有关水力学研究课题_河流泥沙动力学习题及答案

  本文关键词：泥沙动力学，由笔耕文化传播整理发布。

河流泥沙动力学习题
1.某河道悬移质沙样如下表所列。要求： 1.某河道悬移质沙样如下表所列。要求： 某河道悬移质沙 的分布图， （1）用半对数坐标纸绘出粒径组的沙重百分数 P 的分布图，绘出粒径的累积分布曲 ） 线，求出 d50、dpj、 ? （ =

d 75 的数值。 ）的数值。 d 25

的分布图， （2）用对数概率坐标纸

绘出粒径组的沙重百分数 P 的分布图，绘出粒径的累积分布 ） 曲线， 的数值。 曲线，求出 d50、 ? 的数值。 的分布图，绘出粒径的累积分布曲线。 （3）用方格纸绘出粒径组的沙重百分数 P 的分布图，绘出粒径的累积分布曲线。 ） 分组号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 分界粒径 D 毫米） （毫米） 0.280 0.220 0.170 0.130 0.100 0.080 0.062 0.048 0.038 0.029 0.023 0.018 0.014 0.011 沙重百分数 P （%） ） 0.10 0.58 2.10 5.70 12.00 18.50 22.00 18.50 12.00 5.70 2.10 0.58 0.10 0.04 小于某粒径之沙重百分数 （%） ） 100.00 99.90 99.32 97.22 91.52 79.52 61.02 39.02 20.52 8.52 2.82 0.72 0.14 0.04

解：根据题意计算出小于某粒径之沙重百分数，列表如上。 （1） 、半对数坐标纸上粒径组的沙重百分数 P 的分布图及粒径的累积分布曲线 从下述半对数坐标纸上的粒配累计曲线上可查得中值粒径 d 50 = 0.054 mm ，

d 75 = 0.075 mm ， d 25 = 0.041 mm 。

平均粒径： d pj =

∑ ?p d
i =1 14 i

14

i

∑ ?p
i =1

=

6.8675 = 0.069 ， 100
1

i

非均匀系数： ? =

d 75 0.075 = = 1.353 。 d 25 0.041

半对数坐标纸上的沙重百分数p的分布图 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 1 0.1 粒径（mm） 0.01

沙重百分数（%）

半对数坐标纸上的粒配累积分布曲线 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 1 0.1 粒径（mm） 0.01 小于某粒径之沙重百分数（%）

（2） 、对数概率坐标纸上粒径组的沙重百分数 P 的分布图及粒径的累积分布曲线 （3） 、方格纸上粒径组的沙重百分数 P 的分布图及粒径的累积分布曲线

2

方格纸上的沙重百分数p的分布图 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 0 0.05 0.1 0.15 粒径（mm） 0.2 0.25 0.3

沙重百分数（%）

方格纸上的粒配累积分布曲线 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 0 0.05 0.1 0.15 粒径（mm） 0.2 0.25 0.3 小于某粒径之沙重百分数（%）

2.已知泥沙沉降处于过渡区的动力平衡方程式为（ 可查表） 2.已知泥沙沉降处于过渡区的动力平衡方程式为（ω 可查表） 已知泥沙沉降处于过渡区的动力平衡方程式为 ：

K 1 (γ s ? γ )d 3 = K 2 ρυdω + K 3 ρd 2ω 2
令上式为 A=B+C

要求计算并绘制 d ～

C C π 及 Re d ～ 的 关 系 曲 线 。 取 K1 = （ ， B+C B+C 6

γ s = 2.65 g / cm 3 ， γ s = 1 g / cm 3 ，水温为 10℃，d 取 0.01～0.5mm） 10℃ 0.01～0.5mm）
3

解： （1）确定系数 K1 和 K2 将泥沙沉降处于过渡区的动力平衡方程式进行换算可得到：

? 1 K 2 v ? K1 γ s ? γ 1 K2 v + ? gd ω=? ?2 K d ? + K ? 2 K3 d γ 3 3 ? ?

2

γ ?γ v ? v? gd ? C1 = ? C1 ? + C2 s γ d ? d?
2

无量纲系数 C1 = 已知 K 1 =

K 1 K2 ， C 2 = 1 根据实测资料分别取为：C1=13.95，C2=1.09，且 2 K3 K3

π
6

，则可确定得 K2= 13.4022，K3= 0.4804。

（2）根据题意将计算项目和结果列于下表： 水温为 10℃时， 水的密度ρ=1000kg/m ,容重γ=9800N/m ,运动粘性系数 υ =1.306 -6 2 3 ×10 m /s，泥沙的容重γs=25980N/m 。
3 3

粒径 d (mm) 0.01 0.015 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 0.15 0.2 0.3 0.4 0.5

沉速ω （cm/s） 0.00481 0.0108 0.0192 0.0432 0.077 0.12 0.173 0.235 0.308 0.389 0.47 1.04 1.75 3.39 4.99 6.42

Red=ωd/ υ 3.6830E-04 1.2404E-03 2.9403E-03 9.9234E-03 2.3583E-02 4.5942E-02 7.9479E-02 1.2596E-01 1.8867E-01 2.6807E-01 3.5988E-01 1.1945E+00 2.6799E+00 7.7871E+00 1.5283E+01 2.4579E+01

A=B+C 3 =K1(γs-γ)d 8.4666E-12 2.8575E-11 6.7733E-11 2.2860E-10 5.4186E-10 1.0583E-09 1.8288E-09 2.9040E-09 4.3349E-09 6.1721E-09 8.4666E-09 2.8575E-08 6.7733E-08 2.2860E-07 5.4186E-07 1.0583E-06

C=K3ρd ω

2

2

C/(B+C) 1.3127E-05 4.4118E-05 1.0458E-04 3.5295E-04 8.4098E-04 1.6340E-03 2.8301E-03 4.4761E-03 6.7278E-03 9.5394E-03 1.2533E-02 4.0911E-02 8.6878E-02 2.1734E-01 3.5319E-01 4.6770E-01

1.1114E-16 1.2607E-15 7.0833E-15 8.0683E-14 4.5569E-13 1.7293E-12 5.1757E-12 1.2999E-11 2.9164E-11 5.8878E-11 1.0611E-10 1.1690E-09 5.8845E-09 4.9684E-08 1.9138E-07 4.9497E-07

4

（3）绘制 d ～

C C 及 Re d ～ 的关系曲线 B+C B+C
d～C/(B+C)关系曲线

0.50 0.45 0.40 0.35 0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 0.00 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

C/(B+C)

粒径d（mm）

Red～C/(B+C)关系曲线
0.50 0.45 0.40 0.35 0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 0.00 0.00 5.00 10.00 15.00 20.00 25.00

C/(B+C)

Red

3.有一卵石，d=0.10m， 3.有一卵石，d=0.10m， 有一卵石

a b c 9 6 4 : : = : : ，从水深 h=10m 的水面抛入水中，水的 的水面抛入水中， d d d 6 6 6

u=1m/s，若不考虑动水流动的影响时，求卵石沉到河底的水平距离 水平距离。 流速为 u=1m/s，若不考虑动水流动的影响时，求卵石沉到河底的水平距离。 解：根据题意可求出卵石长、中、短轴的长度分别为 a=0.15m，b=0.10m，c=0.07m。

5

? c ? 运用考虑形状影响的沉速公式 ω = 1.72? ? ? ? ? ab ?

2

3

γs ?γ gd ， 求得沉速为： γ

? c ? ? ω = 1.72? ? ? ? ab ?

2

3

γs ?γ gd γ
2 3

? ? 0.07 = 1.72 × ? ? ? ? ? 0.15 × 0.10 ? = 1.51 m/s
则卵石有水面沉到河底所需时间为： t =

×

2.65 ? 1 × 9.8 × 0.1 1

h 10 = = 6.62 s ，由于不考虑动水流动的 ω 1.51 影响，所以卵石沉到河底的水平距离为： l = ut = 1× 6.62 = 6.62 m 。

4.一种天然沙， d=2.5mm， 计算这种天然沙处于临界起动状态时的直接作用流速。 4.一种天然沙， 一种天然沙 粒径 d=2.5mm， 计算这种天然沙处于临界起动状态时的直接作用流速。 在宽浅天然河道中， 8.5m， 1/1000， 在宽浅天然河道中，水深为 8.5m，比降为 1/1000，糙率为 0.032 时，这种泥沙是否 会被冲刷？如果在室内实验水槽里， 其起动流速是多少？（ ？（计算 会被冲刷？如果在室内实验水槽里，水深为 25cm 时，其起动流速是多少？（计算 ubc 时α =

2 ） 3

解:（1）计算临界起动底速 ubc

临界起动底速 u bc

? ? 2 γs ? γ 2 K 3 a3 ?d ? ? =? gd = (1 + m)α mU c ? ? ， ?K C a +K C a ? γ ?h? ? 1 D 1 2 L 2 ?
m

1

其中起动流速 U c = η 式得：

γs ? γ ? h ? gd ? ? ，根据沙莫夫公式取η=1.14，m=1/6，代入上 γ ?d ?
m

6

u bc

?d ? = (1 + m)α U c ? ? ?h?
m m

m

γ ?γ ?h? ?d ? = ( 1 + m)α η s gd ? ? ? ? γ ?d ? ?h?
m

m

= ( 1 + m)α m η

γs ? γ gd γ
1

1 ? 2 ?6 2.65 ? 1 = (1 + ) × ? ? × 1.14 × × 9.8 × 2.5 × 10 ?3 6 ?3? 1 = 0.25 m/s
（2）计算实际平均流速 U 及起动流速 Uc 在宽浅天然河道中，水力半径 R=h=8.5m，根据谢才公式及曼宁公式计算实际平均

1 1 ? 1 ?2 流速： U = C RJ = R 3 J 2 = × 8.5 3 × ? ? = 1.302 m/s n 0.032 ? 10000 ?
根据沙莫夫公式计算起动流速：

2

1

2

1

γ ? γ ? h ?6 U c = 1.14 s gd ? ? γ ?d ?
1

1

= 1.14 × 1.65 × 9.8 × 2.5 × 10 ?3 = 0.897 m/s

? 8 .5 ? 6 ×? ?3 ? ? 2.5 × 10 ?

