部分信息下正倒向随机系统的微分博弈问题及金融中的应用

发布时间：2020-11-13 05:15

　　 本篇论文主要研究了部分信息下由正倒向随机微分方程驱动的随机微分博弈问题,及其相关理论在金融中的应用。全文共分为六章。在控制系统中,决策者需要根据已掌握的信息进行决策。大部分情况下,决策者无法获取完全真实的状态方程,观测到全部的信息。因此,他们只能基于所掌握的部分信息或由观测方程得到的信息进行决策,并对状态方程的真实形式进行估计,得到滤波方程。同时,在经典的控制系统中,往往只考虑单一控制与单一目标的问题。然而实际中,存在如囚徒困境等多决策者多目标的博弈情形。在制定策略时,决策者需要考虑他人的策略,使自身的代价泛函达到最优。问题变为寻找博弈的“Nash均衡点”,而不再是“最优控制”。单一参与者的最优控制问题也可认为是多参与者博弈问题的特殊情况。而随机微分博弈问题,即以动态的随机微分方程刻画状态方程,构建博弈系统,针对相应的Nash均衡点进行研究。在第一章中,我们对本论文涉及的研究背景进行介绍,并阐述每章工作的主要贡献。第二章中,研究了部分可观测情形下由正倒向随机微分方程驱动的微分博弈问题。其中,正向随机微分方程的扩散项系数包含控制变量,控制域为凸集。我们考虑博弈参与者无法完全观测到真实的状态过程,仅能通过各自的观测方程进行决策。同时,考虑观测方程与状态方程之间存在相关噪声,且观测方程中显式含有控制变量。利用凸变分技术,我们引入了相应的伴随方程,得到Nash均衡点满足的最大值原理(必要性条件)及验证定理(充分性条件)。第三章中,在随机线性二次系统下,研究了部分可观测情形下的微分博弈问题。其中,状态方程由正倒向的随机微分方程驱动,正向方程中扩散项系数不含控制变量且控制域不要求为凸集。我们假设博弈参与者无法完全观测到真实的状态过程,仅能根据观测过程产生的信息流进行决策。我们应用倒向分离技术克服了博弈参与者控制过程适应于受控信息流的循环依赖关系。应用针状变分方法,得到了该问题Nash均衡点满足的必要性条件与充分性条件。同时,利用随机滤波公式,得到了状态的滤波方程,并给出了均衡点的状态反馈表达形式与Riccati方程。作为理论应用,我们引入g-期望作为凸风险测度的度量,研究了一类风险最小化的投资问题,并对结果进行了数值模拟与分析。第四章中,针对含有延迟与超前延迟的正倒向随机微分方程,研究了部分信息下的微分博弈问题。同时,考虑博弈参与者只能基于不完全的信息流进行决策。我们利用凸变分技术建立了该模型下Nash均衡点满足的最大值原理与验证定理。进一步,针对含有延迟与超前延迟项的线性二次系统,得到了 Nash均衡点的显式表达式并证明了 Nash均衡点的存在唯一性。同时,我们利用随机滤波公式得到了相应的状态滤波方程。最后,作为理论应用,我们研究了一类带延迟的风险最小化消费问题,给出了显式的Nash均衡策略。第五章中,研究了具有时间不一致性的部分可观测随机线性二次控制系统。其中,状态方程为由布朗运动和泊松跳过程共同驱动的正向随机微分方程。不同于经典形式的代价泛函,我们考虑其中包含有初始状态依赖项与状态条件期望的非线性项(平方项)。该类效用形式会导致动态系统产生时间不一致性,使得经典的Bellman最优性原理不再满足,无法应用动态规划方法进一步求解。针对每个时间点偏好的不同,我们由博弈的思想给出该类问题均衡控制的定义。进一步,在完全信息下,我们给出随机系数模型均衡控制的显式表达式。而后,在确定性系数情形下给出均衡控制满足的反馈表达式与Riccati方程。最后,我们针对部分可观测系统,在特殊情形下给出了状态滤波方程,并对均衡控制满足的反馈表达式进行了验证。第六章中,结合金融模型,研究了一类具有模型不确定性的鲁棒最优消费与投资组合问题。我们考虑投资者为模糊厌恶的(Ambiguity averse),即投资者由于无法获知模型的准确分布而产生的厌恶的怀疑态度。模糊厌恶的投资者认为由现有数据产生的模型仅为“参考模型”并不准确,而其他的模型可能会更好。因此,投资者希望找到某种具有鲁棒性(稳健性)的最优投资与消费策略,使得即使在模型最差的情况下,依然可以保证投资的稳健性。在模型的假设中,我们考虑资产过程为具有随机波动率的跳扩散过程,且投资者对于扩散风险与跳风险分别有不同的模糊厌恶程度。这里,假设投资者具有Duffie-Epstein-Zin递归效用,该递归效用在连续时间下将风险厌恶系数与消费的跨期替代弹性相分离,适用更为广泛。我们考虑市场中的投资者不仅可以进行股票与无风险债券的交易,同时可以进行衍生品交易。由于资产过程会受到多种风险因素的影响,衍生产品的引入可以使得市场完备化。我们分别针对完全市场与不完全市场中(不进行衍生品交易)的模型进行研究,并在投资者的消费跨期替代弹性为1时,得到模型精确的解析解;消费跨期替代弹性不为1时,得到模型解析解的估计形式。由数值计算,我们发现在完全市场中,扩散风险与跳风险对应的最优风险暴露会显著受到各自对应的模糊厌恶程度的影响。在不完全市场中,扩散风险的模糊厌恶程度相比跳风险的模糊厌恶程度对最优投资策略的影响更为显著。更重要地,通过效用损失的分析,我们发现考虑模型中扩散风险的模糊厌恶性与参与衍生品交易,对于减少财富损失至关重要。
【学位单位】：山东大学
【学位级别】：博士
【学位年份】：2018
【中图分类】：F224.32
【部分图文】：

