自适应临界值的等价权函数及抗差估计方法

发布时间：2020-10-20 11:50

　　 抗差估计中的等价权函数通常由正态分布统计量或学生分布统计量构造,其临界值一般根据经验直接设定,由此将带来参数估计效率以及抗差性方面的风险.为了削弱该风险,在IGGⅢ方案的基础上,提出了一种自适应临界值的等价权函数.利用中位数残差计算出一定置信水平下的残差置信区间,以该区间的边界构造出新的等价权函数临界值,该临界值不再根据经验直接确定.并研究了基于该等价权函数的抗差参数估计方法,通过模拟试验与实际算例验证了该方法的有效性.结果表明:自适应临界值的等价权抗差估计方法比人为直接设定临界值的等价权方法抗差性更强,可靠性更高.
【部分图文】：

差区间构造的等价权函数中均包含残差ｖｉ，若观测值不包含粗差，则对观测值进行最小二乘估计后，ｖｉ便可准确确定；若观测值包含误差，由于最小二乘估计不具有抗差性，那么最小二乘估计计算出的残差ｖｉ便同样包含较大误差，故选择观测值的中位数作为估值来计算初始残差ｖｉ．由初始残差计算出残差的置信区间，区间的下、上限分别对应式（５）中的ｃ，ｃ，按照式（５）对各残差对应的观测值定权，进而得到最终的抗差估计值．自适应临界值的等价权抗差估计法数据处理流程如图１所示．对于一维平差问题，可直接按照图１所示流程计算出参数解．对于多维平差问题，则可用该方法结合二次残差中位数极小型估计（ＬＭＳ）及中位参数法［２］进行构造．假设平差问题中共有ｍ个观测方程Ｌ＋ｖ＝ＢＸ∧＋ｄ，（６）式中：Ｌ为观测矩阵；Ｘ∧为参数估值；ｄ为常数项．从式（６）ｍ个观测方程中选取ｔ个方程，可得到ｓ＝Ｃｔｍ组解向量，选取每组解向量中的第ｉ个元素，可组成ｓ维向量ｘｉ＝（ｘｉ１，ｘｉ２，…，ｘｉｓ）；通过向量ｘｉ按照自适应临界值等价权法即可计算出第ｉ个参数的解，记为ｘｉＡＣ，依此类推，最终得到所有参数的解ｘＡＣ＝［ｘ１ＡＣ，ｘ２ＡＣ，…，ｘｔＡＣ］；分别计算ｓ组解向量与ｘＡＣ之差的二次范数，从ｓ组解向量中选取二次范数最小时对应的那组解作为最终的参数平差解．图１自适应临界值的等价权抗差估计过程Ｆｉｇ．１Ｐｒｏｃｅｓｓｏｆｔｈｅｅｑｕｉｖａｌｅｎｔｗｅｉ

．００９７由表２可以看出，粗差集中分布时，置信水平对参数估计结果影响较小，各置信水平下的解算结果差别不大，这是由于集中分布的粗差具有相似的分布特征，在不同的置信水平下，其影响在抗差估计中被同时消除或者削弱了，导致不同置信水平下的抗差估计结果很接近；粗差分散分布时，随着置信水平的提高，参数解算精度有增加的趋势，这是因为分散分布的粗差之间差异较大，置信水平越高，残差置信区间长度越大，实际参与计算的零权和非零权观测值越多，抗差估计精度也越高．临界值与置信水平之间的变化关系如图３所示，以粗差集中分布时为例．图３临界值与置信水平之间的关系Ｆｉｇ．３Ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐｂｅｔｗｅｅｎｔｈｅｃｒｉｔｉｃａｌｖａｌｕｅａｎｄｔｈｅｃｏｎｆｉｄｅｎｃｅｌｅｖｅｌ图３反映了算例中临界值与置信水平之间的关系，在同一自由度下，随着置信水平的增加，计算出的残差区间上限会逐渐增大，下限会逐渐减小，故无论粗差如何分布，临界值均呈现出上限增大、下限减小的趋势．３．３算例分析图４为点位及角度分布图．图４中Ａ，Ｂ，Ｃ为３个已知控制点，其坐标分别为ＸＡ＝８９８６．６８，ＹＡ＝５７０５．０３；ＸＢ＝１３７３７．３７，ＹＢ＝１０５０１．９２；ＸＣ＝６６４２．２７，ＹＣ＝１４７１１．７５．欲加密待定点Ｄ，同精度观测了６个角度Ｌ１，Ｌ２，…，Ｌ６，选取Ｄ点坐标作为平差参数，在角度观测量Ｌ４上加入粗差，然后按照５个方案进行计算．其中，方案２的临界值设为１．５和３．０，方案３和方案４的临界

差区间构造的等价权函数中均包含残差ｖｉ，若观测值不包含粗差，则对观测值进行最小二乘估计后，ｖｉ便可准确确定；若观测值包含误差，由于最小二乘估计不具有抗差性，那么最小二乘估计计算出的残差ｖｉ便同样包含较大误差，故选择观测值的中位数作为估值来计算初始残差ｖｉ．由初始残差计算出残差的置信区间，区间的下、上限分别对应式（５）中的ｃ，ｃ，按照式（５）对各残差对应的观测值定权，进而得到最终的抗差估计值．自适应临界值的等价权抗差估计法数据处理流程如图１所示．对于一维平差问题，可直接按照图１所示流程计算出参数解．对于多维平差问题，则可用该方法结合二次残差中位数极小型估计（ＬＭＳ）及中位参数法［２］进行构造．假设平差问题中共有ｍ个观测方程Ｌ＋ｖ＝ＢＸ∧＋ｄ，（６）式中：Ｌ为观测矩阵；Ｘ∧为参数估值；ｄ为常数项．从式（６）ｍ个观测方程中选取ｔ个方程，可得到ｓ＝Ｃｔｍ组解向量，选取每组解向量中的第ｉ个元素，可组成ｓ维向量ｘｉ＝（ｘｉ１，ｘｉ２，…，ｘｉｓ）；通过向量ｘｉ按照自适应临界值等价权法即可计算出第ｉ个参数的解，记为ｘｉＡＣ，依此类推，最终得到所有参数的解ｘＡＣ＝［ｘ１ＡＣ，ｘ２ＡＣ，…，ｘｔＡＣ］；分别计算ｓ组解向量与ｘＡＣ之差的二次范数，从ｓ组解向量中选取二次范数最小时对应的那组解作为最终的参数平差解．图１自适应临界值的等价权抗差估计过程Ｆｉｇ．１Ｐｒｏｃｅｓｓｏｆｔｈｅｅｑｕｉｖａｌｅｎｔｗｅｉ
【参考文献】

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本文编号：2848646