由于 U＞Uc 即实际平均流速大于起动流速，所以这种泥沙会被冲刷。 （3）h=25cm 时，计算起动流速 根据沙莫夫公式得 h=25cm 时，起动流速为：

γ ? γ ? h ?6 U c = 1.14 s gd ? ? γ ?d ? = 1.14 × 1.65 × 9.8 × 2.5 × 10 = 0.498 m/s
5.长江界牌河段， 浅滩部分的航深不足 3m， 时水位已接近设计库水位， 3m， 时水位已接近设计库水位， 5.长江界牌河段， 长江界牌河段 某年元月初， 某年元月初， 此
7
?3

1

? 25 × 10 -2 ? 6 ×? ? 2.5 × 10 ?3 ? ? ? ?

1

试判断当水位达到设计枯水位时，航道有无可能被冲刷？有关资料如下： 试判断当水位达到设计枯水位时，航道有无可能被冲刷？有关资料如下： 13.49m， /s， （1）设计枯水位 13.49m，相应流量 4500m /s，其中要求航宽范围内浅滩部分通过的 1/4。 流量占全断面流量的 1/4。 0.24mm。 （2）浅滩部分床沙中值粒径为 0.24mm。 800m，在范围内的断面资料如下表： （3）航道通过浅滩，要求航宽为 800m，在范围内的断面资料如下表： 航道通过浅滩， 起点距离（ 起点距离（m） 740 河底高程（ 河底高程（m） 11.10 880 11.60 1150 11.60 1400 13.00 1540 11.10
3

解： （1）计算设计枯水位时航宽范围内断面实际平均流速 设计枯水位时航宽范围内浅滩部分通过的流量：

Q=

1 1 Q 枯 = × 4500 = 1125 m 3 / s ， 4 4

航道通过浅滩范围内的断面面积：

A=

1 1 × 140 × (2.39 + 1.89) + 270 × 1.89 + × 250 × (1.89 + 0.49) 2 2 1 + × 140 × (0.49 + 2.39) 2 = 1309 m 2
浅滩范围内的断面图

13.5 河底高程（m） 13.0 12.5 12.0 11.5 11.0 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600 起点距离（m）

所以航宽范围内断面实际平均流速 U =

Q 1125 = = 0.859 m/s A 1309
8

（2）计算航道泥沙起动流速 由 于 航 道 通 过 浅 滩 时 ， 要 求 航 宽 为 800m ， 则 浅 滩 范 围 内 断 面 平 均 水 深

h=

A 1309 = = 1.636 m 。根据沙莫夫公式计算起动流速为： B 800

γ ? γ ? h ?6 U c = 1.14 s gd ? ? γ ?d ?
1

1

= 1.14 × 1.65 × 9.8 × 0.24 × 10 = 0.312 m/s
（3）判断航道有无冲刷

?3

? 1.636 ? 6 ×? ?3 ? ? 0.24 × 10 ?

由于 U＞Uc，即实际平均流速大于起动流速，所以航道会被冲刷。

3 6.某水库下泄水流为清水，其下游河道将发生冲刷， /s， 6.某水库下泄水流为清水，其下游河道将发生冲刷，当下泄流量为 500m /s，河道宽 某水库下泄水流为清水 2 200m， 的条件下，河床冲深多少？ 为 200m，过水断面面积为 500m ，泥沙平均粒径为 5.5mm 的条件下，河床冲深多少？

3

解： （1）判断河床是否会被冲刷 实际平均流速 ： U =

Q 500 = = 1 m/s ， A 500
1

起动流速根据沙莫夫公式计算：

γ ? γ ? h ?6 U c = 1.14 s gd ? ? γ ?d ?
1

= 1.14 × 1.65 × 9.8 × 5.5 × 10 = 0.943 m/s

?3

? 2 .5 ? 6 ×? ?3 ? ? 5.5 × 10 ?

由于 U＞Uc，即实际平均流速大于起动流速，所以河床会被冲刷。 （2）计算河床冲深 设河床冲深为 ?h ，则根据题意可通过关系式 U = U c 求出河床冲深 ?h 即：

γ ?γ Q ? h + ?h ? 6 = 1.14 s gd ? ? (h + ?h )B γ ? d ?
将已知数据代入上式得：
9

1

500 ? 2.5 + ?h ? 6 = 1.14 × 1.65 × 9.8 × 5.5 × 10 ?3 ? ，解此方程可得 ?3 ? (2.5 + ?h ) × 200 ? 5.5 × 10 ?
到： ?h = 0.13 m = 13 cm ，即河床冲深 13cm。 7.有一条灌溉渠道 ， 断面如图所示， 通过粘性土壤地区 性土壤地区， 7. 有一条灌溉渠道，断面如图所示 ， 通过粘 性土壤地区 ， 泥沙组成的平均粒径为 有一条灌溉渠道 0.03mm， 公里， 1/3000，问引取清水， 0.03mm，渠道长 10 公里，渠道坡降为 1/3000，问引取清水，渠道水深为 2m 时，会不 会发生冲刷？如果发生冲刷，应如何修改渠道？（n=0.02） ？（n=0.02 会发生冲刷？如果发生冲刷，应如何修改渠道？（n=0.02） 解： （1）计算渠道水流的实际平均流速 渠道过水断面面积： A = bh + mh = 1 × 2 + 1.5 × 2 = 8 m ，
2 2

1

湿周： χ = b + 2 1 + m 2 h = 1 + 2 × 1 + 1.5 2 × 2 = 8.21 m ， 水力半径： R =

A

χ

=

8 = 0.97 m ， 8.21

根据谢才公式和曼宁公式计算渠道水流的实际平均流速：

1 1 ? 1 ?2 U = C RJ = R 3 J 2 = × 0.97 3 × ? ? = 0.89 m/s n 0.02 ? 3000 ?
（2）计算渠道泥沙起动流速 由于泥沙组成的平均粒径为 0.03mm，属于粗粉土，所以采用考虑粘性的张瑞瑾公 式计算渠道泥沙起动流速了：

2

1

2

1

?h? Uc = ? ? ?d ?

0.14

ρ ?ρ ? 10 + h ? ?17.6 s d + 0.000000605 0.72 ? ? ? ρ d ? ?
0.14

1 2

2 ? ? =? ?3 ? ? 0.03 × 10 ? = 0.59 m/s

? ?2 10 + 2 ? × ?17.6 × 1.65 × 0.03 × 10 ?3 + 0.000000605 × ? (0.03 × 10 ?3 ) 0.72 ? ? ?

1

由于 U＞Uc，即渠道实际平均流速大于泥沙起动流速，所以渠道会发生冲刷。 （3）为减少冲刷，可采用减缓渠道坡降的途径来修改渠道。
3 8.某河道型水库长 公里， 8.某河道型水库长 20 公里，河床坡降为 1‰0，当入库流量为 1000m /s 时，全库区平 200m， 5m，库区河底为均匀沙， =3mm， 均河宽为 200m，回水末端以上平均水深 5m，库区河底为均匀沙，d50=3mm，问在上述 水流条件下河床上的泥沙会不会向坝前推移？到达何处将停止推移？（库区水面接近 何处将停止推移？（ 水流条件下河床上的泥沙会不会向坝前推移？到达何处将停止推移？（库区水面接近 水平） 水平） 解： （1）计算回水末端以上实际平均流速 3

回水末端以上平均过水断面面积： A = Bh = 200 × 5 = 1000 m ，
2

10

实际平均流速： U =

Q 1000 = = 1 m/s 。 A 1000

（2）计算泥沙起动流速 根据沙莫夫公式计算起动流速：

γ ? γ ? h ?6 U c = 1.14 s gd ? ? γ ?d ?
1

1

= 1.14 × 1.65 × 9.8 × 3 × 10 = 0.86 m/s

?3

? 5 ?6 ×? ?3 ? ? 3 × 10 ?

