工程结构拓扑优化的理论研究及应用

发布时间：2016-11-25 15:58

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提 要

本文首先介绍了国内外拓扑优化技术的研究发展现状，讨论了拓扑优化的

原理、方法以及各种拓扑优化算法。其次，着重研究了 SIMP 材料插值方法，

建立了基于 SIMP 理论的连续体结构拓扑优化模型，选取准则优化法对其密

度迭代格式进行了推导；并且利用 MATLAB软件编程实现，有效地进行了平

面结构的分析和拓扑优化设计。然后，分析了拓扑优化中的数值计算不稳定性

现象，研究了能够有效消除拓扑优化中的数值计算不稳定性现象的各种解决方

法，并对其进行了比较。最后，利用连续体结构拓扑优化求解理论和算法，使

用结构有限元分析软件 Hyperworks 对具体工程结构部件进行了拓扑优化设计

研究，成功地应用到了实际工程问题中，算例结果表明了该优化方法的有效性

和正确性。

关键词： 有限元 拓扑优化 材料插值模型 数值计算不稳定性 优化

求解算法

Key words: FEA Topology optimization Material Interpolation

Model Numerical Calculation Instabilities Optimization Solution Algorithm-i-

目 录

第一章 绪 论 ................................................... 1

1.1 前言........................................................1

1.2 国内外拓扑优化研究概况......................................3

1.3 本文研究内容及意义..........................................9

第二章 现代结构拓扑优化理论 ................................... 11

2.1 拓扑的概念.................................................11

2.1.1 拓扑学的由来 ...........................................11

2.1.2 拓扑学及拓扑性质 .......................................13

2.2 结构拓扑优化原理和方法.....................................16

2.2.1 拓扑优化的基本原理 .....................................17

2.2.2 结构拓扑优化设计方法 ...................................17

2.2.3 拓扑优化设计方法比较 ...................................21

2.3 拓扑优化设计的优化算法概述.................................22

2.3.1 优化算法分类 ...........................................22

2.3.2 拓扑优化常用算法 .......................................24

第三章 连续体结构拓扑优化的模型建立与求解算法 ................. 27

3.1 连续体结构拓扑优化设计的模型描述...........................29

3.2 数学模型的有限元离散 .......................................34

3.2.1 单元应变和应力 .........................................34吉林大学硕士研究生学位论文

-ii-

3.2.2 单元平衡方程 ...........................................35

3.2.3 连续体结构拓扑优化的数学模型的有限元离散形式 ...........38

3.3 基于 SIMP 理论的优化准则法..................................39

第四章 结构拓扑优化程序实现 ................................... 45

4.1 基于 SIMP 理论的优化准则法迭代分析流程......................45

4.2 优化过程的 MATLAB 编程实现..................................47

4.3 计算实例...................................................48

4.3.1 单一工况简支梁算例 .....................................48

4.3.2 单一工况悬臂梁算例 .....................................49

4.3.3 多工况简支梁算例 .......................................50

第五章 连续体结构拓扑优化中数值不稳定问题的研究................ 51

5.1 多孔材料问题...............................................52

