黎曼函数可积_黎曼猜想DF

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Riemann Zeta函数零点猜想与证明

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摘要：介绍Riemann猜想（RH）；探讨利用Jacobi函数方程关系和Schwarz 反射原理，给出黎曼泽塔函数（Riemann zeta function）零点满足的方程，进而推得零点均落在实部为1/2的临界线上。如此，黎曼猜想/假设可以称作黎曼定理，所有与之等价的命题和以黎曼假设作为前提条件而成立的结论都成立。关键词：黎曼猜想，Jacobi函数方程，反射原理。

1. 引言

Riemann 猜想（RH）源于 Dirichlet 级数函数，

?(s)??1?1ns Res>1 （1-1）

文献【3】和[7]都列出了有关Riemann猜想的重大历史事件。1737年，Euler

即对所有的大于1的实数s，

?(s)??1?给出了著名的乘积公式， 1??(1?p?s)?1 （1-2），snp

其中，公式中的 n 为自然数， p 为素数。这一公式是 Euler 在一篇题为

的论文中提出并加以证明的。

1792年，高斯提出了后来被称为素数定理的结论。1859年，Riemann在他那篇著名的论文中【1】，将（1-

1）解析延拓到除s=1外的整个复平面上，提出了 Riemann

“对无穷级数的若干观察”

猜想：Riemann

函数的所有非平凡有零点都在临界线Res=1/2上。ζ

由 Euler 乘积公式（1-2）可以得到Riemann ζ 函数在 Re(s)>1 的区域内没有零点。1896年，Hadamard 和Poussion 分别独立证明了素数定理。素数定理等价于Riemann

函数在Re(s)=1 上没有零点。

1914年，丹麦数学家玻尔与德国数学家兰道证明了包含临界线的无论多么窄的带状区域都包含了黎曼ζ函数的几乎所有非平凡零点。同一年，英国数学家哈代证明了黎曼ζ函数有无穷多个非平凡零点位于临界线上。

1942年，挪威数学家赛尔伯格证明了有正百分比的非平凡零点在临界线上。列文森在1974年证明了至少有34%的零点位于临界线上。直到1989年，美国数学家康瑞(Brian

Conrey)证明了至少有40%的零点位于临界线上。RH猜想之所以重要，是因为RH

有诸多重要等价命题和以其作为假设而成立的重要结论，文献[7]中给出了32个重要等价命题；李修贤2012年在学位论文“黎曼猜想与素数分布”中专门罗列了34个与黎曼猜想等价结论【8】。黎曼猜想的各种等价结论和基于黎曼假设下而成立的结论使人们有理由相信黎曼猜想的正确性，人们更愿意称Riemann猜想为Riemann假设。

关于数值计算验证或曰试图举出反例的工作，极大促进了RH的相关研究。1932年，数学家西格尔从黎曼的手稿中获得了重大发现——计算黎曼ζ函数非平凡零点的方法称为黎曼-

西格尔公式。至1969年，350万个零点得到验证，全部位于临界线上，无疑大大增强了数学家们对黎曼猜想的信心。到2004年，Gourdon用计算机验证，黎曼ζ函数的前10的13次方个零点都

ζ

落在黎曼猜想的直线上。现在十多万亿个零点的计算大关已经突破，并且与日俱增。

Riemann 猜想的提出已经过去一个半世纪多，

RH不愧是一只下金蛋的天鹅。然而，猜想是否成立，一直未得到肯定。RH被公认为是“外行不懂，专家证明不了的世界难题”[7]。

黎曼那篇提出了黎曼猜想的著名论文“论小于给定数的素数分布”【1】中已经意识到猜想是成立的，特别，他还指出了Riemann ξ

函数关于Re(s)=1/2是偶函数的结论。令人惋惜的是黎曼提出RH七年后，就撒手人寰。考察黎曼猜想提出的原始论文【1】发现，黎曼通过Jacobi函数方程变形，给出了Riemann ξ

函数的解析延拓表达（【1】，【4】P21）。Edwards [2], A.

A. Karatsuba [4] 都提及theta函数和Jacobi

函数方程在处理黎曼泽塔函数方面较Cauchy

积分公式更为便利。Jacobi

函数方程与黎曼泽塔函数关系密切，前者自变量的倒数与后者的共轭变量对应。黎曼本人原意就是要去证明黎曼猜想，只是未能如愿，才以猜想的形式给出了著名的RH。倘若，黎曼当时就沿着此路给出RH之证明，或者后来人及时补上其证明，，RH或许不会如此出名。后来，RH的诸多重要等价问题和基于黎曼猜想的重要结果说明了该黎曼猜想的重要性，而等价问题的难以证明，则说明，除了黎曼当初猜想的基于雅克比变换的思路外，还没有发现有更能有效的证明RH的特别思路和其他好方法。现在可以说，RH的极限情形和具体零点计算，是黎曼猜想RH的依据，Jacobi函数方程变形才是证明RH的有效方法。

2．以Theta 级数表达的黎曼Zeta 函数解析延拓

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