余弦定理,教案-人教A版数学高二必修五第一章1.1.2
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角；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；如果大于第三边的平方，那么第三
边所对的角是锐角.由上可知，余弦定理是勾股定理的推广”．还要启发引导学生注意余弦定理
的各种变形式,并总结余弦定理的适用题型的特点,在解题时正确选用余弦定理达到求解、求
证目的. 启发学生在证明余弦定理时能与向量数量积的知识产生联系,在应用向量知识的同时,注
意使学生体会三角函数、正弦定理、向量数量积等多处知识之间的联系.
教法与学法
1．教法：采取启发式教学方法，在教学中提出问题，创设情景引导学生主动观察、思考、类
比、讨论、总结、证明，在主动探究中汲取知识，提高能力。
2．学法：从学生原有的知识和能力出发,在教师的带领下，通过合作交流,共同探索,逐步解决
问题.
教具：计算机，多媒体投影，黑板
教学过程设计
(一)创设情境 引入课题
1. 问题提出
【师】运用正弦定理能解怎样的三角形？
【生】①已知三角形的任意两角及其一边；
②已知三角形的任意两边和其中一边的对角.
【师】那么，已知两边及其夹角，怎么求出此角的对边呢？已知三条边，又怎么求出它的
三个角？
如果已知三角形的两边及其夹角，根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、
形状完全确定的三角形.
从量化的角度来看，如何从已知的两边和它们的夹角求三角形的另一边和两个角呢？
2、课堂探究：
【师】已知三角形两边和它们的夹角，求三角形的另一边？
如图，在△ABC中，设BC=a, AC=b, AB=c.已知a, b和∠C，求边c？
【板书/PPT】
??如图，设CB?a，CA?b，AB?c，那么c?a?b，则 b c?2???????c?c?a?ba?b??????? ?a?a?b?b?2a?b?2?2?? ?a??2a?b???????????????????
从而 c2?a2?b2?2abcosC
同理可证 a2?b2?c2?2bccosA
b2?a2?c2?2accosB
【师】于是得到以下定理
(二)余弦定理【板书/PPT】
余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的
余弦的积的两倍。即 a2?b2?c2?2bccosA
b2?a2?c2?2accosB
c2?a2?b2?2abcosC
思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三
边求出一角？
（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：
b2?c2?a2 cosA?a2?c2?b2 cosB?b2?a2?c2 cosC?
[理解定理]
从而知余弦定理及其推论的基本作用为：
①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；
②已知三角形的三条边就可以求出其它角。
思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？
（由学生总结）若?ABC中，C=900，则cosC?0，这时c2?a2?b2
由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。
(三)例题解析【板书/PPT】
例1：如图所示，有两条直线AB和CD相交成80°角，交点是Ｏ.甲、乙两人同时从点Ｏ分别沿OA,OC方向出发，速度分别是4km/h,4.5km/h.3小时后两人相距多远（结果精确到0.1km）
?
【师】分析：经过3小时，甲到达点P，OP=4×3=12(km),乙到达点Q，OQ=4.5×3=13.5(km).问题转化为在△OPQ中，已知OP=12km，OQ=13.5km,∠POQ=80°，求PQ的长.
解： 经过3小时后，甲到达点P，OP=4×3=12（km）,乙到达点Q，OQ=4.5×3=13.5(km). 由余弦定理，知
PQ???16.4(km)
答：3小时后两人相距约16.4km.
【师】同学们，我们来练一下
【板书/PPT】
课堂练习：
1. b=8, c=3, A=60°,a=________
解析：a?
2. a=°,b=________
解析：b【师】请看这题
变式 已知△ABC中，a = 8, b = 4, B=30? , 求边长c.
asinB
解法一：由正弦定理，得：sinA????A1?45?,A2?135?.
A1?45?，C1?180??(A1?B)?180??(45??30?)?105?.
sinC1 ?c1?b
sin?B?4.
A2?135?. C2?180??(A2?B)?180??(135??30?)?15?
.
sinC2 ?c2?b
sinB?4.
解法二：由余弦定理，得b2?c2?a2?
2cacosB
?2?c2?82?2?8?c?cos30?
.
c2??32?0.
解之，得：c1?
4,c2?4.
【师】1° 解法一中，要注意C有两个结果，避免遗漏.
2° 解法二是利用余弦定理，直接求出c,更加简捷，值得提倡.
【师】同学们来看一看例题2
【板书/PPT】
例2:右图是公元前约400
.试计算图中线段BD的长度及∠DAB的大小（长度精确到0.1,角度精确到1°）
解：在△BCD中，BC=1，CD=1，∠BCD=135°.
