高斯分布的来历与作用_youngchang的开发博客

发布时间：2016-11-02 14:55

本文关键词：高斯分布，由笔耕文化传播整理发布。

高斯模糊是一种图像模糊滤波器，它用正态分布计算图像中每个像素的变换。

N 维空间正态分布方程为

在二维空间定义为

其中 r 是模糊半径 (r2 = u2 + v2)，σ 是正态分布的标准偏差。

在二维空间中，这个公式生成的曲面的等高线是从中心开始呈正态分布的同心圆。分布不为零的像素组成的卷积矩阵与原始图像做变换。每个像素的值都是周围相邻像素值的加权平均。原始像素的值有最大的高斯分布值，所以有最大的权重，相邻像素随着距离原始像素越来越远，其权重也越来越小。这样进行模糊处理比其它的均衡模糊滤波器更高地保留了边缘效果，参见尺度空间实现。

理论上来讲，图像中每点的分布都不为零，这也就是说每个像素的计算都需要包含整幅图像。在实际应用中，在计算高斯函数的离散近似时，在大概3σ距离之外的像素都可以看作不起作用，这些像素的计算也就可以忽略。通常，图像处理程序只需要计算(6σ + 1) * (6σ + 1)的矩阵就可以保证相关像素影响。

除了圆形对称之外，，高斯模糊也可以在二维图像上对两个独立的一维空间分别进行计算，这叫作线性可分。这也就是说，使用二维矩阵变换得到的效果也可以通过在水平方向进行一维高斯矩阵变换加上竖直方向的一维高斯矩阵变换得到。从计算的角度来看，这是一项有用的特性，因为这样只需要 O(n * M * N) + O(m * M * N)计算，而不可分的矩阵则需要O(m * n * M * N)次计算，其中 M,N 是需要进行滤波的图像的维数，m、n 是滤波器的维数。

对一幅图像进行多次连续高斯模糊的效果与一次更大的高斯模糊可以产生同样的效果，大的高斯模糊的半径是所用多个高斯模糊半径平方和的平方根。例如，使用半径分别为 6 和 8 的两次高斯模糊变换得到的效果等同于一次半径为 10 的高斯模糊效果，sqrt(6 * 6 + 8 * 8) = 10。根据这个关系，使用多个连续较小的高斯模糊处理不会比单个高斯较大处理时间要少。

在减小图像尺寸的场合经常使用高斯模糊。在进行欠采样的时候，通常在采样之前对图像进行低通滤波处理。这样就可以保证在采样图像中不会出现虚假的高频信息。高斯模糊有很好的特性，如没有明显的边界，这样就不会在滤波图像中形成震荡。

将原来的模板改为：

/ 1 2 1 /

H = | 2 4 2 | * 1 / 16

/ 1 2 1 /

新的模板可一方面除去点状噪声，同时能较好地保留原图像的对比度，因此该模板得到了广泛的应用。由于这个模板是通过二维高斯(Gauss)函数得到的，故称为高斯模板。

高斯函数有两个特性：

1：一个高斯函数跟另外一个高斯函数的卷积仍然是一个高斯函数，A*B=C C的标准差的平方是A和B的标准差的平方和，也就是说卷积后的高斯函数更宽，模糊的效果更明显（直观上看，连续做高斯模糊运算，图像会越来越模糊。）

2：高斯函数的傅立叶变换仍然是一个高斯函数，如果原来的高斯函数越宽（标准差越大），变换后的高斯函数就越窄（标准差越小），也就是说一个越宽的高斯函数，低通（高阻）滤波的效果越明显，处理后的图像的细节就越不清楚（更模糊）。

要对数字图像做高斯模糊，就是用一个符合高斯函数分布的卷积核对数字图像做卷积运算。

要确定的有标准差的大小，卷积核的大小，最后的比例系数的大小。

一个标准差为1.4的高斯5x5的卷积核：

2 4 5 4 2

4 9 12 9 4

5 12 15 12 5

4 9 12 9 4

2 4 5 4 2

最后乘以比例系数 1/115

高斯（核）函数简介

1函数的基本概念

所谓径向基函数 (Radial Basis Function 简称 RBF), 就是某种沿径向对称的标量函数。通常定义为空间中任一点x到某一中心xc之间欧氏距离的单调函数 , 可记作 k(||x-xc||), 其作用往往是局部的 , 即当x远离xc时函数取值很小。最常用的径向基函数是高斯核函数 ,形式为 k(||x-xc||)=exp{- ||x-xc||^2/(2*σ)^2) } 其中xc为核函数中心,σ为函数的宽度参数 , 控制了函数的径向作用范围。

高斯函数具有五个重要的性质，这些性质使得它在早期图像处理中特别有用．这些性质表明，高斯平滑滤波器无论在空间域还是在频率域都是十分有效的低通滤波器，且在实际图像处理中得到了工程人员的有效使用．高斯函数具有五个十分重要的性质，它们是：

