10个数学模型_数学模型分析与经济学_数学模型课程设计试题 南京廖华

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出口的污水浓度，使在符合国家标准规定的条件下总的处理费用最小。 工厂1 工厂2 工厂3

处理站1 处理站2 处理站3

江水

居民点1 居民点2 居民点3

先建立一般的数学模型，再求解以下的具体问题：

设上游江水流量为1000×1012l/min，污水浓度为0.8mg/l，三个工厂的污水流量均为5×1012l/min，污水浓度（从上游到下游排列）分别为100，60，50（mg/l），处理系数均为1万元/（（1012 l/min）×(1mg/l)），3个工厂之间的两段江面的自净系数（从上游到下游）分别为0.9，0.6。国家标准规定的污染浓度不超过1mg/l。

（1）为了使江面上所有地段的水污染达到国家标准，最少需要花费多少费用？

（2）如果只要求三个居民点上游的水污染达到国家标准，最少需要花费多少费用？

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题目24：草原鼠患问题

在我国的内蒙古大草原，由于各种人为因素对自然生态系统的破坏(如过度放牧、大量消灭草原上的狼群等)，造成草原鼠患问题严重，并由此引发了严重的生态问题。

老鼠在草原上是家族式掘洞群居。它们食量巨大，每年都得在洞内外囤积大量牧草。以一个大沙鼠的洞为例，里面经常囤草25—40公斤之多。而且，老鼠的繁殖力强，在自然界堪称独一无二。老鼠对草原危害最大的莫过于它们挖掘洞穴的习性。由于挖掘造成的环境损失远远大于单纯的食草所造成的危害。所有鼠害发生的地方，，洞道纵横，水土流失严重。有的甚至形成了大面积寸草不生的“鼠荒地”。

更糟糕的是至今我们尚未找到能有效控制进而消灭草原老鼠的办法。也就是说，至少以目前的技术力量，我们还不能用人工种草的办法永久地恢复自然植被。就像有句名言所说的那样：大自然不可以被模仿和重复。而这才是我们之所以对鼠害之类忧心忡忡的真正原因。那么，我们还能做些什么呢？也许只有不停地灭鼠种草了。有科学家说，人类自打开始灭鼠的第一天起，就背上了一个日益沉重的包袱。因为不当的灭治方法，鼠害日益泛滥，而且越灭越多，因而也就不得不继续灭下去了。但是，能否最终将老鼠赶出草原，目前尚难以作出定论。 控制草原鼠患，现在人们通常采用的有下面几种方法:

(1) 灭鼠药 现在所用的灭鼠药在杀死老鼠的同时，也杀死了老鼠的天敌。因此，实际的情况是，撒灭鼠药后老鼠的数量反而以几何级数增长。改进的方法是，可以研制无公害的灭鼠药，但这需要一定的时间和大量资金的投入。

(2) 引入老鼠的天敌 通过人工喂养和驯化老鼠的天敌，如鹰、狐狸、狼等， 将一定数量的老鼠的天敌引入鼠患严重的草原，利用它们控制老鼠的数量。这种方法在短期内有效，但也有一定的问题：一是费用比较高，例如，喂养和驯化一只

银狐的费用要上千元；二是引入的数量难以确定，数量太小，难以控制鼠患，数量太多就会引起新的生态问题。

(3) 人工种植牧草 鼠类是一种需要开阔视野的生物种，只要有茂密的牧草生长，它们就无法生存。它们的视线之内如果毫无遮拦，便会肆意横行。在草场植被密集的地方，老鼠并不容易打洞，而且在这样的环境中，老鼠遇到天敌追捕时也难以及时躲避，所以数量不会激增。但是，据有关资料显示，青藏高原上几乎所有的人工种草都会在一定时间内自行退化。

任务1、建立恰当数学模型，对上述灭鼠方法的效果进行评估分析，要考虑到短期和长期的效果以及资金投入的问题；

任务2、对控制草原鼠患，恢复生态平衡，提出你认为切实可行的建议；

任务3、通过网络或其它途径（如公开出版的文献、研究论文等）搜集、收集实际数据，验证你的模型及结果。

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题目25：洗盘子问题

在家里,每天做饭后总会有一大堆油腻腻的盘子需要清洗,为清洗这些盘子,你准备了一大盆热的肥皂水,热水的温度足够洗掉盘子上的油腻而不烫手,随着洗涤过程的继续,盆中的水会漫漫地冷下来,一直到无法在清洗这些盘子,假设每个盘子重0.5KG,盆内水重15千克,盆内最初温度是60度最终无法清洗盘子的温度是40度,盆内水的表面积是0.1平方米,空气温度是20度,试建立模型分析使用这盆热水可以洗多少个盘子,已知盘子的热容量是600焦耳/千克,水的热容量是4200焦耳/千克,水到空气的热传导系数是100焦耳/米*秒

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题目26：企业季度生产计划问题

某厂甲、乙两种产品，第一季度的最大需求量及单位产品利润和每月的库存成本如表1所示。

表1 产品需求量、利润及库存成本

需求量 利润（未计库存成本）（元/单位产品） 每月库存成本（元/单位产品）

一月 二月 三月

甲产品 250 540 700 3.0 0.2 乙产品 180 150 700 4.5 0.3 生产这两种产品都必须经过由两道工序，分别使用A、B两类机器。A类机器有4台，B类机器有5台，每台机器每月运转180工时。生产单位甲产品需机器A0.9工时，机器 B1.0工时；生产单位乙产品需机器A0.5工时，机器B0.75工时。

