二维压电/磁电材料动态断裂问题之时域奇异积分方程方法

【摘要】 飞速发展的现代科技,在材料、机械等工业生产领域中发挥着无与伦比的作用,其中压电和磁电弹等材料的出现,更是推动了智能产品制造业如雨后春笋般地蓬勃发展。但是,任由制作工艺不断地完善,材料和结构中裂纹、夹杂等缺陷却依然难以避免。缺陷对于承担着重要功能的构件构成了巨大的威胁,也使得构件的功能作用大打折扣,而且这些构件一旦遭遇动载荷,更会让它们的可靠度降至冰点。这就给从事断裂力学研究工作的学者们提供了挑战与契机。由于动载荷作用下的断裂问题从数学推导和理论分析方面都存在着很多的困难,因而动态断裂问题的研究开展的较少,大部分的断裂研究工作是在静载荷作用下进行,仅有的一些解析工作也局限于特定的几何形状和载荷作用方式,但这与实际材料中裂纹的形状,以及裂纹空间分布的任意性有着很大的区别,此外,多裂纹之间的相互干扰,也会降低结构的强度。因此对多裂纹干扰问题的研究也同样具有重要的实用价值。本文针对含有裂纹的压电和磁电弹材料,以理论分析为基础,从力学、材料科学、计算数学等学科交叉融合角度出发,重点研究在冲击载荷作用下裂纹的响应问题。本文的主要研究工作如下：1.针对二维压电无限大体中的单裂纹受冲击载荷作用的情况,首先根据已知的动态问题的格林函数建立以裂纹位移间断沿裂纹切向导数为基本未知量的奇异积分方程,并利用基本解的性质给出受动载荷作用的裂纹尖端的奇异应力场的解析表达式,随后结合Lubich的数值卷积和Gauss-Chebyshev数值积分,获得了相应的数值处理方法。2.针对二维压电无限大体中任意多不相交的裂纹受冲击载荷作用的情况,建立问题的奇异积分方程组。编写Fortran计算程序,讨论多裂纹的相对位置变化对广义应力强度因子变化规律的影响。针对任意相交裂纹的情况,同样建立问题的边界积分方程,并分析两相交裂纹前沿的奇异场,得到奇异指数的变化规律。3.对含有裂纹的磁电弹材料建立奇异边界积分方程,分析动载荷作用下裂纹尖端的奇异应力场,将以上用于压电材料的数值方法推广到磁电弹材料的动态断裂问题的研究中,获得问题的数值求解方法,分析磁、电、弹冲击载荷作用下裂纹的动态响应,以及多种裂纹边界情况下广义应力强度因子的变化规律。4.考虑二维磁电弹材料中任意多裂纹受冲击载荷作用的问题,同样建立该问题的边界积分方程组,借助数值方法离散边界积分方程组,编写Fortran程序,分析并讨论多裂纹的相对位置变化以及裂纹边界条件变化对广义应力强度因子的影响,总结广义动态应力强度因子的变化规律。 

