捕捉溃坝模拟中的激波现象,同时又保持算法的稳定性,根据间断解思想,在光滑粒子流体动力学方法中把配对粒子之间的作用视为接触间断来求解流场的高度和速度,该思想有利于提高方法对激波的捕捉能力。3、基于网格方法中的三角剖分技术,提出了一种可行的光滑粒子流体动力学二维数据预处理和后处理技术。数据预处理技术可以实现具有复杂边界流场的初始粒子配置；数据后处理技术通过把SPH输出的数据网格化,实现了利用现有的流体力学分析软件进行数值分析和图形化显示的需要。 

第一章绪论

光滑粒子流体动力学方法诞生至今己有三十多年，方法在理论研究方面取得了迅速发展，应用的领域也日益广泛，目前已成为计算力学领域研究的热点问题之一，受到国内外众多学者的关注。

1.1研究目的和意义

水力学是力学的一个重要分支，也是许多工程技术领域的基础学科。由于水流是一个较为复杂的自然现象，在很多实际工程以及洪水预报等方面，常常进行必要的简化。简化的计算模型可用于数值计算和数值分析。

浅水波方程是水流运动的基本方程N-S方程的简化形式，是各种各样浅水环境流体运动的数学描述，二维形式的浅水波方程把沿水流垂线方向视为均匆流，一维形式的浅水波方程把沿水流垂线方向和纵向都为均勾流。浅水问题广泛存在于水利、土木、洪水灾害、水环境和航运等工程技术领域，其中描述洪水灾害的渍现问题是浅水波方程的一个非常典型的应用，历来受到人们的极大关注，它不仅是实际工程中需要研究的课题，也是水动力学中一个重要的模型。通过对淸坝模型的计算，人们可以了解溃现问题的基本特征参数，，如最大水深、最大流量、涌波推进速度等等，这些参数也是进行水利工程设计、灾害预报预测的必要基础。

目前人们求解浅水波方程的所使用的方法大部分是基于网格的数值方法。SPH方法作为一种典型的无网格方法，近年来在解决计算流体力学问题时也获得了广泛应用，与传统有限差分、有限元及有限体积等方法相比，该方法具有其独特的优势。能够自然地处理极大变形问题，也能够自然地跟踪运动界面，在模拟自由表面流动时无须处理自由表面边界便可得到令人满意的结果。目前方法在粒子自适应技术、方法与间断解相结合、方法与其他数值方法的稱合等多个方面有着较为广阔的发展前景。本文研究SPH方法在浅水波方程中应用中的若干问题，通过对浅水流动中不同形式的淸琐问题的研究，揭示绩坝问题的基本特征参数，为洪水的预防预测提供技术支持。

1.2SPH方法发展概况

1.2.1SPH方法的提出

光滑粒子流体动力学方法是最早发展的无网格方法之一。它利用核函数对物理问题进行近似处理，用离散的粒子来描述宏观连续分布的流体，每个粒子携带了其所在位置的包括质量、密度、速度、能量等流体的各种属性。方法于1977年分别由Lucy和Gingold&Monaghan独立地提出，最初应用于处理三维开放空间中的天体物理问题。相比于传统的基于网格的数值方法，SPH方法具有一些特别的优点，所以一经提出便在多个领域得到了飞速的发展。

1.2.2SPH方法的主要应用领域方法提出的初期主要用于求解天体物理问题，在该领域的应用包括星系的形成和瓦解，星体间的碰撞与聚合，宇宙星体的进化等。

近年来，SPH方法在流体力学和固体力学等领域得到了广泛的应用。在流体力学领域的应用主要包括自由表面流动多相流动、热传导非牛顿流体的运动磁流体动力学、冰晶和晶体，多孔介质流、弹性流等，其中关于自由表面流动的研宄最多，包括气泡的合成与破碎、液滴的碰撞与融合、流体爬坡、楔形物体入水等多种自然现象。在固体力学中的应用主要包括脆性固体断裂、金属成型和铸造。等，由于方法适宜于处理极大形变问题，因此在高速冲击与侵彻问题中具有独特的优势，方法在固体力学中另一个重要的应用是模拟高能炸药爆炸、水下冲击爆炸等现象。

