基于线性GSI二维半变异函数各向异性结构建模及估计研究——以DEM数据为例
发布时间：2021-11-17 16:13
鉴于传统各向异性二维半变异函数各向同性化方法未充分考虑或无力精确描述其内部结构信息的缺陷,本研究通过引入线性广义尺度不变（GSI）模型,以DEM数据作为验证对象,对二维半变异函数各向异性结构信息进行多尺度建模,并采用旋转椭圆法、两步搜索作图法等方法对系统参数进行估计,最后以球状模型为例对理论半变异函数的估计精度,及其在空间数据插值中的应用效果进行对比研究。结果表明:各向异性普遍存在于地形数据的空间变异中,有证据表明,这种各向异性结构中处处显现出不同的变形特征,但是也存在着某种规则性的成分,如各向同性圆形或近圆形等值线,因此,在对坐标进行各向同性化处理时不适合采用"一刀切"的方式去处理;GSI系统参数皆能得到较高精度的估计,如决定系数R2普遍达到了0.99以上,间接证明了GSI模型对地形数据各向异性结构处理的有效性和适用性;通过理论模型估计和插值结果对比,线性GSI坐标转换法比传统坐标转换法有了明显的精度提升,并且展现出了较高的边缘信息恢复能力,但也表现出了一定的局限性和不稳定性。
【文章来源】：地理研究. 2020,39(11)北大核心CSSCICSCD
【文章页数】：19 页
【部分图文】：
传统坐标转换法和GSI坐标转换法对各向异性半变异函数等值线处理对比
GSI模型（Generalized Scale Invariance），也叫广义尺度不变模型，是一种幂律模型，它是Schertzer D等在使用分形理论研究湍流现象中的尺度不变特征提出来的，他们认为在自然界中除了一些简单的自相似现象以外（如两个物体经过放大和缩小变得相同），还存在一些复杂的自相似现象（经过旋转、拉伸和缩放后变得相同）[20,21]。如前所述，坐标转换的核心是旋转和尺度缩放操作，同样这两种操作也是GSI的核心思想，它能够通过这两种操作兼顾全部等值线的变形信息，从而使半变异函数结构从整体上得到控制。GSI模型中比较难理解的是尺度概念，同其他幂律模型相比，GSI中尺度定义的方式有所不同，一般幂律模型中尺度是定义在某个支撑区间上，如污染物浓度值采样的某个时间段、矿石品位估计的矿块体积等物理量上，而GSI将位于同一条等值线（如图1中的圆和椭圆，也可以是很复杂的曲线）上的点视为同一尺度，即一条等值线代表一个尺度，相同尺度上点位的函数值都是相等的。那么这种尺度应如何度量呢？对于分布在圆上的点，可以利用该点到原点的距离作为其尺度的度量，即半径（圆上每个点都有一个尺度值，且都相等）。按照这种定义，对于一些复杂几何曲线如椭圆上的点来说，它们到原点的距离是不等的，显然这种定义在GSI模型中是行不通的，因此需要提出一种新的尺度度量函数或范式。通常在操作欧氏距离中的点时，关注的重点是坐标值和其坐标构成的向径距离（尺度），不同的是，在这里操作这些点时，既要习惯于其在欧氏坐标系中的坐标，同时还要关注其位于某条等值线上，因为后者决定了其尺度的大小（非欧氏距离）。显然，可以很轻易地将这种尺度定义与整个区域中的单元格一一对应起来，对于一个研究区域来说，用无数条等值线去覆盖整个区域，每条曲线代表了一个尺度，也就意味着对于研究区域中的任意一点，都能找到划过该点的等值线，同时也就确定了它的尺度。如果该系统是自相似的，那么这些不同尺度上的函数值就可以通过幂律准则建立起相互之间的关联，意味着一旦已知其中某个尺度上的函数值，就能计算出所有尺度上的值。下面给出GSI模型的符号描述，如上所述，要建立一个GSI模型，则需要确定三个要素：(1)尺度改变算子Tλ；(2)一个基准圆或者球E1和一组由其生成的等值线Eλ；(3)等值线尺度的度量函数φ。幂律关系是湍流等地球物理领域中的一个基本准则，例如在湍流域中，结构函数满足S(λ-1x)=λ-2HS(x),S为结构函数，λ是尺度比（注意与Λ区分），有λ=φ(E1)/φ(Eλ)，H代表幂阶数，x为位置或者距离向量。