5.2 棋盘格式问题...............................................52

5.2.1 棋盘格现象 .............................................52

5.2.2 棋盘格式产生的原因 .....................................53

5.2.3 棋盘格解决方法 .........................................53

5.3 网格依赖性问题.............................................56

5.3.1 网格依赖性现象 .........................................56

5.3.2 网格依赖性问题产生的原因 ...............................57

5.3.3 网格依赖性解决方法 .....................................57

5.4 局部极值问题...............................................59

5.5 克服数值不稳定现象几种主要方法的比较.......................60目 录

-iii-

第六章 拓扑优化技术的应用 ..................................... 61

6.1 拓扑优化分析软件介绍 .......................................61

6.2 拓扑优化技术的应用举例.....................................65

6.3 拓扑优化技术应用算例.......................................67

6.3.1 算例一 某型轿车车门内板的拓扑优化 .....................67

6.3.2 算例二 某型轿车控制臂的拓扑优化 .......................71

第七章 全文总结与展望 ......................................... 75

7.1 全文总结...................................................75

7.2 研究展望...................................................76

参考文献....................................................... 77

摘 要.......................................................... I

Abstract........................................................ I

致 谢.......................................................... I-1-

第一章 绪 论

1.1 前言

近年来，随着计算机技术和数值方法的快速发展，工程中许多大型复杂结

构问题都可以采用离散化的数值计算方法并借助计算机得到解决。有限元法已

经成为结构分析的一个重要的数值计算方法，这一理论的基本思想诞生于20

世纪中叶，经过60多年的不断发展和完善，理论已经日趋完善，而且已经开发

出一批通用和专用有限元分析软件。使用这些软件已经成功解决了航空航天、

核工业、铁路运输业、石油化工、机械制造、能源、汽车、电子、土木工程、

造船、生物医学、轻工、地矿、水利等大型科学和工程计算难题。有限元法已

经为各领域中产品设计、科学研究做出了很大贡献，并且取得了巨大的经济和

社会效益。

众所周知，机械结构和零部件的优化设计是为了设计出重量轻，刚强度好，

可靠性强的理想结构。集计算力学、数学规划、计算机科学以及其它工程学科

于一体的结构优化设计是现代结构设计领域的重要研究方向。它为人们长期所

追求最优的工程结构设计尤其是新型结构设计提供了先进的工具，成为近代设

计方法的重要内容之一。

结构设计一般分为：结构强度设计、结构刚度设计、结构稳定性设计、结

构可靠性设计和结构优化设计。前四种设计是基于结构的使用安全性考虑，其

结构设计思路是根据已有的基本理论和工程设计人员的设计经验设计出产品

的初始结构，然后进行强度分析，如果不符合要求，再重新设计，重新分析，

直到满足用户的要求。而结构优化设计是让设计的结构利用材料更经济、受力

分布更合理。

结构优化通常分为截面（尺寸）优化、形状优化、拓扑优化和结构类型优吉林大学硕士研究生学位论文

-2-

化[1]。优化技术包括传统的参数设计优化（Design Optimization）、基于产

品几何形状的拓扑优化（Topological Optimization）、多目标优化设计

（DesignXplorer）等。目前尺寸优化和形状优化技术已经比较成熟，但是在

结构布局已定的情况下，工程师对设计的修改程度有限，优化设计所能产生的

效果有限。结构拓扑优化又称为结构布局优化，它是一种根据约束、载荷及优

化目标而寻求结构材料最佳分配的优化方法。这个新兴的结构力学的分支不仅

能够解决结构优化中较难的一些问题，而且又有相当大的实际应用价值。运用

拓扑优化，在一定的设计域内通过反复地消除和重新分布结构材料，能够确定

