正弦信号非零奇异值的变化规律研究
发布时间：2021-08-24 07:27
在信号的奇异值分解中,非零奇异值是信号的重要特征参数,其变化对特征提取结果有重要影响。研究了非零奇异值的变化特性,发现随着矩阵维数的增大,正弦信号的非零奇异值并不是单调上升的,而是在上升过程中存在周期性波动。进一步研究发现,这种波动和原信号的频率密切相关,原信号的频率越大,非零奇异值的波动速度就越快。从理论上对非零奇异值的这种变化规律进行了分析,证明了非零奇异值波动的快慢是由正弦信号的频率决定的,而其波动基频是原始信号频率的两倍,并通过数值模拟实例进行了验证。
【文章来源】：振动.测试与诊断. 2020,40(01)北大核心EICSCD
【文章页数】：9 页
【部分图文】：
信号x3(t),x4(t)非零奇异值上升时的波动现象
进一步发现，随着矩阵维数的增加，这两个非零奇异值的大小会发生周期性的波动，可通过数值实验来观察这一现象。以4个不同频率的正弦信号为例，x1(t)=1.25sin(2π6t+1.09),x2(t)=10.53×sin(2π18t+2.67),x3(t)=16.36sin(2π50t+0.75),x4(t)=29.71sin(2π80t+1.63)，这4个正弦信号的频率、幅值及相位等参数各不相同，以1 k Hz的采样频率对其分别采集1 024点数据，对每一个信号构造不同维数的Hankel矩阵。因信号长度L=1 024，根据前面的分析，矩阵行数m=L/2时，奇异值数量达到最大值L/2，因此这里将矩阵行数从m=3一直递增到m=512，计算每一个矩阵的奇异值。其中，SVD的计算采用文献[14]提出的多次分割双向收缩正交-右三角(quadrature right-triangle，简称QR)算法实现，它克服了单项收缩QR算法在处理大型矩阵时收敛较慢、有时收敛长时停滞等缺陷[15]，对任何大型矩阵都可以实现快速的SVD计算。得到每个信号的各个奇异值随矩阵行数的变化如图1所示。从图1可以看到，虽然4个信号的频率和幅值都是逐步增大的，但是在不同维数的矩阵下，每个信号都只有两个非零奇异值，从第3个奇异值开始的后续奇异值在所有的矩阵下都是零。对于这两个非零奇异值的具体大小，可以看到随着矩阵行数的增加，两个非零奇异值总的趋势是增大的，但是在上升过程中存在周期性波动。图1(a),(b)的波动很明显，如果画出图1(c),(d)的局部，可以看出同样也存在着周期性波动，如图2所示。从图1(a),(b)及图2来看，原始信号的频率越高，其非零奇异值的波动也越快，并且这两个奇异值的波动是反相的。如果采用其他频率的信号，也可得到类似图1,2的结果，即只要矩阵维数大于2，不管信号的频率值和幅值如何，每个频率只有两个非零奇异值，而这两个非零奇异值在上升时存在周期性波动，原信号频率越高，奇异值的波动越快，且两个奇异值的波动是反相的。
实际上，奇异值的波动不受噪声影响是有其内在原因的，因为奇异值分解本身就具有消噪功能，根据文献[13]的研究结果，对含噪信号进行奇异值分解，在得到的奇异值序列中，原信号中的确定性信号的奇异值和噪声的奇异值将会被分开，确定性信号的奇异值会排列在奇异值序列的前部，而噪声产生的奇异值则会紧接着排在后面，选择前面的奇异值进行重构，可得到消除噪声的结果，这就是奇异值分解的消噪原理。正是因为奇异值分解对噪声的这种分离特性，因此噪声对确定性信号的奇异值的波动没有什么影响，含噪信号的奇异值的波动依然存在，依然非常干净，其频率结构依然没有改变。图4 一个含噪正弦信号及其奇异值
【参考文献】：
期刊论文
[1]信号有效奇异值的数量规律及其在特征提取中的应用[J]. 赵学智,聂振国,叶邦彦,陈统坚. 振动工程学报. 2016(03)
[2]基于奇异值分解的侵彻过载信号降噪方法[J]. 赵海峰,张亚,李世中,郭燕. 振动.测试与诊断. 2015(04)
[3]基于信息熵的涡旋压缩机振动信号分析[J]. 邬再新,刘涛,黄成东. 振动.测试与诊断. 2014(01)
[4]单向收缩QR算法在奇异值分解中的收敛特性[J]. 赵学智,叶邦彦. 电子科技大学学报. 2010(05)