由于 U＞Uc，即水库回水末端以上实际平均流速大于泥沙起动流速，所以渠道会 发生冲刷。 （3）设河床上的泥沙在到达距坝前 x 米时将停止推移，则根据题意进行以下计算

20 × 10 3 ? x 坝前 x 米处水流过水断面面积： A = B ( h + ?h) = 200 × (5 + )， 10000
坝前 x 米处水流实际平均流速：U =

Q = A

1000 50000 = 3 70000 ? x 20 × 10 ? x 200 × (5 + ) 10000

河 床 泥 沙 止 动 流 速 采 用 沙 莫 夫 公 式 ， 取 止 动 流 速 为 起 动 流 速 的 1/1.2 ， 即

U c' =

U c 0.86 = = 0.72 m/s 。 1 .2 1 .2
'

当 U = U c 时，河床泥沙将停止推移，则可建立方程如下：

50000 = 0.72 70000 ? x
解之可得：x=555.56m，即河床上的泥沙在到达距坝 555.56m 时将停止推移。

11

10.某河道左岸有一座灌溉引水闸， 1000m /s， 10.某河道左岸有一座灌溉引水闸，闸底高出河底 2 米，当河道流量为 1000m /s，河 某河道左岸有一座灌溉引水闸 100m， 5m， 20℃ 的泥沙会不会进入渠道？ 宽为 100m，水深为 5m，水温为 20℃时，问粒径为 1mm 的泥沙会不会进入渠道？哪种 粒径的泥沙会进入渠道？（河道断面接近矩形） ？（河道断面接近矩形 粒径的泥沙会进入渠道？（河道断面接近矩形） 解： （1）若要使粒径为 1mm 的泥沙进入渠道，需使河道断面平均流速大于或等于泥沙 扬动流速，即 U ≥ U s ，其中： 河道断面平均流速： U =

3

Q 1000 = = 2 m/s ， A 100 × 5
1 1

15.1 ? h ? 6 15.1 ? 5 ? 6 泥沙扬动流速： U s = ? ? ω= ? ? × 0.1193 z ?d ? z ? 1 × 10 ?3 ?
。 （水温 20℃时，粒径 1mm 的泥沙沉速 ω = 11.93 cm / s ）

15.1 ? 5 ? 6 所以，悬浮指标 z ≥ ×? ? × 0.1193 = 3.725 。 2 ? 1 × 10 ?3 ?
根据相对含沙量沿水深分布的方程式可得， y = 2 m 时相对含沙量沿水深的分布 （相对水深

1

a = 0.05 ） ： h
3.725 ?h ? ? 5 ? ?1 ? 2 ?1 ? S ?y ? ? ≤? =? = 7.809 × 10 ?5 ＜＜ 1 × 10 ?3 ? Sa ? h ? ? 1 ? 1? ?1 ?a ? ? 0.05 ? ? ? ? ? z

据此可判断出粒径 1mm 的泥沙不会进入渠道。

（2）假定相对含沙量沿水深的分布 道，即：

S ≥ 1 × 10 ?3 时，粒径为 d 的泥沙才会进入渠 Sa

z ?h ? ? 5 ? ? 1? ?1 ? ? S ?y ?3 ? ? =? 2 = ? ≥ 1 × 10 Sa ? h ? ? 1 ? 1? ?1 ?a ? ? 0.05 ? ? ? ? ?

z

所以，亦即悬浮指标 z ≥ 2.721 时粒径为 d 的泥沙才会进入渠道。
12

根据（1）可知 U ≥ U s 时，泥沙可进入渠道，即：
1 1

15.1 ? h ? 6 15.1 ? 5 ? 6 U ≥ Us = ? ? ω≥ ? ? ω z ?d ? 2.721 ? d ?
则由上述关系可得： ω ≤ 0.276d 。再由张瑞瑾沉速公式得：
1 6

ω = ?13.95 ? + 1.09

? ?

v? d?

2

γs ?γ v gd ? 13.95 γ d
2

? 1.003 × 10 ?6 ? 1.003 × 10 ?6 ? + 1.09 × 1.65 × 9.8d ? 13.95 × = ?13.95 × ? ? d d ? ?
1

≤ 0.276d 6
对上述关于 d 的关系式取不同的粒径进行试算可得： 粒径 d ≤ 0.58 mm 的泥沙可 进入渠道。
3 11.某水电站要求防止 粗沙进入水轮机， /s， 200m， 11.某水电站要求防止 2mm 粗沙进入水轮机， 某水电站要求 当设计流量为 2500m /s， 相应河宽为 200m， 问水电站进水口高程距河底以上何处才能满足要求。 水深为 5m 时，问水电站进水口高程距河底以上何处才能满足要求。 3

解： 要防止粒径为 2mm 的泥沙进入水轮机， 需使河道断面平均流速小于泥沙扬动流速， 即 U ＜ U s ，其中： 河道断面平均流速： U =

Q 2500 = = 2.5 m/s ， A 200 × 5

计算泥沙扬动流速需先根据张瑞瑾公式计算粒径为 2mm 的泥沙的沉速：

γ ?γ v? v ? ω = ?13.95 ? + 1.09 s gd ? 13.95 d? γ d ?
2

? 1.003 × 10 ? 6 ? 1.003 × 10 ? 6 ? + 1.09 × 1.65 × 9.8 × 2 × 10 ?3 ? 13.95 × = ?13.95 × ? 2 × 10 ?3 ? 2 × 10 ?3 ? ? = 0.181 m / s

2

15.1 ? h ? 6 15.1 ? 5 ? 6 泥沙扬动流速： U s = ? ? ω= ? ? × 0.181 z ?d ? z ? 2 × 10 ?3 ?
13

1

1

15.1 ? 5 ? 6 所以，悬浮指标 z ≤ ×? ? × 0.181 = 4.028 。 2.5 ? 2 × 10 ?3 ?
假定相对含沙量沿水深的分布

1

S ≤ 1 × 10 ?3 时，粒径为 2mm 的泥沙才不会进入水 Sa

轮机（相对水深

a = 0.05 ） ，即： h

?h ? ? 5 ? ? y ? 1? ? y ?1 ? S ? ≥? ? =? Sa ? h ? ? 1 ? 1? ?1 ?a ? ? 0.05 ? ? ? ? ?

z

4.028

≤ 1 × 10 ?3

则由上述关系式可得： y ≥ 1.131 m ，即水电站进水口高程距河底以上至少 1.131m 时，2mm 粗沙才不会进入水轮机。
3 12.某水库上游河段年平均入库流量为 /s， 200m， 12.某水库上游河段年平均入库流量为 2000m /s，相应河宽为 200m，断面平均水深为 2mm， 5m， 1.2‰ 水流接近均匀流，河床为均匀沙， 5m，水面比降为 1.2‰0，水流接近均匀流，河床为均匀沙，中值粒径为 2mm，试求该 水库每年入库的推移质数量为多少？ 分别用沙莫夫公式，梅叶— 水库每年入库的推移质数量为多少？（分别用沙莫夫公式，梅叶—彼得公式进行计算 并加以比较） 并加以比较） 3

解： （1）运用沙莫夫公式进行计算 根据沙莫夫公式计算均匀沙的单宽输沙率：

?U g b = 0.95d U ? U c' ? ' ?U ? c
1 2

(

)

? ? d ?4 ? ? ? ， ? ?h? ?

3

1

其中，河道断面平均流速： U = 河道泥沙止动流速：

Q 2000 = = 2 m/s ； A 200 × 5

1 U = U c = 3.83d 3 h 6 = 3.83 × 2 × 10 ?3 1 .2
' c

1

1

(

)

1 3

× 5 = 0.631 m / s 。

1 6

所以，根据沙莫夫公式计算均匀沙的单宽输沙率为：

14

?U g b = 0.95d U ? U c' ? ' ?U ? c
1 2

(

)

? ? d ?4 ? ? ? ? ?h? ? ? 2 × 10 ×? ? ? ? 5
3 ?3

3

1

= 0.95 × 2 × 10

(

1 ?3 2

2 ) × (2 ? 0.631) × ? 0.631 ? ? ? ?

= 0.262 kg / (m ? s )
由此可推算出该水库每年入库的推移质数量为：

? ? ? ?

