二维FIR数字滤波器的约束Minimax设计理论与矩阵基算法

发布时间：2020-11-13 19:46

　　 二维数字滤波器广泛应用于图像处理、机器人和计算机视觉、地震信号处理、雷达信号处理和天文信号处理等各个领域。有限冲激响应(Finite Impulse Response,FIR)数字滤波器很容易得到线性相位且始终是稳定的,因而得到了国内外学者的广泛关注。二维滤波器优化设计问题本质上是一个二元函数的逼近问题。因为二元函数逼近理论不完备,且二维滤波器的设计系数随滤波器的阶数平方增加,所以二维滤波器设计问题比较复杂。传统的二维滤波器设计算法把二维滤波器的待求系数排列成一个向量,然后再把一维滤波器设计算法扩展到二维滤波器设计问题中,这导致了高计算复杂性并且占用了大量计算机内存。最近的一些算法利用二维滤波器待求系数的矩阵特性求解二维滤波器设计问题,有效地减少了计算量并节省了计算机存储空间。但是这些算法并不能直接求解二维数字滤波器的约束Minimax设计问题。矩形对称二维FIR数字滤波器是应用最广泛的二维线性相位FIR数字滤波器。本文以矩形对称二维FIR数字滤波器为基础,研究了二维线性相位FIR数字滤波器的约束入Minimax设计问题。本文主要考虑了频域不等式约束和时域等式约束这两种约束条件。首先,论文在矩阵形式下建立了二维线性相位FIR数字滤波器Minimax设计问题的数学模型。已知的基函数、加权函数、期望频率响应、约束条件和待求参数都以矩阵形式给出。待求参数矩阵的元素和滤波器的单位脉冲响应有着一定的关系。然后,论文提出了一种有效的矩阵基算法来求解二维FIR数字滤波器的频域不等式约束Minimax设计问题。该算法把约束Minimax设计问题转化为一系列无约束加权Minimax设计问题,其加权函数在每次迭代中进行更新。无约束加权Minimax设计问题不能用解析法求解,故采用矩阵基迭代重加权最小二乘(Iterative Reweighted Least-Squares,IRLS)算法求解。同时,论文证明了该算法在有解的情况下能够快速收敛到原问题的最优解。最后,论文研究了二维FIR数字滤波器的时域等式约束Minimax设计问题。通过矩阵变换和引入一些新的矩阵变量,论文将包含一个矩阵变量的约束Minimax设计问题转化为包含三个矩阵变量的无约束Minimax设计问题,并提出了一种新的矩阵基IRLS算法求解该问题。所提出的IRLS算法包括两个循环:外循环用来更新权值,内循环用来求解加权最小二乘(Weighted Least-Squares,WLS)子问题。通过定义作用于二维滤波器系数矩阵的线性算子,WLS子问题的最优性条件被表述成一个线性算子方程。于是,提出了一种矩阵基广义共轭梯度算法求解该线性算子方程。由线性算子理论可知,该算法是收敛的。紧接着,论文将二维FIR数字滤波器的时域等式约束设计算法扩展到二维线性相位FIR半带滤波器设计问题中,得到了一种高效的二维线性相位FIR半带滤波器Minimax设计算法,该算法能快速收敛到最优解。仿真实验说明,本论文提出的矩阵基算法比现有的算法计算效率更高,所需的内存空间更小,并且能够精确地求解矩形对称二维FIR数字滤波器的约束Minimax设计问题。另外,这些矩阵基算法可以进一步扩展应用到其他二维线性相位FIR数字滤波器的设计中。
【学位单位】：山东大学
【学位级别】：硕士
【学位年份】：2019
【中图分类】：TN713.7
【部分图文】：

对于二维ＨＲ数字滤波器设计问题，Ｍｉｎｉｍａｘ指标是常用的优化??指标。Ｍｉｎｉｍａｘ滤波器和其期望滤波器之间的幅值误差的最大值会达到最小??化，因而获得广泛研究与应用。图２－１给出了二维ＨＲ圆形数字滤波器的期??望幅频特性及其对应的实际幅频特性，被设计的二维圆形ＦＩＲ数字滤波器在??

1‘21画形数字滤波器的幅频特性，p二

例３－２：设计二维ＦＩＲ椭圆形数字滤波器，该滤波器的通带＿Ｑｐ和阻带Ｃ！ｓ??为：??Ｑｐ?＝｛（６）ｉ，？２）｜（６）１／０．５３Ｉ）２＋（６＞２／０．６ｔｉ）２?＜１｝，?（３??Ｑｓ?＝｛（ｔｙ，，？，）［（？，／０．６ｊｉ）２＋（＾／０．７＾）２?＜！｝，??过渡带权值为零，即不考虑过渡带。在阻带的最大幅值误差不超过常数的??同时，使通带的最大幅值误差达到最小化。??本例将用算法３－１设计不同大小和不同约束上限的二维椭圆形数字滤波??器，算法３－１的收敛精度取值为Ａ?＝?１（Ｔ３。将矩阵基算法３－１和向量基ＧＩ算??法［２６］进行比较，滤波器在通带的最大幅值误差￡ｐ、设计时间７ｄ?（单位：秒）??以及算法３－１中＆的迭代次数等方面实验结果如表３－２所示。本实验中，??初始迭代值取值为４?＝?ｐ。???表３－２例３－２中向量基ＧＩ算法＿和矩阵基算法３－１的比较???滤波器大??向量基ＧＩ算法ｐ６］?矩阵基算法３－１???Ｐ
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本文编号：2882563