[5]大型矩阵奇异值分解的多次分割双向收缩QR算法[J]. 赵学智,叶邦彦,陈统坚. 华南理工大学学报(自然科学版). 2010(01)
本文编号：3359559
【文章来源】：振动.测试与诊断. 2020,40(01)北大核心EICSCD
【文章页数】：9 页
【部分图文】：
信号x3(t),x4(t)非零奇异值上升时的波动现象
进一步发现，随着矩阵维数的增加，这两个非零奇异值的大小会发生周期性的波动，可通过数值实验来观察这一现象。以4个不同频率的正弦信号为例，x1(t)=1.25sin(2π6t+1.09),x2(t)=10.53×sin(2π18t+2.67),x3(t)=16.36sin(2π50t+0.75),x4(t)=29.71sin(2π80t+1.63)，这4个正弦信号的频率、幅值及相位等参数各不相同，以1 k Hz的采样频率对其分别采集1 024点数据，对每一个信号构造不同维数的Hankel矩阵。因信号长度L=1 024，根据前面的分析，矩阵行数m=L/2时，奇异值数量达到最大值L/2，因此这里将矩阵行数从m=3一直递增到m=512，计算每一个矩阵的奇异值。其中，SVD的计算采用文献[14]提出的多次分割双向收缩正交-右三角(quadrature right-triangle，简称QR)算法实现，它克服了单项收缩QR算法在处理大型矩阵时收敛较慢、有时收敛长时停滞等缺陷[15]，对任何大型矩阵都可以实现快速的SVD计算。得到每个信号的各个奇异值随矩阵行数的变化如图1所示。从图1可以看到，虽然4个信号的频率和幅值都是逐步增大的，但是在不同维数的矩阵下，每个信号都只有两个非零奇异值，从第3个奇异值开始的后续奇异值在所有的矩阵下都是零。对于这两个非零奇异值的具体大小，可以看到随着矩阵行数的增加，两个非零奇异值总的趋势是增大的，但是在上升过程中存在周期性波动。图1(a),(b)的波动很明显，如果画出图1(c),(d)的局部，可以看出同样也存在着周期性波动，如图2所示。从图1(a),(b)及图2来看，原始信号的频率越高，其非零奇异值的波动也越快，并且这两个奇异值的波动是反相的。如果采用其他频率的信号，也可得到类似图1,2的结果，即只要矩阵维数大于2，不管信号的频率值和幅值如何，每个频率只有两个非零奇异值，而这两个非零奇异值在上升时存在周期性波动，原信号频率越高，奇异值的波动越快，且两个奇异值的波动是反相的。
实际上，奇异值的波动不受噪声影响是有其内在原因的，因为奇异值分解本身就具有消噪功能，根据文献[13]的研究结果，对含噪信号进行奇异值分解，在得到的奇异值序列中，原信号中的确定性信号的奇异值和噪声的奇异值将会被分开，确定性信号的奇异值会排列在奇异值序列的前部，而噪声产生的奇异值则会紧接着排在后面，选择前面的奇异值进行重构，可得到消除噪声的结果，这就是奇异值分解的消噪原理。正是因为奇异值分解对噪声的这种分离特性，因此噪声对确定性信号的奇异值的波动没有什么影响，含噪信号的奇异值的波动依然存在，依然非常干净，其频率结构依然没有改变。图4 一个含噪正弦信号及其奇异值
【参考文献】：
期刊论文
[1]信号有效奇异值的数量规律及其在特征提取中的应用[J]. 赵学智,聂振国,叶邦彦,陈统坚. 振动工程学报. 2016(03)
[2]基于奇异值分解的侵彻过载信号降噪方法[J]. 赵海峰,张亚,李世中,郭燕. 振动.测试与诊断. 2015(04)
[3]基于信息熵的涡旋压缩机振动信号分析[J]. 邬再新,刘涛,黄成东. 振动.测试与诊断. 2014(01)
[4]单向收缩QR算法在奇异值分解中的收敛特性[J]. 赵学智,叶邦彦. 电子科技大学学报. 2010(05)
[5]大型矩阵奇异值分解的多次分割双向收缩QR算法[J]. 赵学智,叶邦彦,陈统坚. 华南理工大学学报(自然科学版). 2010(01)
本文编号：3359559
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