勾股定理逆定理证明

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勾股定理逆定理证明

已知△ABC的三边长满足，，求证：△ABC是直角三角形。 用反证法证明如下： 由 a 2 ? b 2 ? c 2 可知c边最大，即∠ACB最大。只要证明了∠ACB=90°, 即△ABC是直角三角形。 分两种情况进行。 假设△ABC不是直角三角形而是钝角三角形，则∠C＞90°。 B c

a
A b C 过B作

BD垂直于AC的延长线于D，垂足为D。

B c

a
A b C
b1

a1

D

B c a A b C
a1

b1 D △ABD与△CBD都是直角三角形，根据勾股定理有：

a1 ? ( b ? b 1 ) ? c
2

2

2

(1)

a1

2

? b1

2

? a

2

(2)
2 2 2

由（1）得
把（2）代入（3）得
对比已知条件 可得

a 1 ? b 1 ? 2 bb 1 ? b

? c

2

(3)
(4)

a ? b ? 2 bb 1 ? c
2 2

2

a

2

?b

2

? c
2

2

b1 ? 0
a1 ? a
2

把 b 1 ? 0 代入（2）得

则 a1 ? a

因此点C与点D重合，∠ACB=∠ADB=90°，结论与假设矛盾，所以 △ABC是直角三角形。

假设△ABC不是直角三角形而是锐角三角形，则∠C＜90°。 B

c A b

a C

过B作BD垂直于AC于D，垂足为D。

B c
a1 b1

a

A

b D b2

C

B
c A
b1 a1

a C

b D b2

其中BD= a 1 AD= b 1 DC= b 2

b1 ? b 2 ? b

△ABD与△CBD都是直角三角形，根据勾股定理有：
2 2

a1

? b1
2

? c

2

（5） （6）

a1 ? b 2

2

? a

2

把（5）-（6）得

c

2

?a

2

? b1 ? b 2

2

2

? ( b1 ? b 2 )( b1 ? b 2 ) ? b ( b ? 2 b 2 ) ? b

2

? 2 bb 2

整理得：

c

2

? a
2

2

? b
2

2

? 2 bb 2
2

已知条件

a
得 所以

? b

? c

b2=O b1=b

则点C与点D重合，∠ACB=∠ADB=90°，结论与假设矛盾，所以 △ABC是直角三角形。 因此，勾股定理的逆定理得到证明。



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