1 4

G = g b tB = 0.262 × 365 × 24 × 60 × 60 × 200 = 1.652 × 10 9 kg
（2）运用梅叶—彼得公式进行计算 根据梅叶—彼得公式计算均匀沙的单宽输沙率：

?? n ′ ? 3 2 ? ?? ? γhJ ? 0.047(γ s ? γ )d ? ?? n ? ? ? gb = ? 1 ?ρ ?ρ ? 0.125 ρ 2 ? s ? ρ ?g ? s ? ?
R 3J 其中，曼宁糙率系数： n = U
2 1 2

3

2

，

h 3J = U

2

1

2

=

5

2

3

× 0.00012 2

1

2

= 0.016 ；

： 河床平整情况下的沙粒曼宁糙率系数（由于为均匀沙，故取 d 90 = d 50 ）

n′ = d 906 26 = d 506 26 = 2 × 10 ?3

1

1

(

)

1

6

26 = 0.014 。

所以，根据梅叶—彼得公式计算均匀沙的单宽输沙率为：

15

?? n ′ ? 3 2 ? ?? ? γhJ ? 0.047(γ s ? γ )d ? ?? n ? ? ? gb = ? 1 ?ρ ?ρ ? 0.125 ρ 2 ? s ? ρ ?g ? s ? ?

3

2

?? 0.014 ? 3 2 ? ?3 ?? ? × 9.8 × 5 × 0.00012 ? 0.047 × (2.65 ? 1) × 9.8 × 2 × 10 ? ?? 0.016 ? ? ? =? 1 ? 2.65 ? 1 ? 0.125 × 1 2 ? ? × 9 .8 ? 1 ? = 2.477 × 10 ?4 t / (m ? s ) = 0.248 kg / (m ? s )
由此可推算出该水库每年入库的推移质数量为：

3

2

G = g b tB = 0.248 × 365 × 24 × 60 × 60 × 200 = 1.564 × 10 9 kg
3 13.有一河段长 公里，河床组成见下表，水流为清水， 13.有一河段长 5 公里，河床组成见下表，水流为清水，当流量为 2400m /s 时，上游 600m， 4.9m， 200m， 6m， 断面河宽为 600m，平均水深为 4.9m，下游断面河宽为 200m，平均水深为 6m，问由于 推移质运动的结果，将使该河段发生怎样的变化？（是否发生冲刷或淤积） ？（是否发生冲刷或淤积 推移质运动的结果，将使该河段发生怎样的变化？（是否发生冲刷或淤积） 3

粒径范围（mm） 径范围（mm） 沙重百分比（ 沙重百分比（%）

5～2.5 10

2.5～ 2.5～1.0 30

1.0～ 1.0～0.5 35

0.5～ 0.5～0.25 15

0.25～ 0.25～0.1 8

解： （1）确定河床泥沙的平均粒径 d pj 由题中表可知河床泥沙分为 5 组，每组泥沙的代表粒径分别列于下表：
第i组 代表粒径 （mm）
d max + d min + 3 d max d min

沙重百分比 （%）

d1 d2

3.679 1.694 0.736 0.368 0.169

10 30 35 15 8

d3 d4 d5

16

所以河床泥沙的平均粒径为： d pj =

∑ ?p d
i =1 5 i

5

i

∑ ?p
i =1

=

120.242 = 1.227 mm 98

i

（2）将河床泥沙组成视为均匀沙，粒径采用河床泥沙的平均粒径，则根据沙莫夫公 式计算上下游河道均匀沙的单宽输沙率。 ① 计算上游河道单宽输沙率 上游河道断面平均流速： U 上 = 上游河道泥沙止动流速：

Q 2400 = = 0.816 m / s ； A上 600 × 4.9

U

' c上

1 1 = U c上 = 3.83d 3 h上 6 = 3.83 × 1.227 × 10 ?3 1 .2

1

(

)

1 3

× 4.9 = 0.534 m / s 。

1 6

所以，根据沙莫夫公式计算上游河道的单宽输沙率为：
1 2

g b上 = 0.95d U 上 ? U c' 上

(

)

? U上 ? ? ? ?U ' ? ? c上 ?

3

? d ? ?h ? 上

?4 ? ? ?
3 1

1

= 0.95 × 1.227 × 10 = 0.004 kg / (m ? s )

(

1 ?3 2

)

?3 ? 0.816 ? ? 1.227 × 10 ? 4 ? × (0.816 ? 0.534 ) × ? ×? ? ? ? 4 .9 ? 0.534 ? ? ?

② 计算下游河道单宽输沙率 下游河道断面平均流速： U 下 = 下游河道泥沙止动流速：

Q 2400 = = 2 m/ s； A下 200 × 6

U c' 下 =

1 1 U c下 = 3.83d 3 h下 6 = 3.83 × 1.227 × 10 ?3 1 .2

1

(

)

1 3

1

× 6 6 = 0.553 m / s 。

所以，根据沙莫夫公式计算下游的单宽输沙率为：

17

g b下 = 0.95d U 下 ? U c' 下

1 2

(

)

? U下 ? ? ? ?U ' ? ? c下 ?

3

1

? d ?4 ? ? ?h ? 下 ? ?
3 1

= 0.95 × 1.227 × 10 = 0.272 kg / (m ? s )
（3）比较上下游河道输沙率

(

1 ?3 2

)

?3 ? 2 ? ? 1.227 × 10 ? 4 ? × (2 ? 0.553) × ? ? ×? ? ? 6 ? 0.553 ? ? ?

上游河道输沙率： Gb上 = g b上 B上 = 0.004 × 600 = 2.4 kg / s ， 下游河道输沙率： Gb下 = g b下 B下 = 0.272 × 200 = 54.4 kg / s 由于 Gb上 ＜ Gb下 ，所以该河段将发生冲刷。 14.长江平均情况有： t=20℃,,水深 14.长江平均情况有：悬移质 d pj = 0.04 mm ，水温 t=20℃,,水深 h = 10 m ，比降 长江平均情况有 J=0.5‰ J=0.5‰0。 黄河平均情况有： t=15℃,,水深 黄河平均情况有：悬移质 d pj = 0.03 mm ，水温 t=15℃,,水深 h = 2 m ，比降 平均情况有 15 J=1.5‰0。 .5‰ （1 长江、 求： 1）长江、黄河的悬浮指标值 z （ 以 作为悬浮指标的分界指标， 问长江、 （2） z=4 作为悬浮指标的分界指标， 问长江、 黄河能悬浮起来的最大粒径 d max 。 （3）对上述结果进行分析。 对上述结果进行分析。 解： 、① 长江的悬浮指标理论值 z1 = （1）

ω1 ，其中： κU ?1

悬移质 d pj = 0.04 mm ，水温 t=20℃时，沉速 ω = 0.0998 m / s ； 摩阻流速 U ?1 =

gh1 J 1 = 9.8 × 10 × 0.00005 = 0.07 m / s ；卡门系数 κ = 0.4 。

所以，长江的悬浮指标理论值 z1 =

ω1 0.0998 = = 3.564 。 κU ?1 0.4 × 0.07

② 黄河的悬浮指标理论值 z 2 =

ω2 ，其中： κU ?2

悬移质 d pj = 0.03 mm ，水温 t=15℃时，沉速 ω = 0.0495 m / s ；
18

摩阻流速 U ?2 =

gh2 J 2 = 9.8 × 2 × 0.00015 = 0.0542 m / s ；卡门系数 κ = 0.4 。

所以，黄河的悬浮指标理论值 z 2 =

ω2 0.0495 = = 2.283 。 κU ?2 0.4 × 0.0542
ω 可以得到： κU ?

（2） 、① 对于长江情况 z=4 时，根据悬浮指标计算公式 z =

沉速 ω1 = zκU ?1 = 4 × 0.4 × 0.07 = 0.112 m / s ，再由下述沉速计算公式

γ ?γ v? v ? ω = ?13.95 ? + 1.09 s gd ? 13.95 d? γ d ?
2

? 1.003 × 10 ?6 ? 1.003 × 10 ?6 ? + 1.09 × 1.65 × 9.8d ? 13.95 × = ?13.95 × ? ? d d ? ?
对上式关于粒径 d 进行试算，可得长江能悬浮起来的最大粒径 d max = 0.91 mm 。 ② 对于黄河情况 z=4 时，根据悬浮指标计算公式 z =

2

,

ω 可以得到： κU ?

沉速 ω 2 = zκU ?2 = 4 × 0.4 × 0.0542 = 0.087 m / s ，再由下述沉速计算公式

ω = ?13.95 ? + 1.09

? ?

v? d?

2

γs ?γ v gd ? 13.95 γ d
?6

? 1.003 × 10 = ?13.95 × ? d ?

? 1.003 × 10 ? + 1.09 × 1.65 × 9.8d ? 13.95 × ? d ?

