整式的乘除与因式分解

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整式的乘除与因式分解
一、学习目标：
1.掌握与整式有关的概念；
2.掌握同底数幂、幂的乘法法则，同底数幂的除法法则，积的乘方法则；
3.掌握单项式、多项式的相关计算；
4.掌握乘法公式：平方差公式，完全平方公式。
5..掌握因式分解的常用方法。
二、知识点总结：
1、单项式的概念：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。单项式的数字因数叫做单项式的系数，字母指数和叫单项式的次数。
如： 的 系数为 ，次数为4，单独的一个非零数的次数是0。
2、多项式：几个单项式的和叫做多项式。多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项的次数叫多项式的次数。
如： ，项有 、 、 、1，，二次项为 、 ，一次项为 ，常数项为1，各项次数分别为2，2，1，0，系数分别为1，-2，1，1，叫二次四项式。
3、整式：单项式和多项式统称整式。
注意：凡分母含有字母代数式都不是整式。也不是单项式和多项式。
4、多项式按字母的升（降）幂排列：
如：
按 的升幂排列：
按 的降幂排列：
按 的升幂排列：
按 的降幂排列：
5、同底数幂的乘法法则： （ 都是正整数）
同底数幂相乘，底数不变，指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。
如：
6、幂的乘方法则： （ 都是正整数）
幂的乘方，底数不变，指数相乘。如：
幂的乘方法则可以逆用：即
如：
7、积的乘方法则：  （ 是正整数）
积的乘方，等于各因数乘方的积。
如：（ =
8、同底数幂的除法法则： （ 都是正整数，且
同底数幂相除，底数不变，指数相减。如：
9、零指数和负指数；
 ，即任何不等于零的数的零次方等于1。
 （ 是正整数），即一个不等于零的数的 次方等于这个数的 次方的倒数。
如：
10、单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
注意：
①积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值。
②相同字母相乘，运用同底数幂的乘法法则。
③只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式
④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。
⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。
如：
11、单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，
即 ( 都是单项式)
注意：
①积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。
②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。
③在混合运算时，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项。]
如：
12、多项式与多项式相乘的法则；
多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。
如：
13、平方差公式： 注意平方差公式展开只有两项
公式特征：左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。右边是相同项的平方减去相反项的平方。
如：    
14、完全平方公式：
公式特征：左边是一个二项式的完全平方，右边有三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方，而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍。
注意：
 
 
         
完全平方公式的口诀：首平方，尾平方，加上首尾乘积的2倍。
15、三项式的完全平方公式：
 
16、单项式的除法法则：
单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
注意：首先确定结果的系数（即系数相除），然后同底数幂相除，如果只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式
如：
17、多项式除以单项式的法则：
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的的商相加。
即：
18、因式分解：
常用方法：提公因式法、公式法、配方法、十字相乘法……
三、知识点分析：
1.同底数幂、幂的运算：
am•an=am+n(m，n都是正整数).
(am)n=amn(m，n都是正整数).
例题1.若 ，则a=           ；若 ，则n=          .

例题2.若 ，求 的值。
例题3.计算

 
练习
1.若 ，则 =        .
2.设4x=8y-1,且9y=27x-1,则x-y等于           。
2.积的乘方
(ab)n=anbn(n为正整数).积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.
例题1. 计算：
3.乘法公式
平方差公式：
完全平方和公式：
完全平方差公式：
例题1. 利用平方差公式计算：2009×2007－20082

例题2.利用平方差公式计算： ．

例题3.利用平方差公式计算： ．

例题4.（a－2b＋3c－d）（a＋2b－3c－d）
 
变式练习
1．广场内有一块边长为2a米的正方形草坪，经统一规划后，南北方向要缩短3米，东西方向要加长3米，则改造后的长方形草坪的面积是多少？
 

2.（3+1）（32+1）（34+1）…（32008+1）－ ．
 
3. 已知  求 的值

4、已知     ，求xy的值

5.如果a ＋b －2a ＋4b ＋5＝0 ，求a、b的值
 

6.试说明
（1） 两个连续整数的平方差必是奇数  

（2） 若a为整数，则 能被6整除

7.一个正方形的边长增加4cm ，面积就增加56cm ，求原来正方形的边长
 

4.单项式、多项式的乘除运算
（1）（a－ b）（2a＋ b）（3a2＋ b2）；

（2）[（a－b）（a＋b）]2÷（a2－2ab＋b2）－2ab．

（3）．已知x2＋x－1＝0，求x3＋2x2＋3的值．

5. 因式分解：
 1.提公因式法：式子中有公因式时，先提公因式。
 例1把 分解因式．
 分析：把多项式的四项按前两项与后两项分成两组，并使两组的项按 的降幂排列，然后从两组分别提出公因式 与 ，这时另一个因式正好都是 ，这样可以继续提取公因式．
解：
说明：用分组分解法，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此合理选择分组的方法．本题也可以将一、四项为一组，二、三项为一组，同学不妨一试．
 例2把 分解因式．
 分析：按照原先分组方式，无公因式可提，需要把括号打开后重新分组，然后再分解因式．
解：
 