近年来，国内也在SPH方法的应用上开展了一系列的研究工作。研究的领域包括流体的自由表面流动碰撞与冲击，冲击爆炸、高速水下物体模拟、方法与有限元方法的耦合研究等。相对而言，国内的研究与国外尚具有一定的差距，鉴于方法所具有的独特优势，开展进一步的研究工作具有积极的意义。

第二章SPH方法的基本理论

本章首先阐述了SPH方法的基本理论，其次介绍了与SPH方法相关的核函数、粒子光滑长度、人工粘性、相邻粒子搜索算法、边界条件等概念。最后对SPH基本方法与修正方法的有效性进行数值验证。

2.1SPH方法的基本原理

SPH方法是一种求解偏微分方程的无网格数值方法。其基本原理描述如下：描述场的函数可写为一个狄拉克函数和一组任意点的函数值的乘积积分，将函数作函数逼近，用一个光滑函数光滑核函数替代它，场函数就可以写成一个近似的积分表达式，也就是采用近似函数来表示任意一点的场函数及其导数，将积分函数在场函数任意点处的物理量转化为该粒子周围的所有粒子的物理量叠加求和的离散化形式，这样整个流场就可以由一系列粒子表示，每个粒子的物理量都由周围粒子的物理量插值得到。

SPH方法的构造常按两个步骤进行。第一步为积分近似方法，又称场函数核近似方法；第二步为粒子近似方法。

2.2相邻粒子的搜索算法

在传统的基于网格的有限差分、有限元、有限体积方法中，网格是预先铺设的，计算过程中一般不会发生改变。而在SPH方法中，每个粒子的邻近粒子随时间而变化，计算的每一步都要确定粒子的支持域及支持域中所包含的粒子。粒子之间的相互关联是通过光滑核函数建立的，由于光滑核函数具有一个支持域，故在相关粒子的以为半径的支持域中只包含有限的粒子，而所包含的这些粒子将会在粒子近似计算过程中被使用，每个粒子只与有限数量的配对粒子作用，如何迅速而有效地找到相互作用的粒子对成为方法的一个问题。一般将这些包含在支持域中的粒子称为相关粒子的最近相邻粒子，寻找最近相邻粒子的过程通常称为最近相邻粒子搜索。每一个时间步，我们都需要找出每一个粒子支持域范围内的粒子，即该给定粒子的最邻近粒子及与支持域内粒子的距离。在一个SPH程序中，如何提高搜索邻近粒子的速度成为方法应用中必须解决的问题。

这些都是完备的粒子搜索算法，都不会对算法的精度有影响，能够满足数值计算的需要，但若应用于流体动画的实时模拟还需要寻求其它算法，一个发展的方向就是寻求能够满足实时模拟需要的不完备搜索算法，即不需要精确地搜索所有的配对粒子，只要满足视觉效果即可，即以牺牲算法的精度换取算法的效率。粒子搜索算法在多数文献中都有较为详细的介绍，这里不再赘述。

第三章求解浅水波方程的SPH方法......32

3.1浅水波方程及其拉格朗日形式.........32

3.2浅水波方程的SPH形式.........35

第四章求解浅水波方程的SPH粒子分裂算法........49

4.1粒子分布对计算结果的影响.........49

4.2SPH粒子分裂算法关于粒子自适应的讨论.......50

第五章求解浅水波方程的结合间断解问题的SPH方法.........59

5.1引言......59

5.2求解浅水波方程的结合RIEMANN问题解的SPH方法.........60

第六章SPH方法的数据预处理与后处理

数据预处理与后处理在SPH方法中起着非常重要的作用，数据预处理有助于改善数值方法的稳定性和精度，数据后处理可以帮助分析数值方法存在的问题。本章对这两项技术及与其相关的问题进行论述，给出了一种SPH二维数据预处理和后处理的方法，并通过算例验证方法的可行性。

6.1数据预处理和后处理的意义

虽然近年来SPH方法发展很快，但还有许多需要完善和改进的地方，其中SPH数据预处理和后处理技术就是其中的两个方面，数据预处理与计算精度密切相关，数据后处理与图形显示分析有关。