2

,
?6

对上式关于粒径 d 进行试算， 可得黄河能悬浮起来的最大粒径 d max = 0.64 mm 。 （3） 、通过（1）和（2）的计算结果，可以得出如下结论：长江悬移质平均粒径，水 深以及悬浮指标均要大于黄河，而黄河河床比降要陡于长江。同时在相同的悬浮分界 指标下，长江所能悬浮起来的最大粒径要大于黄河。 15.按卡尔曼—普兰特尔公式求出ε沿水深的关系式后， 15.按卡尔曼—普兰特尔公式求出ε沿水深的关系式后，求ε沿垂线的平均值εpj，并 按卡尔曼 沿垂线的平均值ε 假定二维恒定均匀流扩散方程中ε 试求含沙量沿垂线分布公式， 假定二维恒定均匀流扩散方程中εs=εpj， 试求含沙量沿垂线分布公式， 并用所求公式 计算

ω 沿垂线分布。 y/h=1， 0.8， 0.6， = 1及0.125 情况下相对含沙量 S S 沿垂线分布。 计算 y/h=1，0.8，0.6， 及 （ a κU ?
19

0.4，0.2， 六点， a/h=0.05， 0.4，0.2，0.1 六点，计算时取 a/h=0.05，并将所得结果绘成曲线与 Rouse 公式计算

结果进行比较） 结果进行比较） 解： （1）按卡尔曼—普兰特尔公式求出ε沿水深的关系式 对卡尔曼—普兰特尔对数流速分布公式：

u max ? u 1 h = ln ， U? κ y
微分得流速梯度：

du U ? = dy κy

①

根据紊流的动量传递理论，在二维恒定均匀流中，作用于离河床垂直距离为 y 的 平面上的切应力可以表达为： τ =

ρε

du （ε为动量传递系数） dy

②

在二维恒定均匀流中，切应力自水面至床表面呈直线分布，在水面为 0，在河床 表面达到最大值 τ 0 ，τ 与 τ 0 的关系为：τ = τ 0 ?1 ?

? ?

y? ? h?

③

由②、 ③可得： = ε

τ 0 ?1 ? ?
④

? ?

y? h? du ρ dy ? ? y? τ y? h? ? = 0 κ ?1 ? ? y du ρU ? ? h ? ρ dy

将①代入④得：ε =

τ 0 ?1 ? ?

⑤

并且可知在河床表面上的切应力 τ 0 = γhJ ，摩阻流速 U ? = 简为：ε = κU ? ?1 ?

ghJ ，所以⑤式化
⑥

? ?

y? ?y h?

⑥式即为按卡尔曼—普兰特尔公式求出的ε沿水深的关系式。 （2）求ε沿垂线的平均值 ε pj 对ε沿水深分布的关系式 ε = κU ? ?1 ?

? ?

y? ? y 在 0 → h 积分，并取平均可得： h?

ε pj =

1 h 1 h y? 1 ? ∫0 εdy = h ∫0 κU ? ?1 ? h ?ydy = 6 κU ? h h ? ?
20

（3）假设二维恒定均匀流扩散方程中 ε s = ε pj ，求含沙量沿垂线分布公式 二维恒定均匀流扩散方程为：

ωs + ε s

ds = 0 ， 假 设 ε s = ε pj ， 则 dy

ωs + ε pj

ω ds ds ds 1 = 0 ，亦即 ωs + κU ? h = 0或 = ? dy 。 dy ε pj dy 6 s

将上式在 a 到 y 的范围内积分，并令 S a 代表 y=a 处时的含沙量，则得：

ln

y dy y S dy 6ω 1 y 6ω 1 = ?ω ∫ = ?ω ∫ =? ? ∫ dy = ? ? ( y ? a) a ε a 1 κU ? h Sa κU ? h a pj κU ? h 6 6ω y ? a ? ?1 ? ? =? κU ? h ? y ? ? ?
6ω y ? a?

? ? ? ? 1? ? S 所以，相对含沙量沿垂线分布公式为 = e κU ? h ? y ? 。 Sa

（4）用（3）推出的相对含沙量沿垂线分布公式计算

ω = 1及0.125 时的相对含沙 κU ?

量沿垂线分布，计算时取 a/h=0.05，计算结果列于下表： ①

ω = 1 时： κU ?
相对水深 y/h 相对含沙量 S/Sa 1 0.0033 0.8 0.0105 0.6 0.0327 0.4 0.1023 0.2 0.3198 0.1 0.5655

②

ω = 0.125 时: κU ?
相对水深 y/h 相对含沙量 S/Sa 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0.1

0.4904

0.5655

0.6521

0.7520

0.8672

0.9312

③ 相对水深 y/h 相对含沙量 S/Sa 曲线

21

相对水深与相对含沙量关系曲线
ω/(κU*)=1 1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 ω/(κU*)=0.125

相对水深y/h

相对含沙量S/Sa

（5）将上述所得结果与 Rouse 公式计算结果进行比较 ① 从时，Rouse 公式计算结果：
相对水深 y/h 相对含沙量 S/Sa 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0.1

0.0000

0.0132

0.0351

0.0789

0.2105

0.4737

②

ω = 0.125 时，Rouse 公式计算结果: κU ?
相对水深 y/h 相对含沙量 S/Sa 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0.1

0.0000

0.5820

0.6579

0.7281

0.8230

0.9108

③ 该题所推公式与 Rouse 公式计算结果比较曲线

22

ω/(κU*)=1时相对水深与相对含沙量关系曲线
该题所推公式计算结果 1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 Rouse公式计算结果

相对水深y/h

相对含沙量S/Sa

ω/(κU*)=0.125时相对水深与相对含沙量关系曲线
该题所推公式计算结果 1.0 0.9 0.8 Rouse公式计算结果

相对水深y/h

0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

相对含沙量S/Sa

日在废黄河上测得： 16.1956 年 7 月 4 日在废黄河上测得： 3 /s，U=1.84m/s，h=4m， 0.06mm，t=25℃ J=0.41‰ Q=450m /s，U=1.84m/s，h=4m，dpj=0.06mm，t=25℃，J=0.41‰0，测点水深及含 沙量如下表
（ 测点水深 m） 0.2 测点含沙量
3 （kg/m ） 3

0.4 0.94

0.8 1.2

1.2 1.35

1.6 1.42

2.0 1.93

2.4 2.24

2.8 2.82

3.2 3.89

3.6 4.11

3.8 6.1

0.69

（1 求： 1）绘制含沙量沿水深分布曲线 （ z=？ （2）求理论悬浮指标 z=？
23

（3）由实测含沙量求实际悬浮指标 z1=？ （ 4） 求 β =？ 0.05， 分布曲线， 并检验实测的η 进行比较。 （5） ηa=0.05， z1 绘制η～S/S0.2 分布曲线， 取 用 绘制η 并检验实测的η～S/S0.2， 进行比较。 解： （1）含沙量沿水深分布曲线

含沙量沿水深分布曲线
4.0 3.5 3.0 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5 0.0 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00
3

水深h（m）

5.00

6.00

7.00

含沙量S(kg/m )

（2）理论悬浮指标水深 z =

ω ，其中： κU ?

当 t=25℃，dpj=0.06mm 时，沉速 ω = 0.00252 m / s ； 摩阻流速 U ? =

ghJ = 9.8 × 4 × 0.000041 = 0.04 m/s ；卡门系数 κ = 0.4

所以，理论悬浮指标水深 z =

ω 0.00252 = = 0.158 。 κU ? 0.4 × 0.04
z

?h ? ?1 S ?y ? ? ，该方程两边取对数可化简 （3）相对含沙量沿垂线分布的方程式为： =? Sa ? h ? ?1 ?a ? ? ?
?h ? ?h ? ? y ? 1? ? y ? 1? S S ? ，在双对数坐标下绘制 ? 之间的关系曲线，通 为： ln = z ln ? 与? Sa Sa ? h ? ? h ? 1? ?1 ?a ? ?a ? ? ? ? ?
过拟合曲线确定出曲线方程，该方程自变量的指数即为实际悬浮指标 z1。

?h ? ? y ? 1? a S ? 的计算 与? 相对水深 = 0.05 ， S a 为 y = a = 0.2 m 时的含沙量，将 h Sa ? h ? ?1 ?a ? ? ?
24

结果列于下表： y(m) 0.2 0.4 0.8 1.2 1.6 2.0 2.4 2.8 3.2 3.6 3.8 S(kg/m ) 6.10 4.11 3.89 2.82 2.24 1.93 1.42 1.35 1.20 0.94 0.69
3

S Sa

?h ? ?h ? ? ? ? y ? 1? ? a ? 1? ? ? ? ?