因为BD2?BC2?CD2?2BC?CDcos?
BCD
?12?12?2?1?1cos135??2
所以BD?1.8.
在△ABD中，
AB=1,BD?AD?AB2?AD2?BD2 ∵ cos?DAB?
?2AB?AD?0.1691
∴?DAB?80?
【师】同学们，我们来练一下
【板书/PPT】
课堂练习：
1. a=20, b=29, c=21,B=________ a2?c2?b2
解析：cosB?=0 ∴B=90° 2ac
2. a=2, b=
1 ，A=______ b2?c2?a2解析：cosA?
= ∴A=45° 2bc2
3. a=9, b=10, c=15.A=____,B=_____,C=_____ b2?c2?a2a2?c2?b2
解析：cosA?≈0.58 ， cosB?≈0.63 2bc2ac
∴A=36° B=40° C=104°
【师】同学们来看一看例题3
【板书/PPT】
例3 在△ABC中，已知(a?b?c)(b?c?a)?3bc, 求A.
解：由(a?b?c)(b?c?a)?3bc, 得(b?c)2?a2?3bc,
即b2?c2?a2?bc.
?cosA?b?
2cbc?a?2bcbc?2,222
?A?60?.
【师】同学们，我们来练一下
【板书/PPT】
练习 在?ABC中,
已知a2?b2?c2 ,求角C. a2?c2?b2解析：∵cosB?
∴C=45° 2ac
【师】同学们来看一看例题4
【板书/PPT】
例4．在△ABC中已知a＝2bcosC，求证：△ABC
证1：欲证△ABCa＝bsinA sinB
∴2bcosC＝bsinA，即2cosC·sinB＝sinA＝sin（B＋C）＝sinBcosC＋cosBsinsinB
∴sinBcosC－cosBsinC＝0，
即sin（B－C）＝0，∴B－C＝ｎπ（ｎ∈Ｚ
∵B、C是三角形的内角，∴B＝C
证2：根据射影定理，有a＝bcosC＋ccosB，
又∵a＝2bcosC∴2bcosC＝bcosC＋ccosB∴bcosC＝ccosB，即
bsinBsinBcosB?.∴?,即tanB＝tanC csinCsinCcosCbcosB?. ccosC又∵
∵B、C在△ABC中，∴B＝C∴△ABC
a2?b2?c2aa2?b2?c2a及cosC?,∴?, 证3：∵cosC＝2ba2b2ab2b
化简后得b2＝c2∴b＝c ∴△ABC【师】同学们，我们来练一下
【板书/PPT】
练习:根据所给条件，判断?ABC的形状。
（1）acosA?bcosB； （2）abcAb?c??；（3）cos2? cosAcosBcosC22c
解：（1）由acosA?bcosB得2RsinAcosA?2RsinBcosB，所以sin2A?sin2B，
所以2A?2B或2A???2B，所以A?B或A?B?
所以?ABC是等腰三角形或直角三角形。
（2）由?2， abc2RsinA2RsinB2RsinC????得，即 cosAcosBcosCcosAcosBcosC
tanA?tanB?tanC，
又A,B,C?(0,?)，所以A?B?C，所以?ABC是等边三角形。
b2?c2?a2b2?c2?a2b1?cosAb?cb??， （3），cosA?，又因为cosA?，22cc2bc2bcc
得a2?b2?c2，所以?ABC是直角三角形。
(四)总结反思，深化认识
1. 余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；
2. 余弦定理的应用范围：
①已知三边求三角；
②已知两边及它们的夹角，求第三边.
当堂检测
1. 在?ABC中，已知b?1,c?2,A?60?，则a?____
解析：由余弦定理得
a?
2.?ABC的三边之比为3:5:7，求这个三角形的最大角.
解析：∵三角形的三边之比为3:5:7，所以可以设三边分别为3a,5a,7a.由正弦定理可得，， 7a所对的角最大,设所对的角为A，则由余弦定理可得：
32?52?721cosA?=? ，A=120° 22?3?5
3.?ABC中，a=2，
b=C=15°，解此三角形.
解析：∵c2?a2?
b2?2abcosC?8?
∴c?a2?c2?
b2 ∴cosB?∴B＝135° ?2ac2
∴ A＝ 180°－(B＋C) ＝ 30
作业布置：
①课后阅读：课本第9页[探究与发现]
②课时作业：第11页[习题1.1]A组第3（1），4（1）题。
板书设计
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本文编号：237241
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