上述模型可视为各向同性的，Schertzer D等在此基础上，将其调整为S(Tλx)=λ-2HS(x)，其中Tλ=λ-G是尺度算子，G是一矩阵，λ-G为一矩阵函数，需要将其化为指数形式然后通过幂级数展开进行计算[20,21]。可以看出，一般结构函数中的各向同性尺度被一个更一般的尺度算子λ-G所取代，意味着一组同心圆等值线被一组可以任意复杂的曲线所代替。GSI模型本质上就是将一个尺度转换算子λ-G不断地作用在一个圆或者其他曲线上，随着λ的变化从而生成一组同心等值线的过程，这组等值线仅仅用G中少数的几个参数就关联了起来。下面看一下φ的定义，对于一个圆或者球尺度φ(E1)（基准尺度）来说，很容易找到一个正数来定义，如圆或者球的半径，而对于一个不规则形状的曲线，应如何定义呢？从圆或者球半径的定义受到启发，已知圆或者球半径与圆面积或者球体积之间满足幂函数关系，如其可以表示为φD(E1),D为该半径φ(E1)的幂。因此，这里可以采用对不规则曲线的面积或者体的体积进行幂运算来获取其尺度，且结果肯定是一正数，如果该不规则曲线为一椭圆，其面积为A，则其尺度可以定义为A1/2。
式中：Z(xi)为某点的函数值，这里指的是区域某点的高程值（m);N为某确定间隔的样点对数量；xi为某点的向量坐标（xi,yi);h为两点之间的增量，有h=(△xi,△yi)。如果半变异函数具有幂律特征，那么变换后的公式为γ(Tλh)=λ-sγ(h),s为幂阶数。总之，GSI模型使用少量参数来关联各级等值线，将它们纳入到一个统一的框架中，使从全局上控制半变异函数成为可能。这里需要强调的是，GSI模型不仅仅是一种幂律模型，更重要的是，它提供了一种坐标转换的思路和方法，一种全局各向异性结构各向同性化的方法。如前所述，GSI系统结构是尺度算子λ-G不断地作用在一个圆形曲线上从而生成的一组各向异性复杂曲线，那么它的逆运算就是将一组各向异性的复杂曲线转换成了同一个圆，然后再分别除以各级等值线的尺度比，从而就实现了各向同性化，后面将会把这种坐标转换方法应用于理论半变异函数模型的拟合和空间数据插值中。
【参考文献】：
期刊论文
[1]基于两种插值算法的三维地质建模对比[J]. 冯波,陈明涛,岳冬冬,李胜涛,贾小丰,宋丹. 吉林大学学报(地球科学版). 2019(04)
[2]复杂地形地区月平均气温(混合)地理加权回归克里格插值[J]. 聂磊,舒红,刘艳. 武汉大学学报(信息科学版). 2018(10)
[3]基于RASM的紧支撑径向基函数自适应并行地形插值方法[J]. 吕海洋,盛业华,李佳,段平,张思阳. 武汉大学学报(信息科学版). 2017(09)
[4]各向异性的分形地形生成方法研究[J]. 夏伟杰,周建江,姚楠. 中国图象图形学报. 2009(11)
本文编号：3501261
【文章来源】：地理研究. 2020,39(11)北大核心CSSCICSCD
【文章页数】：19 页
【部分图文】：
传统坐标转换法和GSI坐标转换法对各向异性半变异函数等值线处理对比
GSI模型（Generalized Scale Invariance），也叫广义尺度不变模型，是一种幂律模型，它是Schertzer D等在使用分形理论研究湍流现象中的尺度不变特征提出来的，他们认为在自然界中除了一些简单的自相似现象以外（如两个物体经过放大和缩小变得相同），还存在一些复杂的自相似现象（经过旋转、拉伸和缩放后变得相同）[20,21]。如前所述，坐标转换的核心是旋转和尺度缩放操作，同样这两种操作也是GSI的核心思想，它能够通过这两种操作兼顾全部等值线的变形信息，从而使半变异函数结构从整体上得到控制。GSI模型中比较难理解的是尺度概念，同其他幂律模型相比，GSI中尺度定义的方式有所不同，一般幂律模型中尺度是定义在某个支撑区间上，如污染物浓度值采样的某个时间段、矿石品位估计的矿块体积等物理量上，而GSI将位于同一条等值线（如图1中的圆和椭圆，也可以是很复杂的曲线）上的点视为同一尺度，即一条等值线代表一个尺度，相同尺度上点位的函数值都是相等的。那么这种尺度应如何度量呢？对于分布在圆上的点，可以利用该点到原点的距离作为其尺度的度量，即半径（圆上每个点都有一个尺度值，且都相等）。