1.000 0.674 0.638 0.462 0.367 0.316 0.233 0.221 0.197 0.154 0.113

1.000 0.474 0.211 0.123 0.079 0.053 0.035 0.023 0.013 0.006 0.003

?h ? ? y ? 1? S ? 的关系曲线： 在双对数坐标下绘制 与? Sa ? h ? ?1 ?a ? ? ?
双对数坐标下S/Sa与(h/y-1)/(h/a-1)关系曲线 1

S/Sa 0.1 1 0.1 0.01 0.001 y = 0.971 x0.375 (h/y-1)/(h/a-1)

?h ? ? y ? 1? S ? 之间关系曲线的方程 y=0.971x0.375,可以得出实际 通过上述拟合的 与? Sa ? h ? ?1 ?a ? ? ?
悬浮指标 z1=0.375。
25

（4）β为理论悬浮指标 z 与实际悬浮指标 z1 之比，即 β = （5）取η a =

z 0.158 = = 0.421 。 z1 0.375

a = 0.05 ，用实际悬浮指标 z1 计算相对含沙量沿垂线分布 S S a ，计算 h
y(m) 0.2 0.4 0.8 1.2 1.6 2.0 2.4 2.8 3.2 3.6 3.8 η=y/h 0.05 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 0.95
计算 S S a 实测 S S a

结果列于下表：

1.000 0.756 0.557 0.455 0.386 0.331 0.285 0.241 0.197 0.145 0.110

1.000 0.674 0.638 0.462 0.367 0.316 0.233 0.221 0.197 0.154 0.113

用实际悬浮指标计算的相对含沙量与实测相对含沙量比较曲线
实测的S/Sa
1 0.9 0.8 0.7

用实际悬浮指标计算的S/Sa

相对水深η=y/h

0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

相对含沙量S/Sa

26

? U3 ? 17.根据某河段实测资料 采用图解法和最小二乘法确定 S ? = k ? 根据某河段实测资料， 采用图解法和最小二乘法确定 17.根据某河段实测资料， ? ghω ? 公式中的系 ? ? ?
以建立适应该河段的水流挟沙力公式。资料如下表： 数 k 和指数 m。以建立适应该河段的水流挟沙力公式。资料如下表： 施测 地点 编 号 1 2 3 毛 4 5 6 7 8 9 家 10 11 12 13 14 15 16 桥 17 18 19 20 施测时间 沉速 （年、月、日） （cm/s） cm/s） 1961? 1961?3?7 4?2 4?5 5?17 5?23 6?12 6?27 7?7 7?15 1962? 1962?3?9 4?4 4?10 4?20 5?2 5?3 5?5 5?20 6?20 6?25 7?3 0.768 0.642 0.900 0.741 1.250 0.730 1.180 0.827 0.477 0.957 1.390 0.851 0.790 1.230 0.755 0.865 1.420 1.572 0.794 0.680 水深 （ m） 0.97 2.45 1.85 1.93 2.24 1.31 2.79 2.807 2.426 2.10 2.83 3.80 4.34 3.82 2.93 3.00 3.68 2.65 2.70 3.76 流速 m/s） （m/s） 0.716 1.13 1.02 1.39 1.09 0.947 0.834 1.06 0.906 0.58 1.08 0.94 0.94 1.02 0.68 0.712 0.72 0.66 0.70 0.65 0.58 床沙质含沙量 3 （kg/m ） 0.46 2.0 1.2 2.1 0.72 1.0 0.17 0.575 0.84 0.05 0.3 0.17 0.35 0.035 0.096 0.08 0.027 0.062 0.10 0.042

m

解：若要确定系数 k 和指数 m，可通过做 S ? 与

U3 之间的散点图，然后进行乘幂拟 ghω

U3 合，确定出 S ? 与 之间的方程式，进而可确定出系数 k 和指数 m。 ghω U3 ，计算结果列于下表： ghω

根据题意及以上分析需先求出

27

施测 地点

编 号 1 2 3

施测时间 沉速 （年、 日） （cm/s） 月、 1961?3?7 4?2 4?5 5?17 5?23 6?12 6?27 7?7 7?15 1962?3?9 4?4 4?10 4?20 5?2 5?3 5?5 5?20 6?20 6?25 7?3 0.768 0.642 0.900 0.741 1.250 0.730 1.180 0.827 0.477 0.957 1.390 0.851 0.790 1.230 0.755 0.865 1.420 1.572 0.794 0.680

水深 （m） 0.97 2.45 1.85 1.93 2.24 1.31 2.79 2.807 2.426 2.10 2.83 3.80 4.34 3.82 2.93 3.00 3.68 2.65 2.70 3.76

流速 （m/s） 0.716 1.13 1.02 1.39 1.09 0.947 0.834 1.06 0.906 0.58 1.08 0.94 1.02 0.68 0.712 0.72 0.66 0.70 0.65 0.58

床沙质含 沙量 3 （kg/m ） 0.46 2.0 1.2 2.1 0.72 1.0 0.17 0.575 0.84 0.05 0.3 0.17 0.35 0.035 0.096 0.08 0.027 0.062 0.10 0.042

U3 ghω
5.028 9.361 6.504 19.162 4.719 9.062 1.798 5.235 6.558 0.991 3.268 2.621 3.158 0.683 1.665 1.468 0.561 0.840 1.307 0.779

毛

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

家

桥

17 18 19 20

绘制床沙质含沙量 S ? 与

U3 之间的散点图并进行乘幂拟合： ghω

28

S*与U3/ghω的关系
3.60 3.40 3.20 3.00 2.80 2.60 2.40 2.20 2.00 1.80 1.60 1.40 1.20 1.00 0.80 0.60 0.40 0.20 0.00 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

床沙质含沙量S*(kg/m )

3

y = 0.0613x

1.3626

U3/ghω

由上述拟合的曲线方程 y=0.0613x

1.3626

，可以得出系数 k=0.0613，指数 m=1.3626。

18.有一冲积平原河道， 18.有一冲积平原河道，原河宽为 B0，平均水深为 h0，相应流量为 Q0，附近生产队为 有一冲积平原河道 了扩大耕地面积发展农业生产， 了扩大耕地面积发展农业生产，在河道中修建一道围堤将河宽束窄为

2 B0 ，问河床 3

将发生什么变化？在河床达到新的相对平衡后， 应为若干？ 将发生什么变化？在河床达到新的相对平衡后，其平均水深 h 应为若干？

Q0

2 B0 3

B0

? U3 ? 解 ： 1 ） 束 窄 前 河 道 水 流 挟 沙 力 S ?1 = k ? 1 ? ， 其 中 河 道 水 流 平 均 流 速 （ 、 ? gω R ? 1 ? ? ? Q0 3 ? U 13 ? Q0 ? ? = k? U1 = ，水力半径 R1 = h0 ，所以 S ?1 = k ? gω R ? ? gω B 3 h 4 B0 h0 1 ? ? 0 0 ?
m m

m

? ? ； ? ?

m

束 窄 后 河 道 水 流 挟 沙 力 S ?2

? U 3 ? = k? 2 ? ， 其 中 河 道 水 流 平 均 流 速 ? gωR ? 2 ? ?

29

U2 =

Q0 2 B0 h0 3

， 水力半径 R2 = h0 ， 所以 S ?2

? U 23 = k? ? gω R 2 ?

3m ? Q0 3 ? ? ? 。 ? = ? 3 ? k? ? ? ? 3 4 ? ? 2 ? ? gωB0 h0 ? ? ?

m

m

S ?2? 由于 ?1 = ? ? S ?2 ? 3 ?
将发生冲刷。

3m

< 1 ，所以在束窄后的初期河道水深仍等于 h0 的情况下，河床

（2）在河床达到新的相对平衡后，束窄处河道被冲深，此时水流挟沙力 S ?1 = S ?2 ，
'

? Q0 3 ? U 13 ? ? ? 其中束窄前水流挟沙力 S ?1 = k ? ? gω R ? = k ? gω B 3 h 4 1 ? ? 0 0 ? 到新的相对平衡时水深为 h ，所以：
河床达到新的相对平衡时束窄处的水流平均流速 U 2 =

m

? ? ，并且假设束窄后河床达 ? ?

m

Q0 ，水力半径 R2 = h ，则 2 B0 h 3
m

水流挟沙力 S ?2

'

? U 3 = k? 2 ? gωR 2 ?
'

3m ? Q0 3 ? ? = ? 3 ? k? ? ? ? 3 ? ? 2 ? ? gωB0 h 4 ?
m

m

? ? 。 ? ? ? ? ，所以可以得到 ? ?
m

由 S ?1 = S ?2
3

? Q0 3 得 ， k? ? gωB 3 h 4 0 0 ?

3m ? ? Q0 3 ? = ? 3 ? k? ? ? ? 3 ? ? 2 ? ? gω B0 h 4 ?

? 3?4 h = ? ? h0 = 1.36h0 ，即河床达到新的相对平衡后其平均水深为原水深的 1.36 倍。 ?2?
19.有一河道，为了减轻其防洪负担，并为了解决邻近地区通航和用水问题， 19.有一河道，为了减轻其防洪负担，并为了解决邻近地区通航和用水问题，在其右 有一河道 通航和用水问题 岸开挖一条引河， 1/4， 岸开挖一条引河，分走其流量的 1/4，设河道分流前流量 Q0，河宽为 B0，平均水深为 河床基本上不冲不淤，问分走相同比例的沙量时， h0，河床基本上不冲不淤，问分走相同比例的沙量时，在分流口门下河道将发生什么 变化？其平均水深为若干？ 变化？其平均水深为若干？

Q0

3 Q0 4

30

? U 13 ? ? 解： （1） 、分流口门上河道水流挟沙力 S ?1 = k ? ? gωR ? ，其中河道水流平均流速 1 ? ? ? Q0 3 ? U 13 ? Q0 ? ? = k? U1 = ，水力半径 R1 = h0 ，所以 S ?1 = k ? gω R ? ? gω B 3 h 4 B0 h0 1 ? ? 0 0 ?
m m

m

? ? ； ? ?

m

分 流 口 门 下 河 道 水 流 挟 沙 力 S ?2

? U 3 ? = k? 2 ? ， 其 中 河 道 水 流 平 均 流 速 ? gωR ? 2 ? ?
3m 3 ? ? ? 3 ? ? Q0 ? 。 ? = ? ? k? 3 4 ? ? ? 4 ? ? gωB0 h0 ? ? ?
m m

3 Q0 ? U 23 4 U2 = ，水力半径 R2 = h0 ，所以 S ?2 = k ? ? gω R B0 h0 2 ?

S ?4? 由于 ?1 = ? ? S ?2 ? 3 ?