第一章绪论

1.1研究背景及意义
通过大量的试验分析，科学家们发现结构发生低应力破坏总是由材料内部的裂纹突然扩展所导致的，而实际构件中，夹杂、裂纹和裂痕等缺陷又是不可避免的会出现。在荀刻的工作环境下，材料中的细微缺陷会逐渐发展成为宏观裂纹，而这些裂纹的扩展最终导致了构件的破坏。若按照以往的强度理论来设计结构，需要使用强度更高的材料或加大构件的尺寸，来增加构件的容许应力和安全储备。而工业实践表明这种举措既达不到理想的效果，还会造成材料的严重浪费。因此，断裂力学作为专门研究材料破坏机理的学科获得了重大的发展。英国科学家Griffith是断裂力学这个学科的创始人，他于1920年和1924年分别发表的两篇论文[1，2]为脆性断裂理论的产生奠定了基础。随后，1^111[3]和Orowan[4]先后独自建立了脆性断裂理论，提出了不局限于表面能控制的脆性断裂的物理基础和具体计算方法。在1957年，以应力强度因子为断裂准则，lOTin[5]建立起脆性材料断裂理论的基本框架，并提出考虑裂纹尖端塑性变形的小范围屈服理论。到1973年，首本应力强度因子手册（Tada等[6])的出版，标志着线弹性断裂力学的研宄成果己经能够应用到工程实践中。随着现代工业的飞速发展，各领域对结构设计和材料性能提出了更高的要求，例如需要材料实现多种功能，自适应环境等，其中高新科技领域对材料的智能化发展的需求尤为迫切。目前，对智能材料/结构有需求的行业在不断地增加，而智能材料的研宄范围也在不断的扩大。材料的声、光、电、热、磁等功能特性被人们广泛的利用，以实现热能、磁能、电能、机械能等不同形式能量的相互转换。因此近些年来对于智能材料在磁、电、热、弹等多场稱合作用下的行为研究成为当下物理、材料和力学等学科的科技工作者的研宄重点。
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1.2国内外研究现状
依据问题的各物理量是否考虑时间变量，可以将断裂力学分为断裂静力学和断裂动力学。在现代断裂力学研究中，线弹性静态断裂力学是断裂力学发展的最为成熟的部分，其理论分析和计算方法已经系统而完整的建立。而弹塑性材料的静态断裂力学，在著名固体力学家Rice[7，8]，Hutehinson[9]的努力推动下也取得了长足的进步。断裂动力学（亦被称为动态断裂力学）是断裂力学的一个分支，它专门研宄有惯性力作用的断裂力学问题。英国著名物理学家1948年发表了关于动态断裂分析的第一篇重要文献。但是断裂动力学直到1960年代才真正成为一门科学，它的一些基本概念和系统分析方法也是在这一时段才逐渐建立起来，而有效的实验研宄方法一直到七十年代末期才出现。根据裂纹是否扩展将断裂动力学问题又分为两类：第一类是裂纹的起始问题，在分析过程中裂纹不随迅速变化的外力而扩展；第二类是裂纹的运动扩展问题，其中外力在裂纹的快速传播过程中几近稳定。第二类问题研究裂纹的扩展规律，，因此又被称为扩展裂纹问题或运动裂纹问题[11]。运动的裂纹终止运动，被称之为止裂，止裂现象是运动裂纹问题的一种特殊情况。用数学语言描述裂纹动态起始问题的实质就是求解特定初值-混合边值条件下的波动方程(或方程组）的问题。而运动裂纹问题一个高度非线性的问题，这是因为运动裂纹问题的求解严重依赖于运动平衡方程的解，而这种解又必须靠边界条件才能获得，而裂纹边界变化规律反过来又需要通过求解运动平衡方程来获得。由于断裂动力学的问题与断裂静力学相比，无论是物理变换还是数学处理上都要复杂、困难得多，所以文献中对裂纹的动态起始问题和裂纹的传播问题研宄工作开展的很少，动态裂纹问题是当下断裂力学研究的重点和难点。
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第二章压电材料单裂纹动态断裂问题研究

