计量经济模型中参数线性约束条件的检验方法

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总第 &’( 期

商业研究

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计量经济模型中参数线性约束 条件的检验方法
李均立
（华南热带农业大学 教务处，海南 儋州 )+!+*+）

摘要：在经济分析与研究中，计量经济模型越来越受到重视和普及。但在实际建模中要全面进行计量 经济模型的检验是有一定难度的，需要考察模型的参数是否满足某种先验假设，即约束条件。运用参 数线性约束 , 检验、沃尔德检验和 - 检验三种方法，通过建立生产函数模 型， 对 我 国 粮 食 产 量 与 生 产 劳动力和化肥适用量进行了检验说明。 关键词：计量经济模型；参数线性约束条件；检验 中图分类号： ,’’$ . " 文献标识码： /

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收稿日期： ’"") # !! # !" 作者简介：李均立 （!N() # ） ，男，副教授。研究方向：应用数学、计量经济学。

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参考文献： ［!］ 查尔斯?O ?金德尔伯格 . 经济发展 P］ 上 海： ［ 上 . 海译文出版社， !N%( . ［’］ 加 C 保罗?毕 密 斯 . 发 展 中 国 家 的 跨 国 合 资 企 业 东南大学出版社， ［ P］ 南京： . !NN! . ［*］ 约瑟夫?熊彼特 . 经济分析史 P］ 北 京： 务 印 ［ 商 . 书馆， !NN’ . ［$］ 巴罗和萨拉伊马丁 . 经 济 增 长 P］ 中 译 本） ［ （ 北 . 京： 中国社会科学出版社， ’""" . ［)］ 桑百 川 . 外 商 直 接 投 资 下 的 制 度 变 迁 P］ 北 ［ . 京： 对外经济贸易大学出版社， ’""" . ［(］ /A:<74，P>4386 Q C >4@ P>J8= Q79>=@:（’"""） ,:=5 ： 87A4 14E8<-;84- 74 R8E86:G74A M:34-=78< C R:8< 7M=:B@ 74 R:;8<-79 14E8<-;84-？STMK/R U:=H74A O>5 G8=， C !$( C T: ［+］ /=7 V:HH:，>4@ W-8E84 X6:I8=;>4（ ’""! ） K?8 @85 ： -8=;74>4-< :F ?:<- 9:34-=J <G766:E8=< F=:; F:=87A4 @7=8974E8<-;84-：> =8E78B >4@ <J4-?8<7< :F -?8 67-8=>-3=8， 74 ， T7A86 O>74，Y@7-:=（’""’） GG C *$ # () . ［%］ /68Z>4@8= 08?;>44 ’""! ） ,:=87A4 R7=89- 14E8<-;84（ ： 4>497>6 [3648=>I767-78<，1P, UO， C $+ C 4: ［N］ \8=-?868;J 2 C M C >4@ R8;3=A8=（ ’""’ ） ,:=87A4 R75 ： =89- 14E8<-;84- >4@ Y9:4:;79 X=:B-?： K?8:=J >4@ /GG679>-7:4 -: M?74>， Q8E78B :F R8E86:G;84- Y9:5 （ ， 4:;79，$ ’） GG!$" # !)) C ［!"］ \6:;<-=:; P C >4@ O8=<<:4 D C（ !N%* ）：,:=87A4 R75 =89- 14E8<-;84- >4@ WG766:E8= YFF797849J 74 >4 S4@8=5 @8E86:G8@ Y9:4:;J：YE7@8498 F=:; P8Z79>4 P>43F>95 -3=74A 14@3<-=J，U:=6@ R8E86:G;84-，[:6 C !! ，GG C $N* # )"! C ［!!］ M>E8< Q C Y C（ !N+$ ）：P36-74>-7:4>6 F7=;<，9:;G8-75 -7:4 >4@ O=:@39-7E7-J 74 D:<- # M:34-=J P>=H8-<，Y9:5 4:;79 [:6 C $! C GG!+( # !N* C ［ !’］ R8 P866:，037L Q C 2= C（!NN+） ,:=87A4 R7=89- 14E8<-5 ： ;84- 74 R8E86:G74A M:34-=78< >4@ X=:B-?，/ W8689-7E8 W3=E8J， K?8 2:3=4>6 :F R8E86:G;84- W-3@78<， [:6 C *$ ，T: C ! ，]9-:I8=，GG C ! # *$ C ［ !* ］ 1P,（ ’""’ ） ,:=87A4 R7=89- 14E8<-;84- 74 M?74>： ： U?>- R: U8 T88@ -: V4:B？K=>4<9=7G- :F >4 Y9:4:;5 79 C （责任编辑： 石树文）

