平面四体问题的中心构型

发布时间：2018-03-01 19:18

本文关键词： N体问题四体问题中心构型 Dziobek方程　出处：《吉林大学》2011年硕士论文　论文类型：学位论文

【摘要】：N体问题是天体力学中一个重要的研究领域,同时对数学家而言,它也是存在很多神秘的领域,正是他们积极探寻的领域.N体问题是十分复杂且困难的问题,至今仍有很多问题尚未解决,只有N=2的二体问题得到了完整的解决.然而中心构型正是研究N体问题的重要工具,其已经有一百多年的历史,但结果并不完整,只有当N=2,3时的N体问题的中心构型得到了完整的结果.N=4时的四体问题我们知道其分类是有限的,但具体形式仍然不能完全确定,然而平面四体问题的中心构型与空间五体问题的中心构型有着密切的联系,这也正是学者们研究平面四体问题的一个因素.本文主要研究的就是部分等质量平面四体问题的中心构型的形状.根据Newton万有引力定律以及牛顿第二定律,我们得到N体问题所满足的运动方程为其中mi是第i个天体的质量,ri∈R3,是第i个天体的位置向量,|ri-rj|是向量ri与向量rj间的欧氏距离,G为万有引力常数.显然方程(1)是由3N个方程组成的二阶常微分方程组.多年的努力,数学家们得到了N体问题的10个经典积分.动量守恒定律质心运动守恒定律动量矩守恒定律能量守恒定律其中α,β,γ是积分常向量,δ是积分常数,H是总动能,U是力函数即为总势能反号. 直接求解N体问题的显示解比较困难,所以人们尝试先解决Homothetic解,HomO-graphic解以及中心构型等价类等,定义如下. 定义1设对某些i≠j},若r=r(t)∈X\△是方程(1)的解,且在质心坐标系下,对于t的任意构型r(t)与构型r(to)相似,则称r(t)为Homographic解. 定义2构型r=(r1,r2,…rn)∈X\△称为中心构型当且仅当存在常数λ,使得其中λ满足rij=|ri-rj|表示向量ri,rj之间的欧氏距离,I为转动惯量I=∑i=1n mi|ri|2. 方程(2)称为中心构型方程.如果构型r是中心构型,那么根据方程(1)及方程(2)则有ri=λri. (3)从(3)式可以看出,每一个质点的加速度的方向都是指向原点的,大小与其到原点的距离成正比,这是中心构型一个等价定义. 引理1在质量满足m=(m1,m2,…,mn)时,若构型是中心构型解,则xEr(t)也是中心构型解. 根据引理1,我们可以定义一个等价类,记为r(t)～xEr(t).显然,在上述等价类的意义下,中心构型对于质心坐标系下的正交变换,具有伸缩变换不变性和旋转变换不变性.这样,在研究中心构型的分类问题时,可以只研究每个中心构型等价类中的一个元素. 尽管很多关于中心构型解的结果都是建立在质心坐标系下的,但是在研究心构型等价类中,为了便于简化,我们仍有相当多的时候需要考虑坐标原点不在构型r的质心位置的情况.于是就需要如下引理. 引理2在质量满足m=(m1,m2,…,mn)时,如果构型r的质心不在坐标原点,即非质心坐标系,其中心构型方程(2)等价于这里是构型r的质心. 经过无数数学家的共同的努力,他们在中心构型的领域如个数、形状以及拓扑性质等,都取得了不错的成绩.本文主要用Dziobek方法研究部分等质量平面四体问题的中心构型,并给出了更为细致的分类. 定理1设m1=m2,r=(r1,r2,r3,r4)∈(R2)4,构成一个非共线平面中心构型,若构型r是凸构型,则必具有对称性,四个质点或者构成菱形中心构型,满足条件m1=m2,m3=m4,且四个角属于(π/3,(2π)/3),或者构成筝形中心构型,满足m1=m2,∠1=∠2∈(π/3,(2π)/3)；若构型r是凹构型且质点1与质点2具有对称性,则质点3和质点4必有一点在以质点1和质点2为边的等边三角形内部.
[Abstract]:......
【学位授予单位】：吉林大学
【学位级别】：硕士
【学位授予年份】：2011
【分类号】：P132.3

【参考文献】