2.1压电材料弹性力学旳基本理论
材料产生压电特性的微观物质基础是在介质内必须能形成电偶极矩，而这些电偶极矩产生的机理有很多种，常见的如不对称的离子排列、正负电子重心不重合以及有极分子的本征电矩等。材料的极化强度是各个微小区域的极化强度的矢量和，在未被极化的材料中电偶极矩的方向随机分布，其极化效应会相互抵消，因此未被极化的材料在宏观上表现出各向同性，没有压电效应。在压电材料的居里温度附近，将一个较强的静电场（即极化场）作用到未被极化的材料上，此时材料中每一微小区域的电偶极矩都会沿外加电场的方向定向排列，使得材料产生宏观电偶极矩，呈现出压电特性。压电效应反映了压电材料能进行能量形式转化的特殊功能性。压电材料不仅要满足与普通弹性材料相同的力学行为即应力应变关系在小变形时遵循弹性理论的本构关系，还同时具有独特的力-电賴合行为。一般压电效应包含正向压电效应和逆向压电效应两个方面，如图2-1所示。当压电材料在某个方向受到外力作用时，介质内部会产生电极化，在与外力相对应的两个表面上将产生符号相反等量的电荷而使材料带电，并且电荷的极化方向和极化强度都会随外力的方向和大小改变，并呈线性关系，这就是正压电效应。相应的，当施加外电场时，压电介质内部会因为正负电荷的相对移动而引起材料的伸缩变形，且这种变形的大小与外加电场方向和强度成比例，这就是逆压电效应。压电效应使得压电材料像发电机和电动机一样能使机械能和电能相互转换。
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2.2时间域和Laplace域下的基本解
在使用边界积分方程方法或边界元方法研宄压电材料的静态或动态问题中基本解（Green’sFunction)起着至关重要的作用。为获得精度好效率高的边界元方法，形式简洁易于数值方法实施的基本解是很有必要的。经过近些年的发展，一些学者给出了二维压电材料的各种形式的基本解，然而由于问题的复杂性都没能给出形式简洁的基本解。前一节将一般的动态平面裂纹问题归结为求解一组混合型积分方程组，其中包括裂纹上的Cauchy型奇异积分方程及外边界上的常规边界积分方程。这种混合型方程组在通常情况下是无法解析求解，因而必须使用适当的数值方法来求解。由于外边界上的常规边界积分方程处理在许多的著作中有论述，所以本节只给出Griffith裂纹问题的数值求解方法，至于有限体的混合型积分方程解法只需要结合边界元法即可求解。
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第三章受冲击载荷作用压电材料多裂纹干扰问题........... 36
3.1边界积分方程 .........36
3.2数值求解方法......... 39
3.3数值结果及分析......... 42
3.4压电材料相交裂纹分析 .........49
3.5边界积分方程的数值求解方法......... 55
3.6本章小结......... 57
第四章磁电弹材料受冲击载荷影响......... 58
4.1磁电弹材料弹性力学的基本理论.........58
4.2时间域和Laplace域下的基本解......... 64
4.3边界积分方程......... 67
4.4数值计算方法......... 70
4.5裂纹前沿奇异应力场和广义动应力强度因子......... 73
4.6数值结果及讨论 .........74
4.7本章小结 .........83
第五章冲击载荷作用下磁电弹材料多裂纹干扰问题......... 85
5.1边界积分方程......... 85
5.2数值求解方法......... 88
5.3数值结果及分析......... 91
5.4本章小结 .........101

第五章冲击载荷作用下磁电弹松料多裂纹干扰问题

上一章分析了冲击载荷作用下磁电弹材料中单个裂纹问题，然而实际的磁电弹介质中往往包含有多个空间任意分布的裂纹，它们之间会产生相互干扰本章首先推导出磁电弹介质中含有多裂纹问题的边界积分方程，再建立积分方程的数值求解方法。为了验证本章中数值方法的正确性，选取磁电弹复合材料BaTi03-CoFe04为例，用Fortran语言编写程序进行计算，分析力、电、磁载荷的响应下，裂纹位置的变化和裂纹面边界条件对广义动应力强度因子的影响。这里选取体积分数v/=0.5的磁电弹材料BaTi03-CoFe04进行算例计算，具体的材料常数参见第四章表4-1,分别考虑等长平行裂纹和等长共线裂纹两种特殊的裂纹分布形式，分析裂纹的渗透情况等计算出无量纲广义动应力强度因子随时间的变化规律。

总结

本文从压电、磁电弹性力学的基本方程出发，对二维压电和磁电弹介质中的单裂纹、多裂纹以及相交裂纹受冲击载荷作用时的响应问题进行了系统的理论分析和详细的数值研宄，主要的研宄工作及创新有：
1.建立时域下的压电、磁电弹材料动态裂纹问题的边界积分方程，利用基本解的性质进行分部积分，将超奇异积分方程转化成易于数值处理的Cauchy型奇异积分方程。在时间域边界积分方程的数值求解上：首先采用Lubich卷积积分法将时间卷积进行离散，并引入Laplace域下的积分核函数；再根据裂纹前沿附近广义位移间断密度的性态，使用Gauss-Chebyshev求积公式处理空间积分，最终将压电、磁电材料动态裂纹问题时间域下的奇异积分方程组转化成线性代数方程组。
2.运用主部分析法，研究裂纹前沿的奇性应力场，得到用裂纹上的广义位移间断密度表示的广义动应力强度因子的计算式以及广义能量释放率的计算式，并对广义动应力强度因子作无量纲化。对于相交裂纹问题，根据主部分析法得到计算压电材料相交裂纹（折线裂纹）交点处的奇异性指数的方程组，通过数值求解得到压电材料相交裂纹的交点处奇异性指数随裂纹角度变化的规律，并给出了针对相交裂纹时域奇异积分方程的数值求解方法。
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参考文献（略）