万方数据 74 Y;8=A74A P>=H8-<， 149:;8， Q8G>-=7>-7:4< >4@ ,75

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商 业 研 究

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（二） 沃尔德检验 （ ./01 2342） 当样本容量 $ 较大时，在 原 假 设 ( ’ 成 立 的 条 件

计量经 济 模 型 的 建 立 是 指 在 一 定 的 经 济 理 论 之 下，选择适当的经济变量和模型结构，建立、求解并 检验此模型，而后给出经济解释，从而解决经济问题 的一种方法。经典线性计量经济学模型的检验必须通 过四级检验
［!］

［5］ 下， ./01 统计量近似服从自由度为 ’ 的卡方分布 。

即：
" " （ %* " & ）［ % （ "+" ） ! %+ ］ ! （ %* " & ） + ! 0 $ ! ( % -- / " % -- . （6） $ + "( （ ’ ） -( % --. 其中 - ( $ $" #"! 与前面给出的 ) 统计量比较，有 0 $ ’) 。 即 0

，即经济意义检验、统计学检验、计 量

经济学检验和预测检验。在实际建模中，要全面进行 计量经济模型的检验是有一定难度的，根据经济理论 或经验，有时还需要考察模型参数是否满足某种先验 假设，即 约 束 条 件。 常 见 的 计 量 经 济 学 教 材 （ 文 献 ［!］ " ［#］ 对上面所提的四级检验都作 了 介 绍， 但 ） 在统计学检验中 并 不 介 绍 参 数 线 性 约 束 检 验。 因 此， 笔者将介绍三种常用的参数线性约束检验方法，并通 过建立生产函数模型实例进行检验说明。 一、参数线性约束条件 设线性回归模型的矩阵形式为： （!） ! $ " %" ! " 是 # 个自变量的 $ 个 观 测 值 的 $ & （ # % ! ） 阶 矩阵，! 是 （ # % !） 维的未知参 数 向 量， ! 是 因 变 量 的 $ 维观测向量， 是 $ 维 误 差 向 量，且 " 满 足 高 斯 " —马尔柯夫定理。 对模型 （!） 中 的 参 数 向 量 ! 是 否 全 为 ’ ， 或 者 部分为 ’ 部分不均 ’ ，或者 参 数 之 间 是 否 存 在 某 种 线 性关系等，都可以矩阵表示为： （(） % $ & ! 其中 % 为行满秩的 ’ & （ # % ! ） 的 常 系 数 矩 阵， & 为 ’ & ! 的常 列 向 量， ’ 为 约 束 条 件 的 个 数， 且 ’ ) # 。形式 （(） 为 参 数 线 性 约 束 条 件 （ 或 约 束 条 件 集） 。 二、检验方法 为了检验模型 （ ! ） 的 参 数 之 间 是 否 满 足 线 性 约 束条件 （(） ，尤其 是 否 具 有 某 种 经 济 学 意 义 的 关 系， 可以通过检验原假设 (’ ： % $ & ! 和备择假设 ( ! ： % ! & 来判断。 ! 要检验原 来 假 设 ( ’ ： % $ & 是 否 成 立， 需 要 构 ! 造统计量，下面介绍常见的三种方法。 （一） ) 检验
［*］ 当 ( ’ 成立时，可以证明 ： " " （ %* " & ）［ % （ "+" ） ! %+ ］ ! （ %* " & ） , ’ + ! ) $ ! % -- , （ $ " # " !）
.

