非零奇异值和频率的关系及其在信号分解中的应用

发布时间：2019-10-12 12:50

【摘要】：研究了Hankel矩阵方式下确定性信号的非零奇异值和信号所含频率数量之间的关系,发现只要矩阵维数大于信号中频率数量的二倍,此后不管维数再怎样增大,非零奇异值的数目始终维持为信号中频率数量的两倍不变.研究了非零奇异值和单个频率之间存在的对应关系,提出利用奇异值分解来分离单个的频率成分,发现了奇异值分解分离单个频率成分的条件,在这种条件下奇异值分解可以准确地分离出任何的单个频率成分.利用奇异值分解的这一特性对轴承振动信号进行特征提取,分离出了轴承各个振动频率清晰的时域波形,由此准确地揭示了轴承的实际振动状态.
【图文】：

幅值,奇异值,非零

电子学报2017年一起的，因此奇异值的选择必须从奇数序号开始，到偶数序号结束．例如选择σ2和σ3进行配对是错误的，虽然它们在序号上是连续的，但是它们并不属于同一个频率，σ1和σ2才属于同一个频率，而σ3和σ4属于另一个频率．4对模拟信号的分离实例对信号x(t)=sin(2π·2t)+sin(2π·3t+0.78)+cos(2π·7t)+cos(2π·19t+1.21)以采样频率512Hz采集1024点数据，结果如图3(a)所示，其幅值谱如图3(b)．现在利用非零奇异值与频率的内在联系来分离x(t)中的这4个频率成分．首先不添加噪声，直接利用x(t)构造512×513的Hankel矩阵并进行SVD，得到x(t)的奇异值结果如图4所示，在图中用‘o’表示，可见x(t)只有8个非零奇异值，这与x(t)中含4个频率的情况相符．现分别选取σ1和σ2、σ3和σ4、σ5和σ6、σ7和σ8这四对奇异值进行SVD重构，即有:Hi=∑2ij=2i－1σjujvTj，i=1，2，3，4(7)采用平均法［11］从Hi中恢复出信号，得到四个分量信号如图5．从图5可见，此时SVD对单个频率成分的分离效果很差，在每个分量信号中至少都有两个频率成分存在，而在第1个分量信号中四个频率成分全都存在，显然此时的频率分离效果是很糟糕的．现在向原始信号x(t)中添加零均值的白噪声，信号和噪声能量之比为6.4588，得到含噪信号及其幅值谱如图6所示．利用这含噪信号构造512×513的Han-kel矩阵并进行SVD，将得到的奇异值同样绘于图4中，在图中用‘*’表示，可见其前8个非零奇异值位于原信号的非零奇异值附近，但是存在一定扰动．将这前8个非零奇异值分成四对，根据式(7)进行重构，同样利2012

奇异值,矩阵,信号,非零

电子学报2017年一起的，因此奇异值的选择必须从奇数序号开始，到偶数序号结束．例如选择σ2和σ3进行配对是错误的，虽然它们在序号上是连续的，但是它们并不属于同一个频率，σ1和σ2才属于同一个频率，而σ3和σ4属于另一个频率．4对模拟信号的分离实例对信号x(t)=sin(2π·2t)+sin(2π·3t+0.78)+cos(2π·7t)+cos(2π·19t+1.21)以采样频率512Hz采集1024点数据，结果如图3(a)所示，其幅值谱如图3(b)．现在利用非零奇异值与频率的内在联系来分离x(t)中的这4个频率成分．首先不添加噪声，直接利用x(t)构造512×513的Hankel矩阵并进行SVD，得到x(t)的奇异值结果如图4所示，在图中用‘o’表示，可见x(t)只有8个非零奇异值，这与x(t)中含4个频率的情况相符．现分别选取σ1和σ2、σ3和σ4、σ5和σ6、σ7和σ8这四对奇异值进行SVD重构，即有:Hi=∑2ij=2i－1σjujvTj，i=1，2，3，4(7)采用平均法［11］从Hi中恢复出信号，得到四个分量信号如图5．从图5可见，此时SVD对单个频率成分的分离效果很差，在每个分量信号中至少都有两个频率成分存在，而在第1个分量信号中四个频率成分全都存在，显然此时的频率分离效果是很糟糕的．现在向原始信号x(t)中添加零均值的白噪声，信号和噪声能量之比为6.4588，得到含噪信号及其幅值谱如图6所示．利用这含噪信号构造512×513的Han-kel矩阵并进行SVD，，将得到的奇异值同样绘于图4中，在图中用‘*’表示，可见其前8个非零奇异值位于原信号的非零奇异值附近，但是存在一定扰动．将这前8个非零奇异值分成四对，根据式(7)进行重构，同样利2012
【作者单位】：华南理工大学机械与汽车工程学院;
【基金】：国家自然科学基金(No.51375178) 广东省自然科学基金(No.S2012010008789)
【分类号】：TN911.7

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