3m

> 1 ，所以在分流后的初期河道水深仍等于 h0 的情况下，河床

将发生淤积。 （2） 、由题意知河床基本不冲不淤，说明河床达到了新的相对平衡，分流口下河道被 淤积，此时水流挟沙力 S ?1 = S ?2
'

? Q0 3 ? U3 ? ，其中 S ?1 = k ? 1 ? = k ? ? gω R ? ? gω B 3 h 4 1 ? ? 0 0 ?

m

? ? ，S ?2 ' 为 ? ?

m

达到新的相对平衡后，分流口下河道的水流挟沙力，假设此时分流口门下河道的水深 为 h ，所以：

3 Q0 4 河床达到新的相对平衡时分流口门下河道的水流平均流速 U 2 = ，水力半径 B0 h

R2 = h ，则水流挟沙力 S ?2
由 S ?1 = S ?2
3

'

? U 3 = k? 2 ? gωR 2 ?
m

3m ? Q0 3 ? ? = ? 3 ? k? ? ? ? 3 ? ? 4 ? ? gωB0 h 4 ?
m

m

? ? 。 ? ?

m

'

? Q0 3 得 ， k? ? gωB 3 h 4 0 0 ?

3m 3 ? ? 3 ? ? Q0 ? = ? ? k? 3 ? ? 4 ? ? gω B0 h 4 ? ?

? ? ，所以可以得到 ? ?

? 3?4 h = ? ? h0 = 0.81h0 ，即河床达到新的相对平衡后其平均水深为原水深的 0.81 倍。 ?4?
3 20.有一条藕节状河段，上下段河床组成基本相同，为均匀沙。 20.有一条藕节状河段，上下段河床组成基本相同，为均匀沙。当流量为 100m /s 时， 有一条藕节状河段 =100m， =4m,下段 下段河宽 =400m， =2.6m， 上端河宽 B 上=100m， 断面平均水深 h 上=4m,下段河宽 B 下=400m， 断面平均水深 h 下=2.6m， 问下段河道将发生怎样变化？当达到相对平衡时下段平均水深 为多少？ 问下段河道将发生怎样变化？当达到相对平衡时下段平均水深 h 下为多少？根据通航 要求， 2m，如果不能满足要求时，须进行整治。 要求，最小航深为 2m，如果不能满足要求时，须进行整治。在两岸修建丁坝群将河道 3

31

适当束窄，籍以冲刷河床增加水深，使达到最小航深的要求， 适当束窄，籍以冲刷河床增加水深，使达到最小航深的要求，问需将河宽束窄为多少 米才能满足要求？（假设冲刷和淤积时床沙组成不变，水流挟沙力公式不变， ？（假设冲刷和淤积时床沙组成不变 米才能满足要求？（假设冲刷和淤积时床沙组成不变，水流挟沙力公式不变，断面平 均水深 h 与 hmin 的关系为 h=0.8hmin）.

丁坝

h

hmin
B上 h上 B下 h下

解 ： 1 ） 上 段 河 床 水 流 挟 沙 力 S ?上 （ 、

? U 上3 = k? ? gωR上 ?

? ? ，其中河道水流平均流速 ? ?

m

U上 =

Q 100 = = 0.25 m / s ， 水 力 半 径 R上 = h上 = 4 m ， 所 以 B上 h上 100 × 4
m m m ? ? 0.253 ? ? 0.253 ? ? 1 ? ? = k? ? ? 4 gω ? = ? 4 ? k ? gω ? ； ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? m

S ?上

? U 上3 = k? ? gωR上 ?

下 段 河 床 水 流 挟 沙 力 S ?下

? U 下3 ? ? ，其中河道水流平均流速 = k? ? gωR下 ? ? ?

m

U下 =

Q 100 = = 0.096 m / s ， 水 力 半 径 R下 = h下 = 2.6 m ， 所 以 B下 h下 400 × 2.6
m

S ?下

m m m ? U 下3 ? ? 0.096 3 ? ? 0.096 3 ? ? 1 ? ? = k? = k? ? ? 2.6 gω ? = ? 2.6 ? k ? gω ? 。 ? ? ? ? ? gωR下 ? ? ? ? ? ? ? ? ?

由于

S ?上 S ?下

? 0.25 3 2 .6 ? m =? ? 4 × 0.096 3 ? = 11.48 > 1 ，所以下段河床将发生淤积。 ? ? ?
'

m

（2） 、在河床达到相对平衡后，下段河道被淤积，此时水流挟沙力 S ?上 = S ?下 ，其中 上段河道水流挟沙力 S ?上

? U 3 = k? 上 ? gωR上 ?

m m m ? ? 0.253 ? ? 0.253 ? ? 1 ? ? = k? ? ? 4 gω ? = ? 4 ? k ? gω ? ，并且 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

m

假设达到相对平衡后下段河床水深为 h下 ，所以：
32

'

河床达到相对平衡时下段河道水流平均流速 U 下 =

Q B下 h下
m '

，水力半径 R2 = h下 ，则
'

水流挟沙力 S ?下

'

m 3 ? ? ? ? ? U 下3 ? Q3 ? = ? 100 ? 1 ? k ? 1 ? 。 ? ? = k? ? ? =k ? gωR下 ? ? gω B 3 h ' 4 ? ? 400 3 h ' 4 ? ? gω ? ? ? ? ? 下 下 ? 下 ? ? ?

m

m

由 S ?上

m m ? 100 3 1 ? ? 1 ? m ? 0.25 3 ? ? 1 ? ' ? ? = S ?下 得，? ? ? ? ? 4 ? k ? gω ? = ? 400 3 ? ' 4 ? k ? gω ? ，所以可以得 ? ? h下 ? ? ? ? ? ? ? ?

m

到 h下 = 1.41 m ，即河床达到相对平衡后下段平均水深为 1.41m。
'

（ 3 ） 若 要 满 足 通 航 要 求 ， 下 端 河 道 平 均 水 深 需 为 最 小 航 深 的 0.8 倍 ， 即

h下 = 0.8hmin = 0.8 × 2 = 1.6 m ，为达到新的冲淤平衡即使 S ?上 = S ?下 ，需通过修建
'

丁坝将下段河宽束窄，假设达到新的冲淤平衡后下段河宽为 B下 ，此时下段河道水流
m 3 ? ? ? ? ? U 下3 ? Q3 ? = ? 100 ? 1 ? k ? 1 ? 。 ? ? = k? ? ? =k ? g ω R下 ? ? gω B ' 3 h 4 ? ? 1 .6 4 B ' 3 ? ? g ω ? ? ? ? ? 下 下 ? 下 ? ? ? m m m

'

挟沙力为： S ?下

'

由 S ?上 = S ?下

'

m m ? 100 3 1 ? ? 1 ? m ? 0.25 3 ? ? 1 ? ? ? 得，? ? ? ? ? 4 ? k ? gω ? = ? 1.6 4 ? ' 3 ? k ? gω ? ，所以可以得 ? ? B下 ? ? ? ? ? ? ? ?

m

到 B下 = 339.3 m ，即需将河宽束窄为 339.3m 才能满足通航要求。
'

21.运用卡尔曼流速分布公式及含沙量分布公式，计算点的输沙率 Su 21.运用卡尔曼流速分布公式及含沙量分布公式， 运用卡尔曼流速分布公式及含沙量分布公式 深ξ的分布，绘制出分布曲线，并讨论之。 的分布，绘制出分布曲线，并讨论之。 取 κ = 0.4 ， C = 50 ， ξ = ξ a = 0.05 。 z =

沿相对水 S pj U

1 及 1， 32

z=

1 时， J 1 = 0.9447 ， J 2 = 0.8262 32

z = 1 时， J 1 = 2.0458 ， J 2 = 3.6872

33

解：由于卡尔曼流速分布公式： u = U ?1 +

? ? ?

g Cκ

(1 + ln ξ )? ；
? ?
z

?

