黎曼zeta函数 ζ(-2)_黎曼Zeta函数与算术基本定理

发布时间：2016-10-27 18:02

  本文关键词：黎曼zeta函数，由笔耕文化传播整理发布。

2013-09-16 22:53

黎曼Zeta函数与算术基本定理黎曼zeta函数与算术基本定理

书上有个证明没看懂，于是把其中一个步骤用计算机算了一下，比较蛋疼。
对所有的s > 1，定义以s为自变量的所谓Zeta函数

　　

Zeta函数和素数之间有一个重要的关系，这个关系我们可以利用等比级数的知识把它推导出来。设p = 2，3，5，7，…是任意一个素数；那么对于s >= 1，有

　　

使得

　　

我们把与所有素数p = 2，3，5，7，…相应的这些表达式乘在一起，而不考虑这样一个运算是否成立。在左端得到无穷“乘积”：

　　

而在另一端我们得到级数

　　

这是因为大于1的每个整数都能唯一地表示为不同素数的幂的乘积（算术基本定理）。

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上面都是《什么是数学》中Zeta函数的介绍，其中表达式乘在一起，不考虑运算是否成立，所以就写了段代码检测了一下，Zeta函数可以写成：

　　

从第三个式子开始，右边的倒数比较麻烦，先略去每一项-s次幂，由于只做乘积运算，利用规则：

　　

从而可以还原每一项相乘后的-s次幂，，不影响最终结果：

　　

上述的数列p取素数，p = 2，3，5，7，…相应的数列乘在一起：

　　

以上结果把-s次幂还原就是Zeta函数了，这样写代码来验证一下很简单。

运行后发现，这些表达式相乘，确实能表示每个整数而不重复：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 5 7 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127
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