多元离散型样本协方差阵的正定性

发布时间：2016-10-09 15:35

  本文关键词：云南旅游地质景观类型与区划研究，由笔耕文化传播整理发布。

《贵州大学》 2006年

多元离散型样本协方差阵的正定性

缪建群  

【摘要】：随着计算能力的提高，量化分析已广泛应用于社会、经济、管理等领域．其特点为调研时，通常应用离散型数据对样本的定性指标进行量化([4]、[20]、[22]、[24]、[27])，因此希望通过分析离散数据来建立一套抽样调查的优化设计方案。研究离散型样本协方差矩阵的正定性有助于判断是否可以降低样本的维数，有利于优化抽样个数，为抽样调查的优化设计方案提供一定的理论基础；为基于特征根的多元统计分析提供理论指导。 然而，目前国内外有关协方差矩阵正定性的研究结果并不多，，并且大多是集中在连续型样本协方差矩阵方面。1970年，Dykstra用正交矩阵左乘以样本资料阵，把样本协方差矩阵的正定性转化为变量间的线性无关性，并结合正态分布的性质，证明了独立且服从同一正态分布的样本协方差矩阵概率为1正定的充要条件是n＞p(其中n为抽样的个数，p为变量的个数)。1990年，谢平民、陈图豪运用矩阵的初等变换和建立一个零测度集，研究了连续性样本在没有要求服从同一分布的情况下，样本协方差阵概率为1正定的充要条件也是n＞p。对于变量取离散数据的样本协方差矩阵的正定性，很少有学者进行研究。 本论文通过引入p-向量配、I-线性组合及它们的性质，研究离散型样本协方差矩阵的正定性问题。推出了离散型样本协方差矩阵正定的充要条件，得到了求离散型样本协方差矩阵正定概率的模型，建立了特殊情况下的抽样优化模型。并通过比较两者的正定性条件，总结出离散型与连续型样本协方差矩阵的不同之处。 本论文在理论上，主要得出两个新的结果：ⅰ)抽样调查中，若样本的个数少于变量的个数则样本协方差矩阵恒为非正定；ⅱ)离散型样本协方差矩阵正定的充要条件是样本资料阵的各随机列向量是非I-线性组合。从而本论文推广了连续型样本协方差矩阵的正定性。在应用上，建立了离散型样本协方差矩阵正定的概率模型；提出了一种新的优化抽样调查设计方案，优化了抽样个数。

【关键词】：
【学位授予单位】：贵州大学
【学位级别】：硕士
【学位授予年份】：2006
【分类号】：O212.4
【目录】：

目录2-4

中文摘要4-5

英文摘要5-10

第一章 引言10-12

第二章 预备知识12-17

2.1 代数知识12-13

2.1.1 正定矩阵12

2.1.2 实对称矩阵正定的判别12

2.1.3 线性方程组有解判别定理12

2.1.4 线性相关与线性无关12-13

2.2 概率知识13-17

2.2.1 多元随机样本13

2.2.2 协方差矩阵13

2.2.3 数学期望13-14

2.2.4 方差14

2.2.5 样本资料阵14

2.2.6 样本协方差14

2.2.7 排列组合14-15

2.2.8 古典概型15

2.2.9 多项分布15

2.2.10 边缘分布15-16

2.2.11 加法原理16

2.2.12 乘法原理16-17

第三章 多元随机变量协方差阵的性质17-20

3.1 标准化前后协方差阵的正定情况及标注化过程中应注意的问题17-19

3.2 多元随机变量协方差阵正定的充要条件19-20

第四章 多元离散型样本协方差阵的正定性20-36

4.1 离散型样本资料阵、I-线性组合及其性质20-21

4.2 样本各变量取离散数据时协方差阵正定的概率21-25

4.3 样本变量在{1、2}中取值,样本与变量个数分别为n、p(n＞p)时的概率25-36

4.3.1 p向量配及其性质25-28

4.3.2 变量个数为2(n＞2)时的概率28-31

4.3.3 变量个数为m(n＞m)时的概率31-36

第五章 分析离散型与连续型样本协方差阵的正定性36-39

5.1 连续型样本协差阵的研究状况36

5.2 多项分布的协方差阵的正定情况36-37

5.3 样本服从多项分布协方差阵的正定情况37-38

5.4 分析两种协方差阵正定性不同的原因38-39

结论39-40

致谢40-41

参考文献41-44

原创性声明44

关于学位论文使用授权的声明44

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本文编号：134999