[正弦定理证明余弦定理]1.1.2 余弦定理

  本文关键词：证明余弦定理，由笔耕文化传播整理发布。

篇一 : 1.1.2 余弦定理

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余弦定理ppt 1.1.2 余弦定理

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篇二 : 1.1.2 余弦定理

1.1.2 余弦定理

1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方 法； 2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.(难点)

问题1

运用正弦定理能解怎样的三角形？

①已知三角形的任意两角及其一边；

②已知三角形的任意两边与其中一边的对角.

问题2

如果已知三角形的两边及其夹角，能解这个三

角形吗？ 根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、 形状完全确定的三角形. 从量化的角度来看，如何从已知的两边和它们的夹 角求三角形的另一边和两个角？ 这就是我们这节课要讲的内容.

如何由已知两边和它们的夹角求三角形的另一边？

即：如图，在△ABC中，设BC=a, AC=b, AB=c.已知a, b 和∠C，求边c.
用正弦定理试求，发现因A、B均未 知，所以较难求边c. 由于涉及边长问题，从而可以 考虑用向量来研究这个问题. C
b

A

c a
B

.

，
， , , .
? b

A
? c ? a

C

B

一、余弦定理：
三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减 去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即

注：利用余弦定理，可以从已知的两边及其夹角求出三角

形的第三条边.

这个式子中有几个量？从方程的角度看 已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一 角？ 式子中共有4个量.已知其中三个量，可以求出第四个量， 当然能由三边求出一角.

二、余弦定理的推论：
,

.

注: 由上述推论, 可以由三角形的三条边求出三角形的 三个角.

思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关
系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关 系，如何看这两个定理之间的关系？

由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余
弦定理的特例.

余弦定理及其推论的基本作用是什么？
①已知三角形的任意两边及它们的夹角可以求出第三边；

②已知三角形的三条边就可以求出其他角.

例1

在△ABC中，已知b=60 cm，c=34 cm，A=41° ，解三

角形（角度精确到1°，边长精确到1 cm）. 解：方法一： 根据余弦定理， a2=b2+c2-2bccosA =602+342-2×60×34×cos41o ≈1 676.82， ∴a≈41(cm).

由正弦定理得，

因为c不是三角形中最大的边，所以C是锐角，利用计算 器可得C≈33°，B=180o-(A+C)≈180o-(41o+33o)=106°.

方法二： 根据余弦定理， a2 +c2 =b2 -2bccosA =602 -2×60×34×cos41o≈1 676.82， +342 ∴a≈41(cm). 由余弦定理得

所以利用计算器可得C≈33°，
B=180o-(A+C)≈180o-(41o+33o)=106°.

思考:在解三角形的过程中，求某一个角时既可用正弦 定理也可用余弦定理，两种方法有什么利弊呢？

注意：一般地，在“知三边及一角”要求剩下的两个角
时，应先求最小的边所对的角.

例2

在△ABC中，已知a=134.6 cm，b=87.8 cm，c=161.7 cm，

解三角形（角度精确到1′）. 解：由余弦定理的推论得：

，

；
， ， .

思考：在已知三边时，一般先利用余弦定理求哪个角？

然后用正弦定理还是继续用余弦定理求角？
在已知三边时，一般先利用余弦定理求两个较小的 角（大边对大角,小边对小角），然后再由三角形内角和 求第三角.

解三角形的四种基本类型
已知条件 定理选用 正弦定理 一般解法 由A+B+C=180°求角A,由正弦定理 求出b与c. 由余弦定理求出第三边c，再由正弦 定理求出剩下的角. 由正弦定理求出角B,再求角C,最后 求出c边.可有两解,一解或无解. 先由余弦定理求出其中两个角,再利用 内角和为180°求出第三个角.

一边和二角
(如a,B,C) 两边和夹角

余弦定理

(如a,b,C)
两边和其中一 边的对角 (如a,b,A) 三边(a,b,c) 正弦定理

余弦定理

1.在△ABC中，已知下列条件，解三角形(角度精确到0.1o, 边长精确到0.1 cm): (1) a＝2.7 cm，b＝3.6 cm，C＝82.2o；

(2) b＝12.9 cm，c＝15.4 cm，A＝42.3o.

2.在△ABC中，已知下列条件，解三角形(角度精确到0.1o, 边长精确到0.1 cm): (1) a＝7 cm，b＝10 cm，c＝6 cm；

(2) a＝9.4 cm，b＝15.9 cm，c＝21.1 cm.

1.余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾
股定理是余弦定理的特例.

2. 余弦定理的应用范围：
①已知三边求三角； ②已知两边及它们的夹角，，求第三边.

自安于弱，而终于弱矣；自安于遇，而终
于愚矣。 ——吕祖谦

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