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２?３?４?５?６?７?８?９?１０?２?３?４?５?６?７?８?９?１０??图６．１：完全市场与不完全市场下最优风险暴露与风险厌恶参数７的关系（给定０＝?１．５??且也ｖ?＝?２）。图（ａ）：蓝色实线代表冇；红色虚线代表圬；黄色点虚线代表砟。图（ｂ）：??蓝色实线代表升ｉＣ。??由图６．１?（ａ）可以看出，风险因子你／，访７与句的最优风险暴露竓的与圬的??绝对值随着风险厌恶参数１的递増而下降。这种保守的行为可理解为风险厌恶的投资??者更倾向于承担更少的风险，使得投资更加保守。同样，由图６．１?（ｂ）可看出，最优股票??投资中ｅ也随７的递増而减小。??接下来，我们分别在完全市场与不完全市场下，对模糊厌恶参数对最优风险暴露的??影响进行研宄与分析。??（ａ）?Ｃｏｍｐｌｅｔｅ?ｍａｒｋｅｔ，?（ｊ）?（ｂ）?Ｃｏｍｐｌｅｔｅ?ｍａｒｋｅｔ
【参考文献】

相关期刊论文 前5条

1 ;A Type of General Forward-Backward Stochastic Differential Equations and Applications[J];Chinese Annals of Mathematics(Series B);2011年02期

2 ;A maximum principle for partially observed optimal control of forward-backward stochastic control systems[J];Science China(Information Sciences);2010年11期

3 ;MAXIMUM PRINCIPLE FOR FORWARD-BACKWARD STOCHASTIC CONTROL SYSTEM WITH RANDOM JUMPS AND APPLICATIONS TO FINANCE[J];Journal of Systems Science & Complexity;2010年02期

4 吴臻,于志勇;LINEAR QUADRATIC NONZERO-SUM DIFFERENTIAL GAMES WITH RANDOM JUMPS[J];Applied Mathematics and Mechanics(English Edition);2005年08期

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本文编号：2881784