（1）二维高斯函数具有旋转对称性，即滤波器在各个方向上的平滑程度是相同的．一般来说，一幅图像的边缘方向是事先不知道的，因此，在滤波前是无法确定一个方向上比另一方向上需要更多的平滑．旋转对称性意味着高斯平滑滤波器在后续边缘检测中不会偏向任一方向．

（2）高斯函数是单值函数．这表明，高斯滤波器用像素邻域的加权均值来代替该点的像素值，而每一邻域像素点权值是随该点与中心点的距离单调增减的．这一性质是很重要的，因为边缘是一种图像局部特征，如果平滑运算对离算子中心很远的像素点仍然有很大作用，则平滑运算会使图像失真．

（3）高斯函数的付立叶变换频谱是单瓣的．正如下面所示，这一性质是高斯函数付立叶变换等于高斯函数本身这一事实的直接推论．图像常被不希望的高频信号所污染(噪声和细纹理)．而所希望的图像特征（如边缘），既含有低频分量，又含有高频分量．高斯函数付立叶变换的单瓣意味着平滑图像不会被不需要的高频信号所污染，同时保留了大部分所需信号．

（4）高斯滤波器宽度(决定着平滑程度)是由参数σ表征的，而且σ和平滑程度的关系是非常简单的．σ越大，高斯滤波器的频带就越宽，平滑程度就越好．通过调节平滑程度参数σ，可在图像特征过分模糊(过平滑)与平滑图像中由于噪声和细纹理所引起的过多的不希望突变量(欠平滑)之间取得折衷．

（5）由于高斯函数的可分离性，大高斯滤波器可以得以有效地实现．二维高斯函数卷积可以分两步来进行，首先将图像与一维高斯函数进行卷积，然后将卷积结果与方向垂直的相同一维高斯函数卷积．因此，二维高斯滤波的计算量随滤波模板宽度成线性增长而不是成平方增长．

MATLAB代码

close all;
clc;
alf=3;
n=7;%定义模板大小
n1=floor((n+1)/2);%确定中心
for i=1:n
a(i)= exp(-((i-n1).^2)/(2*alf^2));
for j=1:n
b(i,j) =exp(-((i-n1)^2+(j-n1)^2)/(4*alf))/(4*pi*alf);
end
end
subplot(121),plot(a),title('一维高斯函数' );
subplot(122),surf(b),title('二维高斯函数' );

二图像滤波

1 图像滤波的基本概念

图像常常被强度随机信号（也称为噪声）所污染．一些常见的噪声有椒盐（Salt & Pepper）噪声、脉冲噪声、高斯噪声等．椒盐噪声含有随机出现的黑白强度值．而脉冲噪声则只含有随机的白强度值（正脉冲噪声）或黑强度值（负脉冲噪声）．与前两者不同，高斯噪声含有强度服从高斯或正态分布的噪声．研究滤波就是为了消除噪声干扰。

图像滤波总体上讲包括空域滤波和频域滤波。频率滤波需要先进行傅立叶变换至频域处理然后再反变换回空间域还原图像，空域滤波是直接对图像的数据做空间变换达到滤波的目的。它是一种邻域运算，即输出图像中任何像素的值都是通过采用一定的算法，根据输入图像中对用像素周围一定邻域内像素的值得来的。如果输出像素是输入像素邻域像素的线性组合则称为线性滤波（例如最常见的均值滤波和高斯滤波），否则为非线性滤波（中值滤波、边缘保持滤波等）。

线性平滑滤波器去除高斯噪声的效果很好，且在大多数情况下，对其它类型的噪声也有很好的效果。线性滤波器使用连续窗函数内像素加权和来实现滤波。特别典型的是，同一模式的权重因子可以作用在每一个窗口内，也就意味着线性滤波器是空间不变的，这样就可以使用卷积模板来实现滤波。如果图像的不同部分使用不同的滤波权重因子，且仍然可以用滤波器完成加权运算，那么线性滤波器就是空间可变的。任何不是像素加权运算的滤波器都属于非线性滤波器．非线性滤波器也可以是空间不变的，也就是说，在图像的任何位置上可以进行相同的运算而不考虑图像位置或空间的变化。

2 图像滤波的计算过程分析

滤波通常是用卷积或者相关来描述，而线性滤波一般是通过卷积来描述的。他们非常类似，但是还是会有不同。下面我们来根据相关和卷积计算过程来体会一下他们的具体区别：

卷积的计算步骤：

（2）移动卷积核的中心元素，使它位于输入图像待处理像素的正上方

（3）在旋转后的卷积核中，将输入图像的像素值作为权重相乘

（4）第三步各结果的和做为该输入像素对应的输出像素