容度极限理论和非线性数学期望在金融中的应用

发布时间：2020-08-04 19:26

【摘要】：Kolmogorov在1933年利用Lebesgue测度和Lebesgue积分语言建立了概率论完整的公理化体系,使得概率论成为研究随机性或不确定性现象的重要理论工具,但由于概率测度和线性期望自身的可加性并不能很好的解释现实中许多的不确定(模糊)现象(例如效用理论中的Allais和Ellsberg悖论)Choquet1954年提出非可加测度理论-Choquet容度和Choquet积分,自此之后,Choquet容度有了较大的发展,例如Huber和Strassen (1973), Walley和Fine (1982), Schmeidler(1989), Denneberg(1994), Maccheroni和Marinacci(2005), Chen(2010)等人的工作Peng在2006年从全新的角度建立了非线性期望理论体系,该理论并不从经典的概率空间出发,而直接从非线性期望空间出发定义了随机变量的独立性,借助PDE证明了非线性期望的理论基础(次线性期望下的中心极限定理),提出了G-布朗运动和G-It6随机积分理论.由次线性期望的表示定理可知,一个次线性期望可以诱导出一个相伴的容度.受到柯尔莫哥洛夫, Choquet, Peng和Chen等人工作的启发,本论文主要研究容度下的极限理论,G-布朗运动的轨道性质和G-Ito积分及其在金融中应用等问题,获得了容度下的大数定律和中心极限定理,次线性期望下加权和的中心极限定理,利用热方程证明了一个Berry-Esseen定理,给出了次线性期望下离散鞅的一些性质和G-布朗运动的增量刻画,证明了由G-布朗运动驱动的G-SDE和G-BSDE在一定条件下的平稳性和渐近指数平稳性定理,同时也证明了G-布朗运动驱动的G-耦合正倒向随机微分方程解的存在唯一性定理.最后讨论了G-期望下的最优控制问题和G-布朗运动在最优消费和投资组合中的应用,获得了波动率不确定性下的最优消费和投资策略以及共同基金定理.具体来说,本论文包括五章的内容,它们的主要结果概括如下：在第一章中,我们主要考虑次线性期望下的加权和中心极限定理,次线性期望和线性期望下的Berry-Esseen定理,容度下的中心极限定理和弱大数定理.在§1.1节中,受到Peng [79], Li和Shi[63]的工作的启发,我们得到了次线性期望下独立不同分布随机变量加权和的中心极限定理,同时也获得了次线性期望下独立不同分布随机变量的弱大数定律,见定理1.1.8和推论1.1.12.利用上面的证明思想,我们也获得了次线性期望下的Berry-Esseen定理,见定理1.1.14.在§1.2节中,利用热方程和泰勒展开式证明了线性期望下的一个Berry-Esseen定理,见定理1.2.2. 在§1.3节中,证明了由次线性期望诱导的容度下的中心极限定理：假设{Xi}i∞=1是E下i.i.d.的随机变量序列,满足E[X1]=E[-X1]=0.那么以及其中y分别是是V(y)和v(y)的连续点. 在§1.4节中,首先建立了一个具有模糊性的坛子模型,通过它引入了容度(Vv)以及最大-最小期望(E,E).在此模型的基础上,证明了对于模糊性坛子模型中的随机变量{Xi}1≤i≤n。以及任意的y∈R,有以及接着,把模糊性坛子模型扩展到了更一般的情形,见定理1.4.12. 在第二章中,我们介绍了随机变量在次线性期望￡下正交的概念,获得了一些关于SL-下鞅的相关结果,证明了许多关于SL-下鞅的不等式.一个典型的结果就是Doob不等式(定理2.2.10). Peng[77]在2006年引入了G-布朗运动和相关的平方变差过程,并获得了一些相关的重要性质.在第三章中,我们主要讨论多维G-布朗运动相互变差过程的许多有趣估计和性质,同时获得了多维G-布朗运动的Kunita-Watanabe不等式(定理3.1.20)和Tanaka公式(定理3.1.23). 受到Csorgo和Revesz [24]思想的启发,在§3.2中,我们考虑G-布朗运动的轨道性质,给出了许多有用的推论,推广了经典情形下的相关结果.简要来说,假设(Bt)t≥0是满足E[B12]=σ2,-E[-B12]=σ-2的一维G-布朗运动.若aT(T≥0)是T的非减函数并满足(i)0aT≤T,(ii)aT/T是非减的,且(iii)T→∞lim aT/T0或者aT三c(0c≤T),那么在第四章中,我们证明了在可积-Lipschitz条件下由G-布朗运动驱动的随机微分方程和倒向随机微分方程的平稳性,见定理4.1.5和定理4.1.13.受到Antonelli [4]证明方法的启发,在一定条件下,证明了以下G-耦合正倒向随机微分方程的存在唯一性：其中初值x∈R,终端值ξ∈LG2(HT；R),以及b, h, σ, g是给定的函数且满足对任意的(x,y)∈R2, b(·,x,y),h(·,x,y), σ(·,x, y), f(·,x, y), g(·,x,y)∈MG2([0,T];R)以及Lipschitz条件. 在§4.2中,我们考虑G-SDE的指数平稳性.首先,给定一个指数平稳的随机线性系统其中初始条件X0∈LG2(Hto；Rn),X=(X1,…,Xn)T,A是一个n×n的常数矩阵.假设该系统受到G-布朗运动的干扰,受到干扰后的系统为其中Bt是d维的G-布朗运动,以及σ：R+×Rn×Q→Rn×d满足解的存在唯一性条件,它的解记为X(t,to,Xo),若存在正的常数C和α,使得对所有的x∈Rn以及足够大的t,‖σ(t,x)‖2≤Ce-2‖A‖tq.s.,以及那么对所有的to≥0以及Xo∈LG2(Hto；Rn)同时也考虑了更一般的形式,见定理4.2.4. 在§4.3中,我们主要考虑G-期望下的最优控制问题,获得了相应的动态规划原理：对于任意的δ∈[O,T-t],有证明了值函数u(t,x)是以下一类全新的非线性二阶偏微分方程的粘性解：其中对于更复杂的情形,见定理4.3.14. Merton [72]考虑了在线性期望下波动率为常数的的最优投资组合问题,在第五章中,我们建立在G-期望框架下波动率具有不定性的最优投资组合模型,获得了最优的投资和消费规则的表达式,见定理5.2.2,同时也获得了在波动率不确定性下的共同基金定理,见定理5.3.1.为了表明最优的投资组合依赖于标的资产的最大和最小波动率,在§5.4中,我们仅考虑两种资产(股票和债券)并假设效用函数是一类特殊的效用函数,得到最优投资组合的显示表达式.
【学位授予单位】：山东大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2012
【分类号】：F224;F830

【引证文献】