该厂仓库容量为100平方米，存贮每单位甲产品需占面积0.75平方米，每单位乙产品需占面积1.2平方米。该季度开始时无库存量，计划在本季度结束时甲、乙两种产品各库存40单位。分别求解以下两个问题：

（1）假定一月和二月A、B两类机器各有一台检修，三月份有一台A类机器和两台B类机器检修，A类机器检修需100工时，B类机器检修需150工时。该厂应如何安排生产计划，才能使本季度获利最大？

（2）规定A、B类机器在本季度内需检修的总台数同（1），确定合理的检修计划，

使该厂在本季度获利最大？

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题目27：一个游击战问题

战争作为人性的负面总是伴着社会的发展，它是一个复杂的问题，涉及兵员、武器、地理、士气、指挥艺术，后勤、气候等等的综合作用。这样的模型一般是很难建立的。但在一定合理假设的条件下，还是可以近似建模的。

比如说解放区的抗日战争，日军凭借人数、武器和资源等的优势，常常对人民武装进行打击、扫荡。而人民军他总是凭借自己的地利优势，群众基础、灵活机动等来抗击敌人的打击，从而牵制和消灭敌人。假设有一次，由于叛徒的出卖。日军获知一支人数为 400人的游击队在某一个面积为60平方公里的山区活动。于是派出了人数为900人的部队分三路进行包围打击。游击队在敌人进攻前也得到了敌人要来的情报。于是研究组织了应敌之策。

假设你是一个指挥员或作战参谋，请你分析建立一个模型，来预测这次战斗，我方人员能否摆脱敌人的包围，设计一个方案使我方能有效地打击敌人。

【设计任务】

• 建立微分方程模型（参考战争预测等微分方程模型）；

• 求解模型的解析解或者数值解（如果可行的化，求解析解可以自己推导或者借助 matlab 符号求解函数；求数值解可以通过数值分析算法进行或者调用 mtlab 函数 ode 系列函数）；

• 画出图形进行直观的分析和展示；

• 写出论文。

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题目28： 确定肥猪的最佳销售时机

一般从事猪的饲养和销售总希望获得利润，因此饲养某种猪是否获利，怎样获得最大利润，是饲养者必须考虑的问题。如果把饲养技术水平，猪的性质等因素看成不变的，且不考虑市场的需求变化，那么影响获利大小的一个主要因素是如何选择猪的售出时机，即何时把猪卖出获利最大。也许有人认为，猪养的越大，售出后获利愈大，其实不然，因为随着猪的生长，单位时间消耗的饲养费用也就愈多，但同时其体重的增长速度却不断下降，所以饲养时间过长是不合算的。 考虑某个品种猪的最佳销售时机的数学模型。

【设计任务】

• 分析问题，并搜集资料和数据

• 建立饲料消耗模型

• 建立肥猪的生长模型

• 建立确定最优化模型（可以以利润最大化作为优化目标，看看还有没有其他思路）

• 建立其他需要的模型

选用合理的数据求解模型；可能用到的 Matlab 函数有：符号工具箱，最优化工具箱函数，作图函数等等。

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题目29： 渡口模型

【问题提出】

一个渡口的渡船营运者拥有一只甲板长 32 米，可以并排停放两列车辆的渡船。他正在考虑怎样在甲板上安排过河车辆的位置，才能安全地运过最多数量的车辆，并关心一次可以运多少辆车，其中有多少小汽车，多少卡车，多少摩托车，他观察了数日，发现每次情况不尽相同，但他得到下列数据和情况：

（1）车辆随机到达，形成一个等待上船的车列。

（2）来到渡口的车辆中，轿车占 40 ％，卡车占 55 ％，摩托车占 5 ％

（3）轿车车身长为 3.5 ～ 5.5 米，卡车车身长为 8 ～ 10 米。

这是一个遵循“先到先服务”的随机排队问题，涉及到排队论的基本知识。这里试着用一个模拟模型解决船主的问题，主要是给出解决问题的思路。

【设计任务】请考虑以下问题：

• 应该怎样安排摩托车？

• 怎样描述了一辆车的车身长度？

• 到达的车要加入甲板上两列车队的哪一列中去？

• 如何考虑“安全”问题？

请就以上问题建立数学模型，最终保证安全，并运用计算机进行模拟车辆到达、安排停车过程。

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题目30： 超市收费系统

• 目的与意义；

• 练习模拟模型的建立过程；

• 进一步熟悉模拟算法的设计、编程问题。

• 要求；

• 熟练应用 Matlab的随机变量的模拟函数；

• 加强离散系统模拟算法的分析和设计训练；

• 提高 Matlab的编程应用技能。

一小超级市场有 4 个付款柜，每个柜台为一位顾客计算货款数的时间与顾客所购商品件数成正比（大约每件费时1s），20%的顾客用支票或信用卡支付，这需要1.5min，付款则仅需0.5min 。有人倡议设一个快速服务台专为购买8个或8个以下商品的顾客服务，指定另外两个为“现金支付柜”。

请你建立一个模拟模型，用于比较现有系统和倡议的系统的运转。假设顾客到达平均间隔时间是 0.5min ，顾客购买商品件数按如下频率表分布。 件数

9~19 20~29 30~39 40~49

相对频率 0.12 0.10 0.18 0.28 0.20 0.12

【设计任务】

根据题目要求建立模型并求解。

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