统计量与 ) 统计量成正 比，比 例 系 数 为 ( ’ 中 约 束 条 件的个数。
( 对给出的显 著 水 平 #， 若 0 - 1# （ ’ ） 则 拒 绝 ， ( ，则接受 ( ’ 。 ( ’ ；若 0 ) 1#（ ’ ）

（三） 2 检验 若模型 （!） 的参数只 有 一 个 约 束 条 件 （ ’ $ ! ） ， 即约束条件 （(） 中的矩 阵 % 是 一 个 行 矩 阵。 令 % $ （ & ’ ， & ! ，…， & # ） ! $ （ * ’ ， * ! ， …， * # ） 是 参 数 ! ，* ! ! ! （ ’ ，!! ，…，!# ） 的 估 计 量， 则 ( ’ ： % $ 3 可 以 表 ! ! 示为： & ’!’ % & !!! % … % &!# $ 3 # 其中 & ’ ， & ! ，…， & # 和 3 为已 知 的 标 量 值。 估 计 量 %* 的数学期望与方差分别为： ! 4 （ %* ） $ %4 （ * ） $ % $ 3 ! ! ! " 56& （ %* ） $ %56& （ * ） %+ $ % ［ ( （ "+" ） !］ %+ $ ! ! * 在经典假设之下，! 的 普 通 最 小 二 乘 法 估 计 量! * 服从正态分 布，$( 为 总 体 方 差。 从 而 有 ! + 7 （!， ( "! 。 $ （ "+" ） ） 若用 $( 的无 偏 估 计 量 - ( $ % --. $" #"! 替 代 $( ， 则

可以构造 2 统计量为： %* " 3 ! 2$ $ " % " ［ - ( （ "+" ） ! ］ %+ 2 （ $ " # " !）

%* " 3 ! + " % " （ "+" ） ! %+ （7）

这也是统计学中常见的 2 分布。在给定的 显 著 水 平 # 之下， 若 8 2 8 - 2# （ $ " # " ! ） 则 拒 绝 原 假 设 ，
(

， ( ’ ；若 8 2 8 ) 2# （ $ " # " ! ） 则 接 受 原 假 设 ( ’ 。 当
(

然也可视备择假设的情况而采用双侧或单侧检验。 三、实例检验 参数线性约束是模型中重要的问题，尤其是在常 见的生产函数模型中。多数学者均采取 “规模报酬不 变” 之假定，很少 顾 及 假 定 的 真 实 性 与 合 理 性 程 度， 这种 “规模报酬不变” 的生产函数并不具有典型性和
［9］ 代表性 。因此，无论假定规模报酬不变与否，都 要

（ % -- " % -- ） , ’ / . $ + ) （ ’ ， $ " # " !） （,） % -- , （ $ " # " !）
.

这是统计学中常见的 ) 分布。其中 % -- 是对参数 / 施加约束条件下进 行 方 程 估 计 的 残 差 平 方 和， % -- 是 . 在没有约束条件下进行方程估计 的 残 差 平 方 和， * 是 ! * ! 的估计量。如果 % $ & 为真，那么 % " & 应 该 接 近 ! ! 于零，从而 计 算 出 的 ) 值 较 小。 这 样， 在 给 定 的 显 著性水平 # 之 下， 若 ) - )# （ ’ ， $ " # " ! ） 则 拒 ， 关系；若 万方数据’ ， $ " # " !） 则接受原假设 ( ’ 。 ) ) )#（ 绝原假设 ( ’ ，说 明 模 型 的 参 数 之 间 不 存 在 线 性 约 束