 
说明：由例3、例4可以看出，分组时运用了加法结合律，而为了合理分组，先运用了加法交换律，分组后，为了提公因式，又运用了分配律．由此可以看出运算律在因式分解中所起的作用．
2. 公式法：根据平方差和完全平方公式
例题1 分解因式

3.配方法：
 例1分解因式
解：
 
说明：这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后将二次三项式化为两个平方式，然后用平方差公式分解．当然，本题还有其它方法，请大家试验．

4.十字相乘法：
（1）． 型的因式分解
 这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：
(1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和．
 
因此，
运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式．
 例1把下列各式因式分解：
  (1)       (2) 
解：(1) 
     ．
 (2) 
    
说明：此例可以看出，常数项为正数时，应分解为两个同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同．
 例2把下列各式因式分解：
  (1)       (2) 
解：(1) 
    
 (2) 
    
说明：此例可以看出，常数项为负数时，应分解为两个异号的因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数的符号相同．
 例3把下列各式因式分解：
  (1)       (2) 
 分析：(1) 把 看成 的二次三项式，这时常数项是 ，一次项系数是 ，把 分解成 与 的积，而 ，正好是一次项系数．
   (2) 由换元思想，只要把 整体看作一个字母 ，可不必写出，只当作分解二次三项式 ．
解：(1) 
 (2) 
  
（2）．一般二次三项式 型的因式分解
大家知道， ．
反过来，就得到：
我们发现，二次项系数 分解成 ，常数项 分解成 ，把 写成 ，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到 ，如果它正好等于 的一次项系数 ，那么 就可以分解成 ，其中 位于上一行， 位于下一行．
这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．
必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解．
 例4把下列各式因式分解：
  (1)       (2) 
解：(1)     
 (2)    
说明：用十字相乘法分解二次三项式很重要．当二次项系数不是1时较困难，具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法”凑”，看是否符合一次项系数，否则用加法”凑”，先”凑”绝对值，然后调整，添加正、负号．
 
 
练习
1、 已知 ， ，求  的值。

2、 若x、y互为相反数，且 ，求x、y的值

提高练习

1．（2x2－4x－10xy）÷（　　）＝ x－1－ y．
2．若x＋y＝8，x2y2＝4，则x2＋y2＝_________．
3．代数式4x2＋3mx＋9是完全平方式则m＝___________．
4．（－a＋1）（a＋1）（a2＋1）等于……………………………………………（　　）
（A）a4－1     （B）a4＋1       （C）a4＋2a2＋1    （D）1－a4　
5．已知a＋b＝10，ab＝24，则a2＋b2的值是 …………………………………（　　）
（A）148     （B）76     （C）58     （D）52
6．（2）（ ＋3y）2－（ －3y）2；（2）（x2－2x－1）（x2＋2x－1）；

 
7．（1－ ）（1－ ）（1－ ）…（1－ ）（1－ ）的值．
 

8．已知x＋ ＝2，求x2＋ ，x4＋ 的值．
 

9．已知（a－1）（b－2）－a（b－3）＝3，求代数式 －ab的值．
　
10．若（x2＋px＋q）（x2－2x－3）展开后不含x2，x3项，求p、q的值．
 

《整式的乘除与因式分解》单元试题
一、选择题：（每小题3分，共18分）
1、下列运算中，正确的是(      )
A.x2•x3=x6 B.(ab)3=a3b3    C.3a+2a=5a2   D.（x³）²= x5
2、下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（       ）
（A）              （B）
（C）      （D）
3、下列各式是完全平方式的是（  ）
A、  B、  C、   D、
4、下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（        ）
（A）     （B）      （C）      （D）
5、如(x+m)与(x+3)的乘积中不含x的一次项，则m的值为（       ）
 A. –3   B. 3   C. 0   D. 1
6、一个正方形的边长增加了 ，面积相应增加了 ，则这个正方形的边长为（   ）
    A、6cm       B、5cm       C、8cm      D、7cm
二、填空题：（每小题3分，共18分）
7、在实数范围内分解因式 　　　　　　
8、 ___________
9、若3x= ，3y= ，则3x－y等于           
10、绕地球运动的是7.9×10³米/秒，则卫星绕地球运行8×105秒走过的路程是      
三、计算题：（每小题4分，共12分）
11、            12、
 

13、［（x－2y） ＋（x－2y）（2y＋x）－2x（2x－y）］÷2x．
 
 
四、因式分解：（每小题4分，共16分）
14、                                                   15、2x2y－8xy＋8y
 
 
16、a2(x－y)－4b2(x－y)        
 
五、解方程或不等式：（每小题5分，共10分） 
17、 　　　　
 
 
六、解答题：（第22～24小题各6分，第25小题8分，共26分）
18、若 ，求 的值。
 
 
23、自己作图：大正方形的边长为a, 小正方形的边长为b,利用此图证明平方差公式。
 
24、如图，某市有一块长为 米，宽为 米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像，则绿化的面积是多少平方米？并求出当 ， 时的绿化面积．
 
 
25、察下列各式
（x-1）(x+1)=x2-1   
(x-1)(x2+x+1)=x3-1  
（x-1）(x3+x2+x+1)=x4-1
……
（1）根据规律可得(x-1)(xn-1+……+x +1)=           （其中n为正整数）
（2）计算：
（3）计算：