有限差分、有限体积等方法是建立在计算网格的基础上，质量较好的剖分网格对算法的计算结果影响很大。和基于网格的方法类似，粒子的初始分布对SPH方法的计算精度也有较大的影响，如果粒子的分布存在问题，还有可能影响算法的稳定性，导致算法出错。虽然从理论上还不能清楚的解释粒子分布对计算的精度是如何影响的，但数值实验的结果表明，当粒子分布不均匀时，计算误差可能会随着粒子间距的变化而增大，计算结果的不确定因素变多；初始时刻非均匀分布的粒子要比均勾分布的粒子更早出现数值振荡。关于粒子分布对算法精度的影口向，前面几章的讨论比较多，这里不再赘述。既然粒子初始分布对计算的准确性影响很大，因此对算法进行预处理，获得一个初始时刻均勾分布的粒子场，对提高计算结果的精度和稳定性以及加快计算的收敛具有重要意义。

预处理是为了提高算法的稳定性和计算精度，而后处理则是为了满足数值方法分析的需要。有限差分、有限体积等方法由于流场的物理量是建立在预先设计好的网格的基础上，网格中的点、线、面之间的关系是己知的，数据图形化后可以根据已知的点、线、面之间的关系分析流场的特征，而SPH是一种无网格类型的粒子方法，计算输出的数据以离散的粒子状态存在，如果直接对数据进行图形化显示，对于一维和二维等一些简单的流场可以满足数据分析的需要，而对于一些较为复杂的流场可能难以满足需要，目前仅发现少量通过赋予粒子不同的颜色来模拟三维流场的结果，如图6.1所示，该图显示了三维淸现丹塌并遇方形障碍物时的情形，在不同区域赋予粒子不同的颜色，效果比较差。现有的比较成熟的基于网格的可视化技术也无法直接利用。无网格可视化计算是一项新的技术，目前也幵发出了一些面向方法的软件，但基本上是基于直接对粒子进行处理的，主要面向的领域是天文领域，在水动力学等其它领域的适用性还有待拓展。我们所模拟的浅水波方程的计算结果无法在上述软件中处理，需要寻求新的解决办法。

第七章总结与展望

本章简要总结SPH方法在浅水流动应用研究中所做的主要工作，并对未来进一步开展的研究进行展望。

7.1研究总结

本文在综述SPH方法的理论研宄和应用的基础上，指出了该方法存在的问题，并对相关的问题给出了改进或修正的策略；重点介绍了SPH方法在浅水波方程中的应用，为提高算法的稳定性和改善算法精度，提出了一些解决方案；也对SPH数据预处理和后处理技术进行了讨论。

SPH方法的理论分析和数值验证。本文从方法的核近似和粒子近似进行理论分析，SPH方法理论上可以达到二阶精度，但数值实验表明，具体实现上难以达到二阶精度，目前方法的精度还难以与基于网格的方法相娘美，改善方法的稳定性和精度是目前面临的两个主要问题。另一方面，数值实验表明了方法应用的领域广泛，对复杂边界的适应性较好，可以自然地跟踪和捕捉流体自由表面、多介质交界面，也非常适宜于求解极大变形的物理问题，能够同时表现流体的整体和细节特征。

SPH方法的数据预处理和后处理技术。本文开展了SPH方法数据预处理和后处理方法的研宄，借用网格方法中的三角剖分技术，给出了一种可行的二维数据预处理方法，同时结合SPH方法的支持域等相关概念给出了一种简易的数据后处理方法。方法的数据预处理技术有助于算法精度的提高，本文给出的SPH方法简单易行，解决了复杂边界流场的初始粒子布置问题，但方法对算法精度的提高还十分有限。方法的数据后处理是一个难点，目前研宄的文献也不是很多。我们给出的方法仅仅能够像网格方法那样进行流场的整体形态分析，流场可能存在的粒子飞派、卷曲等细节特征无法表现出来，而相比于网格的方法，这些正是SPH方法所具有的独特优点，也是流场本身具有的特性。因此，发展一种能够完整表现方法输出流场所有特性的图形化方法，是后处理技的一项重要工作，可以期望在数值计算之外的动画模拟方面得到广泛的应用。

参考文献 （略）