微分中值定理的证明、推广以及应用

微分中值定理的证明、推广以及应用

1引言
　　在高等数学中微分中值定理占有着非常重要的作用,微分中值定理不仅是微积分的重要结论之一,也是最基本的定论文联盟理之一.它不仅沟通了函数与其导数的关系,也是应用数学研究函数在区间整体性态的有力工具之一.罗尔中值定理条件最强,因而结论更加特殊,拉格朗日中值定理可以看成罗尔中值定理的推广.本文将罗尔中值定理由区间 推广到了区间 (a,b),由 推广到了区间（-∞，+∞） ，由f（a）=f（b） 推广到(有限或±∞).而将拉格朗日中值定理中的可微条件适当放宽,使其具有更加广泛的意义.
　　2罗尔定理
　　若函数f满足如下条件：
　　 f在闭区间［a，b］上连续,
　　f在开区间（a，b）内可导,
　　f（a）=f（b）
　　则在（a，b）内至少存在一点c,使得f、（c）=0.
　　2.1罗尔定理的推广
　　定理1：设(a,b)为有限或无穷区间f(x)在(a,b)内可微且（有限或 ）±∞,
　　则c∈ ,使得f、（c）= 0.
　　证明：先证A为有限数的情形,若使f（x）=A ,则f、（x）=0,所证显然成立.
　　若f（x）=A不成立,则存在x0∈（a，b）,使得f（x0）≠A,
　　设f(x0) ＞A （对f(x0) ＜A 同理可证）,
　　由于=A,
　　因函数f(x)在(a,b)内连续,对于任意取定的实数 μ(A＜μ＜f(x) ）,
　　x1∈(a,x0 ),x2 (x0 ,b),
　　使得f（x1）=f（x2）=μ,
　　在闭区间［x1,x2 ］上用罗尔定理,
　　可得使得f、（c）0,
　　再证A+∞,的情形（A=-∞, 的情形,同理可证）.
　　由于 =+∞,
　　取定x0∈(a,b)及μ＞f(x0) ,
　　则由于f(x)在(a,b)内连续,故x1∈(a,x0),x2(x0,b),使得f(x1)=f(x2)=μ,
　　在闭区间［x1,x2］上用罗尔定理,可得使得f、（c）=0.
　　2.2定理1的5条推论
　　推论1：设f（x）在（a，b）内可导,且=A≠∞ ,则在区间(a，b)内至少存在一点c,使得f、（c） 0.
　　推论2：设f（x）在（a，b）内可导,且+∞ ,则在区间(a，b)内至少存在一点c,使得 f、（c） 0.
　　若=-∞,结论同样成立.
　　推论3：设f（x）在（-∞，+∞）可导,且==A,则在(-∞，，+∞)至少存在一点 ,使得f、（c） 0.
　　推论4: 设f（x）在（-∞，+∞）可导, 且+∞，=+∞ ,则在区间(-∞，+∞)内至少存在一点c,使得f、（c） 0.
　　若=-∞，=-∞ ,结论同样成立.
　　推论5：设f（x）在（a，+∞）可导, 且==A ,则在(a，+∞）至少存在一点c,使得f、（c） 0.
　　3拉格朗日中值定理
　　若函数f 满足如下条件：
　　f(x)在［a，b］连续
　　f(x)在(a,b)可导
　　则在(a,b)中至少存在一点c,使f、（c）=f（b）-f（a）b-a
　　3.1拉格朗日中值定理几何证明方法
　　多数教材都是通过构造辅助函数F(x)=f(x)-f(a)b-a(x-a)来证明拉格朗日中值定理的,故F(x)表示曲线y=f(x)与直线AB（y + (x-a)+f(b)-f(a)b-a(x-a)）之差从而使F(x)满足罗尔中值定理的要求,利用罗尔中值定理证得结论.无论通过何种方式,只要构造函数满足罗尔定理即可找到辅助函数满足罗尔定理条件.从几何意义上讲,就是找到一种几何量（长度,面积等）使得它在A,B值相等,在M点取得极值,满足罗尔定理,即可导出拉格朗日中值定理.
　　已知f(x)在［a,b］连续,在(a,b)可导,证明在(a,b)中至少存在一点,使f、（）=f（b）-f（a）b-a.
　　已知光滑曲线 T：
　　
　　证明：引理：在平面直角坐标系中,已知A 、B 、C三个顶点的坐标A(f（a），g（a））,B(f（b），g（b）)，C(f（c），g（c）)
　　则ABC得面积为
　　
　　易知：S(x)记由(a,f（a） ),(b,f(b) ),(x,f(x)) 三点组成三角形的面积,
　　
　　又因为S(x)在［a，b］上连续,且在（a，b） 可导,有S(a)=S(b)=0,
　　则由罗尔中值定理,存在一点∈(a,b) 使得S、（）=0