结构材料的最佳排列方式。而这个设计域，是一个只需给出最外边界的粗糙的

模型，不需要初始给定有序结构。从宏观角度看，拓扑优化涉及到的不仅是结

构的截面、几何形状，还包括它的拓扑模型构成，即其构件的空间连接方式。

结构拓扑优化可以大大改善结构的性能或在保持原刚度不变的情况下减

轻结构的重量，从节能环保角度带来直接的经济效益。由于该方法能在工程结

构设计的初始阶段为设计者提供一个概念设计，使结构在布局上采用最优方

案，所以与尺寸优化和形状优化相比能取得更大的经济效益，也更易被工程技

术人员所接受。结构拓扑优化设计把传统结构设计理念向前推动了一大步，是

结构设计的一个新的里程碑，是目前工程设计人员必须学习和研究的一个方

向。近年来，结构拓扑优化设计技术越来越受到人们的重视，已成为国内外研

究的一个热点。研究拓扑结构优化设计方法，既有理论价值，又有现实意义。

骨是脊椎动物身体的重要组成部分。不论是从形态学的观点还是从力学的

观点来看，骨都是非常复杂的。但是这种复杂性是由其功能适应性所决定的。

所谓骨的功能适应性，是指对所担负工作的适应能力。决定骨功能适应性的因

素有：轴线形状，截面形状，材料沿各方向的分布规律和内部构造情况等。骨

是最理想的等强度优化结构。它不仅在某些不变的外力环境下能显示出其承力

的优越性，而且在外力环境发生变化时，能通过内部调整，以有力的新结构形第一章 绪 论 -3-

式来适应新的外力环境。

拓扑优化的应用领域能否进一步扩展，应用于类似骨这种具有功能适应性

的生物结构呢？事实上，人类对于骨的研究是沿着另一条轨道进行的。学者们

的工作很好地描述了骨的内部最优结构形态，如 Weinans 等[2]。然而，我们

可以设想，为什么骨长成不同的外形呢？这是对力学环境的适应，或者说是重

要的、大方向性的适应。如骨干，横截面近似椭圆形，适应各方向受弯，而长

轴则是弯矩最大的方向。再以椎体为例，我们知道，就外形而言，老年期椎体

比年轻期的有更明显的向内凹的腰鼓形；就内部组织结构而言，老年期小梁骨

更细，分布更疏松。椎体是主要承力骨，力学因素是决定其结构形态的主要因

素。椎体在从年轻期到老年期的生长过程中，由于总体力学环境逐渐地发生明

显的变化，从而使其外部几何形状和内部组织结构二者都发生变化，仍以最优

的结构形态去适应新的力学环境。

需要指出的是，骨的这种“最优的结构形态”，应该是即包括最优的内部

组织结构，又包括最优的外部几何形状。研究者们通过定量的骨再造理论与有

限元分析相结合，已经能够十分成功地模拟出在研究部位的确定的真实的骨结

构外形下的最优的内部组织结构。引入拓扑优化思想，通过定量的骨再造理论

与有限元分析相结合，模拟预测出骨结构最优的外部几何形状,在这方面宫赫

等[3]已做了一定的研究。

本文主要是对结构拓扑优化的基本理论,各种优化方法,优化算法,数值问

题等进行研究总结,并加以工程实际应用,以期更深入地运用到生物结构的分

析中来。

1.2 国内外拓扑优化研究概况

目前结构的尺寸优化和形状优化理论已经发展的相当成熟，并且在生产实

践中得到广泛应用。随着结构优化理论的进一步发展，结构拓扑优化作为一种吉林大学硕士研究生学位论文

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更高层次的结构优化设计方法被认为是结构优化领域中更为复杂、困难和更具

挑战性的课题[4]。

拓扑优化按研究的结构对象可分为离散体结构拓扑优化（如桁架、刚架、

加强筋板、膜等骨架结构及它们的组合）和连续体结构拓扑优化（如二维板壳、 三维实体）两大类。

实际上离散结构拓扑优化的历史可以追溯到 1904 年由 Michell 提出的

Michell 桁架理论[5]，由于数学上的复杂性，Michell 桁架理论只能解决一

些承受简单载荷和简单支撑情况的问题，并依赖于选择适当的应变场。后来虽

有许多研究者对这一理论进行了完善和发展，但是这些研究都属于经典布局理

论优化范畴。为了克服经典布局理论在实践应用中的困难，陆续提出了一些优

化方法，其中最有代表性的是 Dorm、Gomor 和 Greenberg（1964）等提出的

基结构法（Ground structure approach）[6]，该方法只考虑单工况和应力约

束，不考虑位移约束和协调条件，以内力作为设计变量，从而导出了一个线性

规划问题，杆截面由满应力法求得，将截面面积为0的杆件从基结构中删除以

求得结构的最优化拓扑。后来 Dobbs 和 Felton[7]对这一方法进行了推广，

将设计变量指定为杆截面，考虑多工况和应力位移约束，求解这个非线性问题。 20世纪60年代初 Schmit 将结构优化问题表述为数学规划问题，并采用数学规 划算法求解，成为结构优化领域的一个重要里程碑[8]。段宝岩和叶尚辉[9]

也以内力为设计变量，考虑两工况和内力位移约束，通过变量代换建立线型规

划问题，以求得桁架结构的最优化拓扑。最近 Grierson 和 Pak、许素强和夏

人伟[10]、Ohsaki 将遗传算法引进桁架。陈建军，曹一波等[11]把可靠性理

论应用到桁架拓扑优化设计中，并且取得了比较好的效果。

包括桁架结构优化在内的离散结构拓扑优化已比较成熟，国内外已有很多

深入的研究和文献[12-17]。连续体结构拓扑优化理论是结构优化领域研究的

难点和热点问题，近年来也得到了较快发展[18-23]。第一章 绪 论

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本文编号：192328