对之作检验。 下面运用 :;<3=4 软件，以建立粮食产量与生产劳 动力及化 肥 施 用 量 的 生 产 函 数 进 行 验 证 （ 数 据 见 表 。 !）
!" 把生产函数模型 ! $ 89#: ; 化 为 线 性 模 型 0> < $

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总第 -$& 期

李均立：计量经济模型中参数线性约束条件的检验方法

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! 对模型进行普通最 小 二 乘 估 计， 得 !" " # $ % &’( ( ) * % +,$ $!" # ) * % -++ &!" $ ， 该 模 型 的 残 差 平 方 和 为 % && ’ # * % *-* + 。
表+
年份 +(&( +(/* +(/+ +(/, +(/+(/$ +(/0 +(/’ +(/& +(// +(/( 粮食产量 （万吨） " -- ,+, -, *0’ -, 0*, -0 $0* -/ &,/ $* &-+ -& (++ -( +0+ $* ,(/ -( $*/ $* &00

为了检验 +(&( . ,*** 年 的 粮 食 生 产 是 否 具 有 规 ，可 以 建 立 原 假 设 ( * ：! ) " 模效益不变 （! ) " # + ） # + 和备择假设 ( + ：! ) "! + 。

+(&( . ,*** 年我国粮食产量及生产劳动力与化肥施用量资料
劳动力 （万人） # ,/ ’(, ,( +/+ ,( /-’ -* (+& -+ ,*( -* (,& -* -0, -+ -++ -* /&* -+ $00 % & -, $$* % 0 化肥 （万公斤） $ + */* *** + ,’( *** + --0 *** + 0+- *** + ’’* *** + &$* *** + &&’ *** + (-+ *** + ((( *** , +$+ 0** , -0& $** 年份 +((* +((+ +((, +((+(($ +((0 +((’ +((& +((/ +((( ,*** 粮食产量 （万吨） " $$ ’,$ $- 0,( $$ ,’’ $0 ’$( $$ 0+* $’ ’’, 0* $0$ $( $+& 0+ ,-* 0* /-( $’ ,+/ 劳动力 （万人） # -- --’ % $ -$ +/’ % -$ *-& % * -- ,0/ % , -, ’(* % -, --$ % 0 -, ,’* % $ -, $-- % ( -, ’,’ % $ -, (++ % / -, &(& % 0 化肥 （万公斤） $ , 0(* -** , /*0 +** , (-* ,** - +0+ (** - -+& (** - 0(- &** - /,& (** - (/* &** $ */- &** $ +,$ -** $ +$’ $**

（数据来源 《中国统计年鉴 ,**+》 ）

由 （0） 得原假设的 ) 统计量为： ! ! ! )" 1 + )# ! （ ! ） ) *+, （ ! ） ) , -./ （ ! ， ! ） ! ! ! "*+, ! " " ! （ ! ） *+, （ ! ） -./ （!， ! ） 分 别 是 参 数 ! ，! ， ! *+, ! " " ! !， ! 的样本方差和协方差，将所求出的值代入 上 式， " 得 * % +,$ $ ) * % -++ & 1 + ) # "* % ++, 0 ) * % **+ $ ) , （ 1 * % *+* $） # 1 + % /$/ + 给定显著水平 ! # * % *0 ，查 ) 分布表得 ) * % *,0 （+(） # , % *(- ， 由 于 2 ) 2 # + % /$/ + 3 , % *(- ， 所 以 应 接 受 原 假设 ( * 。 ! 在约 束 条 件 ! ) " # + 下 估 计 模 型， 得 !" " # ! ! 1 * % /-( & ) * % &$, &!" # ) * % ,0& -!" $ 此模型的残差平方和为 % && # * % *-0 0 0 （* % *-0 0 1 * % *-* +） 2 + 由 （-） ，得 1 # # - % $*/ ’ * % *-* + 2 +( 给出显著水平 ! # * % *0 ，查 1 分布表得 1 * % *0 （ + ， +(） # $ % -/ 由 1 3 1 * %*0 （+ ， +(） 得知接受原假设 ( * 。 ， 由 （ $ ） 得 3 # 41 # 1 # - % $*/ - 3 5 , % *0 （ + ） * # - % /$ ，所以也应接受原假设 ( * 。 对上述只有一个参数约束条件的检验，用以上介 绍的三种方法检验的结果是一致的。因此在建立我国 +(&( . ,*** 年粮食生产与劳动力和化肥投入 量 的 产 出 模型时应按 “规模报酬不变” 来设定。由此可见，在 建立计量经济模型之前应先检验模型的参数是否具有 某种线性 约 束 条 件， 然 后 再 根 据 检 验 的 结 果 建 立 模 型。 参考文献： ［+］ 李子奈 % 计 量 经 济 学 4］ 北 京： 等 教 育 出 版 ［ 高 %