?1? ξ ? ? ? ξ ? ? S ? ? 按流量法推出的含沙量分布公式： = S pj ? g? g ?1 + ?J1 ? J2 ? Cκ ? Cκ ? ? ?1? ξ ? ? ? ξ ? ? S u ? ? 所以，点的输沙率为： ? = S pj U ? g? g ?1 + ?J1 ? J2 ? Cκ ? Cκ ? ?
z

? ? g (1 + ln ξ )? ，即 ? ?1 + ? Cκ ? ? ?

z ? ?1? ξ ?z ? g ? ?1? ξ ? ? 9 .8 ? ? ξ ? ? ?1 + Cκ (1 + ln ξ )? ? ? ? ξ ? ? ?1 + 50 × 0.4 (1 + ln ξ )? ? ? ? ? ? ? Su ? ? ? ? ?= = S pjU ? ? g? g 9 .8 ? 9 .8 ?1 + ?J1 ? ?1 + ? J2 ? 50 × 0.4 ? J 1 ? 50 × 0.4 J 2 ? Cκ ? Cκ ? ? ? ?

?1? ξ ? ? ? ξ ? ? (1.157 + 0.157 ln ξ ) ? ? ? = 1.157 J 1 ? 0.157 J 2
（1） 当 z =

z

1 时， J 1 = 0.9447 ， J 2 = 0.8262 ，则点的输沙率为： 32
z

?1? ξ ? ? 1 ? ξ ? 32 ? ? ? (1.157 + 0.157 ln ξ ) ? ? ξ ? ? ξ ? ? (1.157 + 0.157 ln ξ ) ? Su ? ? ? = = ? S pjU 1.157 J 1 ? 0.157 J 2 1.157 × 0..9447 ? 0.157 × 0.8262 ?1? ξ ? = 1.038? ? ξ ? ? ? ?
取不同的相对水深ξ计算点的输沙率
ξ 0.05 0.985 0.1 1.114 0.2 1.235 0.3 1.300
1 32

1

? (1.157 + 0.157 ln ξ )

Su ，计算结果列于下表： S pjU
0.4 1.342 0.5 1.371 0.6 1.391 0.7 1.402 0.8 1.405 0.9 1.393 1 0.000

Su S pjU

34

绘制点的输沙率

Su 沿相对水深ξ的分布曲线： S pjU
点的输沙率Su/SpjU沿相对水深ξ分布曲线

1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 点的输沙率Su/SpjU

（2） 当 z = 1 时， J 1 = 2.0458 ， J 2 = 3.6872 ，则点的输沙率为：

相对水深ξ

?1? ξ ? ?1? ξ ? ? ? ? ξ ? ? (1.157 + 0.157 ln ξ ) ? ? ξ ? ? (1.157 + 0.157 ln ξ ) ? Su ? ? ? = = ? 1.157 J 1 ? 0.157 J 2 1.157 × 2.0458 ? 0.157 × 3.6872 S pjU ?1? ξ ? = 0.559? ? ξ ? ? ? ?
取不同的相对水深ξ计算点的输沙率
ξ 0.05 0.1 0.2 0.3
1 32

z

? (1.157 + 0.157 ln ξ )

Su ，计算结果列于下表： S pjU
0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Su S pjU

7.293

4.002

2.022

1.263

0.850

0.586

0.401

0.264

0.157

0.071

0.000

绘制点的输沙率

Su 沿相对水深ξ的分布曲线： S pjU

35

点的输沙率Su/SpjU沿相对水深ξ分布曲线
1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 点的输沙率Su/SpjU

22.单位流程的浑水水流在单位时间中的能量损失与条件相同的清水水流的能量损失 22.单位流程的浑水水流在单位时间中的能量损失与条件相同的清水水流的能量损失 可由如下函数确定： 的差值 ?E 可由如下函数确定：

相对水深ξ

?E = f [(γ s ? γ ), A, ω , SV ]
试用因次 的表达式。 试用因次分析法确定 ?E 的表达式。 解：单位流程的浑水水流在单位时间中的能量损失与条件相同的清水水流的能量损失 的差值 ?E 可由如下函数确定：

?E = f [(γ s ? γ ), A, ω , S V ]

①

①式中共有 5 个物理量，其中自变量数为 4，仅选择 γ s ? γ ， A ， ω 三个物理量 作为基本物理量， 则①式可以用 2 个无量纲数组成的关系是来表达， 这些无量纲数 （π） 为：

π=

(γ s ? γ )x A y ω z
(γ s ? γ )x
SV
4

?E

②

π4 =

A y4 ω z4

③

由于选择了 γ s ? γ ， A ，ω 为基本物理量，由基本物理量所组成的无量纲数均等 于 1，即 π 1 = π 2 = π 3 = 1 。 由于 π 、π 4 均为无量纲数，则式②、③的右端分子与分母的量纲应相同，由②式 则有： [?E ] = [γ s ? γ ] [ A]
x y

[ω ]z 。
36

将上式中各物理量的量纲用 [L ] 、 [T ] 、 [F ]来表示，，则有：

[F T ] = [F

L3

] [L ] [L T ] = [L]
x 2 y z

?3 x + 2 y + z

[T ]? z [F ]x

上式两端相同量纲的指数应相等：

对于F来说 对于T来说 对于L来说

? ? ? z = ?1 ? ? 3 x + 2 y + z = 0? ?

x =1

解方程组得：

x = 1? ? y = 1? ， z = 1? ?
?E 。 (γ s ? γ )Aω
x4

代入②式得： π =

由③式则有： [S V ] = [γ s ? γ ]

[A]y [ω ]z
4

4

。

将上式中各物理量的量纲用 [L ] 、 [T ] 、 [F ]来表示，则有：

[1] = [F

L3

] [L ] [L T ]
x4
2 y4

z4

= [L]

?3 x4 + 2 y 4 + z 4

[T ]? z [F ]x
4

4

上式两端相同量纲的指数应相等：

对于F来说 对于T来说 对于L来说

? ? ?z=0 ? ? 3 x + 2 y + z = 0? ?

x=0

解方程组得：

x = 0? ? y = 0? ， z = 0? ?

代入③式得： π 4 = S V 。 根据π定理，可用π、π1、π2、π3、π4 组成表征单位流程的浑水水流在单位时 间中的能量损失与条件相同的清水水流的能量损失的差值 ?E 的无量纲数的关系式：

π = f (1，1，1，π 4 )
即

?E = f (S V ) ，则 ?E = (γ s ? γ )Aωf (S V ) (γ s ? γ )Aω
37

23.有一河道型水库， 0.5‰ 23.有一河道型水库，距坝 50Km 内河床比降为 1‰0，水面比降 0.5‰0，坝前平均水深 有一河道型水库 3 3 h=10m， B=200m， /s， h=10m，河段平均宽度 B=200m，问发生一次洪水 Q=3000m /s，含沙量 S=100kg/m 时， 处会不会形成异重流？ 库区内何处会出现异重流？ 在距坝 50Km 处会不会形成异重流？在库区内何处会出现异重流？

U0 = 0.6 是否 解： （1）若要判断在距坝 50Km 处会不会形成异重流，需判别该处 η g gh0
成立，其中：

2

h0 为距坝 50Km 处断面水深，由题意及图示几何关系可得：

h0 = H ? LJ 河床 + LJ 水面 = 10 ? 50 × 10 3 × 0.0001 + 50 × 10 3 × 0.00005 = 7.5 m
U 0 为距坝 50Km 处断面水深，由题意可得 U 0 =
Q 3000 = = 2 m/s， Bh0 200 × 7.5

η g 为重力修正系数，可由下式计算 η g =

ρ' ? ρ ，其中 ρ ' 为浑水密度，且 ' ρ

ρ ' = ρ + ?1 ? ?
?

?

ρ ρs

? ? S = 1000 + 0.622S = 1000 + 0.622 × 100 = 1062.2 kg / m 3 ， 则 ? ?

ρ ' ? ρ 1062.2 ? 1000 = = 0.059 。 ηg = 1062.2 ρ'
所以

U0 22 = = 0.922 > 0.6 ，由此可判断在距坝 50Km 处不会 η g gh0 0.059 × 9.8 × 7.5

2

形成异重流。 （2）假设在库区内距坝 x 公里处会发生异重流该处的水深用 h0 表示，则若要在距坝
38
'

U0 x 公里处会发生异重流需满足 = 0.6 ，即 h0 = 。并且该处断面水深 ' 0.6η g g η g gh0
'

' U0

2

2

U0 =
'

U0 Q 3000 15 q ' = = ' = ' ，将其代入 h0 = 整理并计算得： ' ' 0.6η g g Bh0 200h0 h0 h0
' h0 = 3

2

q2 15 2 =3 = 8.656 m 。 0.6η g g 0.6 × 0.059 × 9.8

由于 h0 = H ? xJ 河床 + xJ 水面 = 10 ? 0.0001x + 0.00005 x = 10 ? 0.00005 x ，所
'

以x =

' 10 ? h0 10 ? 8.656 = = 26840 m = 26.84 km ，即在库区内距坝 26.84 公里 0.00005 0.00005

处会发生异重流。

39



  本文关键词：泥沙动力学，由笔耕文化传播整理发布。