量子BCH码的构造

发布时间：2020-08-12 00:45

【摘要】：量子系统和环境之间不是完全孤立的。在量子通信过程中消相干现象使得携带信息的量子态发生改变。量子纠错码是解决量子消相干的主要方式之一。如何构造好的量子码是研究量子纠错理论的重要组成部分。量子码可以利用满足特殊关系的经典码构造。已有的研究结果缺少一般性的方法,只能针对特殊的参数集合选择特定的分圆陪集。已有的结论要求有限域的阶是奇素数的幂,码长是固定的表达式。因此,只能构造某一长度范围内的量子码。为了解决这些问题,本文给出了选择合适的分圆陪集的一般性方法,从理论上证明了分圆陪集的选择方案是最好的。在此基础上,本文提出的构造定理设计了任意有限域上任意码长的量子BCH码。在实际的物理系统中,有限域只能刻画素数幂阶的量子系统。有限环可以描述任意阶的量子系统。目前,对于有限环上的量子码研究较少。本文研究有限环上的量子码的构造,提出了有限链环上量子码的构造算法。对于具有特殊结构的Galois环,论文提出了两种构造量子码的方案。同时,对于有限域和有限环上量子码构造之间的联系进行了简要分析。本文的主要研究内容包括以下4个部分:(1)构造有限域上素数阶的量子BCH码。针对有限域上阶为2的量子BCH码,已有的方案只研究了码长为n=r(q-1)的量子码。本文研究了其镜像的码长n=r(q+1),补充了已知的结论。已知的研究只能在F_(q2)域上采用Hermitian构造设计最小距离为3的量子MDS码。本文通过Steane构造设计任意有限域上最小距离为3的量子MDS码,丰富了量子MDS码的构造理论。对于有限域上阶为3的量子BCH码,已有的构造方案只能在给定分圆陪集的前提下构造量子码。本文的构造定理不需要限定具体的分圆陪集。同时,构造定理中可选择的分圆陪集的区间更广。和已有的结论相比,论文中的构造方案可以产生更高维数和更大最小距离下界的量子BCH码。因此,构造的量子码的码空间包含纠错性能更好,数量更多的码向量。(2)构造有限域上偶数阶的量子BCH码。通过合理的分解码长表达式,证明了分圆陪集满足对偶包含关系的必要条件。利用经典码中分圆陪集的基本性质,确定了合适的分圆陪集。和目前可比较的方案相比,论文采用Steane构造可以构造新的量子BCH码。对于Hermitian构造,已知的结论要求q是奇素数的幂,或者只能构造本原量子BCH码。论文的构造方案可以分别生成任意有限域上本原量子BCH码和非本原量子BCH码。(3)构造一般条件下的量子BCH码。对于任意阶的量子码,已知的结论只构造了q=2或者r=1时的量子BCH码。本文推广了这些构造算法。通过分圆陪集的性质,论文确定了分圆陪集需要满足的必要条件,然后全面分析了这些区间内所有分圆陪集生成的经典码能否构造量子BCH码。对于不同的参数条件,论文分别给出了不同的构造方案。生成的经典BCH码不仅可以构造量子BCH码,而且便于计算对应量子BCH码的维数。最重要的是,选择的分圆陪集含有最多的连续整数。因此,构造的量子BCH码的最小距离的下界达到最大。本文的构造方案在理论和实际的码参数都好于已知的构造方法。(4)将量子码在有限域上的构造扩展到有限环上,尤其是具有特殊结构的链环上。通过研究有限链环上多项式分解和定义集合的性质,推导出满足对偶关系时的充要条件,提出了有限链环上量子码的两种构造方案,并给出了相应的构造算法。将量子码在有限域上的构造扩展到有限链环上,弥补了量子纠错码理论在有限链环上的不足。论文简要分析了有限域和有限环上量子码构造之间的联系。通过分析正整数剩余类环上量子码的构造过程,将有限环上量子码的构造问题转换到Galois环上量子码的构造问题。
【学位授予单位】：西安电子科技大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2019
【分类号】：O413;TN918

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