［,］ 赵国庆 % 计 量 经 济 学 4］ 北 京： 国 人 民 大 学 ［ 中 % 出版社，， ,**+ % ［-］ 谢识予 % 计 量 经 济 学 4］ 北 京： 等 教 育 出 版 ［ 高 % 社， ,**$ % ［$］ 庞皓 % 计量 经 济 学 4］ 成 都： 南 财 经 大 学 出 ［ 西 % 版社， ,**, % ［0］ 李长风 % 经 济 计 量 学 4］ 上 海： 海 财 经 大 学 ［ 上 % 出版社， +((’ % ［’］ 杨氵 内华， 葛颜祥 % 计量经济学 4］ 北京： 国 农 ［ % 中 业大学出版社， ,**- % ［&］ 孙荣恒 % 应用数理统计 4］ 北 京： 学 出 版 社， ［ % 科 ,**- % ,,- 1 ,,$ % ［/］ 朱平芳 % 现 代 计 量 经 济 学 4］ 上 海： 海 财 经 ［ 上 % 大学出版社， ,**$ % -- 1 -& % ［(］ 周方 % 关 于 “规 模 收 益 不 变” 假 定 及 生 产 要 素 之 产出弹性系数的 测 算 5］ 数 量 经 济 技 术 经 济 研 ［ % 究， （ ： +((0 ， ’） $* 1 0* % （责任编辑： 张淑莲）

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本刊注 重发 表国家 各级科 研课 题成果 及 各种基金项目资 助 文 章。 基 金 项 目 名 称 应 按 照 国 家 有 关 部 门 规 定 的 正 式 名 称 填 写， 请 并 注明项目编号， 项 基 金 项 目 应 依 次 列 出， 多 其 间以分号隔开。

万方数据 社， ,*** % +, 1 +$ %

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计量经济模型中参数线性约束条件的检验方法
作者： 作者单位： 刊名： 英文刊名： 年，卷(期)： 被引用次数： 李均立， LI Jun-li 华南热带农业大学,教务处,海南,儋州,571737 商业研究 COMMERCIAL RESEARCH 2006(15) 3次

参考文献(9条) 1.周方 关于"规模收益不变"之假定及生产要素产出弹性系数的测算 1995(06) 2.朱平芳 现代计量经济学 2004 3.孙荣恒 应用数理统计 2003 4.杨氵内华;葛颜祥 计量经济学 2003 5.李长风 经济计量学 1996 6.庞皓 计量经济学 2002 7.谢识予 计量经济学 2004 8.赵国庆 计量经济学 2001 9.李子奈 计量经济学 2000

引证文献(3条) 1.李均立 消费需求对经济增长贡献的实证分析[期刊论文]-商业时代 2009(27) 2.李均立 线性回归模型参数线性约束检验的Eviews实施[期刊论文]-技术经济与管理研究 2008(2) 3.朱静.王士海 经济增长中的供给结构因素分析——以新疆为例[期刊论文]-新疆金融 2007(8)

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