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2009 级物理学电动力学课程论文电磁场的普遍理论用奚修阳1(学号:200901071572 物理与电气信息工程学院 09 级物本班)摘要:本文旨在对电磁场的普遍理论及静电磁场作一个总结,并加以提炼。其中部分证明和求解是我自己所作。关键词:库仑定律,毕奥-萨伐尔定律,麦克斯韦方程组。作者简介:奚修阳(1990),男,黑龙江牡丹江人,就读于大庆师范学院物理与电气信息工程学院 09物本班,研究方向教学物理。中图分类号: 文献编识码: 文章编号: 收稿日期:在牛顿的经典力学中,质点间的相互作用是通过势能来描述的,这意味着认为相互作用力传递是超距的,其基础是伽利略变换。但是在电磁理论中,假想空间某处有一电荷,与它相距很远处有另一电荷,两电荷间存在相互作用。设想这边的电荷有一个微小的扰动,远处的电荷会过一段时间后才产生扰动,这说明相互作用是具有一定的速度传播的,并且这个速度有限,这与牛顿的超距作用观点是不相容的。所以引入场来描述相互作用,这是为了克服超距作用。既然现在认为相互作用是以有限速度传递的,那么自然界应该存在一个速度量值 V,它应是所有相互作用速度的上限,而且 V 不依赖于参考系的选取(若 V 依赖于参考系的选取,那么在某一固定参考系中,V 会是无穷大)。这个 V 称为最大相互作用速度,它是一个普适常数。后面将会证明,这个最大相互作用速度就是真空中的光速 c。如果我们承认最大相互作用速度的存在,那么经典力学就是物体的宏观速度远小于 V(低速运动)时的一个近似理论。由于速度远小于 V,经典力学已经是十分的准确了。因此,在经典力学中,可以将 V设为无穷大,并允许引入势能的概念,实际上并不影响结果的准确性。在静电学和静磁学的基本公式,库仑定律与毕奥-萨伐尔定律中出现两个常数 0 , 0 ,这两个常数的组合00 1具有速度的量纲,而且这个值是8 m2.99776 10s,这与真空中的光速一致。在静场中测出的常数经过组合会得到光速,这绝不是一种巧合。真空中电磁场的齐次波动方程:2009 级物理学电动力学课程论文2 20 0 2 22 0 0 2tt 由波动方程的结构可知:00 1确实是一个真实物质的速度,即电磁波在真空中的传播速度,因为波动方程的导出是没有取定哪个参考系的,而且两个常数的组合也未取定哪个参考系,也就是说,在任何参考系中速度都是00 1,所以它是一个普适常数,并且应该是上面提到的最大相互作用速度 V,这就证明了光速 c 就是最大相互作用速度。电动力学的核心是麦克斯韦方程组,它描述了宏观电磁场的一切性质,我们一切从方程出发,普遍情形下的麦克斯韦方程组: ………………………..(1) …………………………(2)t ……………………….(3)tJ …………………(4)方程组中实际暗含了电流连续性方程:Jt对(4)式取散度:Jt ,将(1)式代入即可得到连续性方程。这说明麦克斯韦方程组与电磁学基本定律中的电荷守恒定律是一致的,所以它在理论上是自洽的。关于方程组的完备性,由于为矢量,故有 6 个未知函数,而方程实际上有 8 个,但它们之间并不独立,而是通过连续性方程为纽带相联系。独立的方程有 6 个。由微分方程的理论知,6 个未知函数,6 个独立函数,原则上可以将 6 个未知函数解出,所以方程组描述电磁场是完备的。关于位移电流假说:麦克斯韦方程组是将前人的电磁场研究成果加以提炼并推广到时2009 级物理学电动力学课程论文变电磁场的结晶。其中安培定理:J ,这对于静磁场是成立的,但若推广到时变磁场,两边取旋度:J ,由于 ,而Jt 不一定为 0。这里产生了矛盾,必须对安培定律作修改,由方程(1),并考虑到连续性方程,可令:Jt ,这样两边取散度才恒为 0,由于 t具有电流密度的量纲,故麦克斯韦称其为位移电流密度矢量。位移电流的引入实际上是为了使方程组在数学上自洽,并且不与电磁学基本定律相矛盾,其正确与否只能靠实验来检验。这也说明电磁理论的基石是电荷守恒定律,一切理论都应以它为前提。洛仑兹力密度:f v ,其中是电荷体密度。洛仑兹力是电动力学的一个基本公式,不可由其它更基本的公式导出,其正确性只能靠实验检验。边界条件:由于麦克斯韦方程组是偏微分方程组,故求解需要有边界条件与初始条件,构成边初值问题求解,现在讨论边界条件。麦克斯韦方程组的积分形式:vds dv ds l sdl dts sdl J dst 由此再利用微元分析法即可导出边界条件:1n 2n 0 1n 2n1t 2t1t 2t 0D DJ 其中 n 为介质 1,2 的分界面的法向,方向由 1 指向 2, 0为分界面上自由电荷面密度。2009 级物理学电动力学课程论文0J 是自由面电流密度.其它形式的麦克斯韦方程组:介质中的方程组由于介质中存在极化与磁化过程,这使得普遍情形下的麦克斯韦方程组中的 J, 包含了电极化电流,磁化电流和极化电荷,由普通物理电磁学可知;PJt, J , ,代入方程组: t Jt t 引入电位移矢量及磁场强度矢量: PED 0 MBH0则有:0 0DDtJt 由于实验中自由电荷密度与自由传导电流密度容易测出,所以在介质中以上方程组较为方便。对于各向同行的线性介质,例如稀薄气体, 0P 则有 D ,其中 0 0 m ,这种情况下求解方程组最为简单。其它介质,如非线性介质,D 与 E,B 与 H 间的关系非常复杂,这里就不一一赘述了。2009 级物理学电动力学课程论文若有磁单极存在时的麦克斯韦方程组;前面讨论的电磁场运动方程都是以不存在磁单极为前提的,但是磁单极一直是物理学家们探索的问题,早在 1931 年,英国理论物理学家狄拉克就预言了磁单极的存在,但是至今实验上还未发现磁单极子。我们现在假设磁单极存在,来看看应如何修正原来的方程组。与电荷类似,有磁荷密度 m ,磁流密度 mJ,且有连续性方程:mmJt 那么磁场的高斯定理应修改为: 0 m ,类似位移电流的引入,对方程(3)两边取旋度并考虑到连续性方程,令:0 mJt 数学上可以自洽。所以在假设磁单极存在的前提下,麦克斯韦方程组修改如下:0 0 m0 m0 0 0 mJtJt 这样方程组就完全对称了。由于至今实验上还未发现磁单极子,我们还是回归到不存在磁单极的前提下继续讨论问题。前面详细探讨了麦克斯韦方程组是如何描述电磁场的,但始终未出现仅含有场量, 的方程,这样不利于具体求解,下面将导出, 满足的微分方程。对方程(2)两边取旋度:t 利用方程(1)及公式2 得:21t ………(5)2009 级物理学电动力学课程论文对方程(4)求时间的偏导数:2 2Jt t t 代入(5)式中可得电场的的波动方程,类似也可得到磁场的波动方程:2 22 22

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