按照这种定义，对于一些复杂几何曲线如椭圆上的点来说，它们到原点的距离是不等的，显然这种定义在GSI模型中是行不通的，因此需要提出一种新的尺度度量函数或范式。通常在操作欧氏距离中的点时，关注的重点是坐标值和其坐标构成的向径距离（尺度），不同的是，在这里操作这些点时，既要习惯于其在欧氏坐标系中的坐标，同时还要关注其位于某条等值线上，因为后者决定了其尺度的大小（非欧氏距离）。显然，可以很轻易地将这种尺度定义与整个区域中的单元格一一对应起来，对于一个研究区域来说，用无数条等值线去覆盖整个区域，每条曲线代表了一个尺度，也就意味着对于研究区域中的任意一点，都能找到划过该点的等值线，同时也就确定了它的尺度。如果该系统是自相似的，那么这些不同尺度上的函数值就可以通过幂律准则建立起相互之间的关联，意味着一旦已知其中某个尺度上的函数值，就能计算出所有尺度上的值。下面给出GSI模型的符号描述，如上所述，要建立一个GSI模型，则需要确定三个要素：(1)尺度改变算子Tλ；(2)一个基准圆或者球E1和一组由其生成的等值线Eλ；(3)等值线尺度的度量函数φ。幂律关系是湍流等地球物理领域中的一个基本准则，例如在湍流域中，结构函数满足S(λ-1x)=λ-2HS(x),S为结构函数，λ是尺度比（注意与Λ区分），有λ=φ(E1)/φ(Eλ)，H代表幂阶数，x为位置或者距离向量。上述模型可视为各向同性的，Schertzer D等在此基础上，将其调整为S(Tλx)=λ-2HS(x)，其中Tλ=λ-G是尺度算子，G是一矩阵，λ-G为一矩阵函数，需要将其化为指数形式然后通过幂级数展开进行计算[20,21]。可以看出，一般结构函数中的各向同性尺度被一个更一般的尺度算子λ-G所取代，意味着一组同心圆等值线被一组可以任意复杂的曲线所代替。GSI模型本质上就是将一个尺度转换算子λ-G不断地作用在一个圆或者其他曲线上，随着λ的变化从而生成一组同心等值线的过程，这组等值线仅仅用G中少数的几个参数就关联了起来。下面看一下φ的定义，对于一个圆或者球尺度φ(E1)（基准尺度）来说，很容易找到一个正数来定义，如圆或者球的半径，而对于一个不规则形状的曲线，应如何定义呢？从圆或者球半径的定义受到启发，已知圆或者球半径与圆面积或者球体积之间满足幂函数关系，如其可以表示为φD(E1),D为该半径φ(E1)的幂。因此，这里可以采用对不规则曲线的面积或者体的体积进行幂运算来获取其尺度，且结果肯定是一正数，如果该不规则曲线为一椭圆，其面积为A，则其尺度可以定义为A1/2。
式中：Z(xi)为某点的函数值，这里指的是区域某点的高程值（m);N为某确定间隔的样点对数量；xi为某点的向量坐标（xi,yi);h为两点之间的增量，有h=(△xi,△yi)。如果半变异函数具有幂律特征，那么变换后的公式为γ(Tλh)=λ-sγ(h),s为幂阶数。总之，GSI模型使用少量参数来关联各级等值线，将它们纳入到一个统一的框架中，使从全局上控制半变异函数成为可能。这里需要强调的是，GSI模型不仅仅是一种幂律模型，更重要的是，它提供了一种坐标转换的思路和方法，一种全局各向异性结构各向同性化的方法。如前所述，GSI系统结构是尺度算子λ-G不断地作用在一个圆形曲线上从而生成的一组各向异性复杂曲线，那么它的逆运算就是将一组各向异性的复杂曲线转换成了同一个圆，然后再分别除以各级等值线的尺度比，从而就实现了各向同性化，后面将会把这种坐标转换方法应用于理论半变异函数模型的拟合和空间数据插值中。
【参考文献】：
期刊论文
[1]基于两种插值算法的三维地质建模对比[J]. 冯波,陈明涛,岳冬冬,李胜涛,贾小丰,宋丹. 吉林大学学报(地球科学版). 2019(04)
[2]复杂地形地区月平均气温(混合)地理加权回归克里格插值[J]. 聂磊,舒红,刘艳. 武汉大学学报(信息科学版). 2018(10)
[3]基于RASM的紧支撑径向基函数自适应并行地形插值方法[J]. 吕海洋,盛业华,李佳,段平,张思阳. 武汉大学学报(信息科学版). 2017(09)
[4]各向异性的分形地形生成方法研究[J]. 夏伟杰,周建江,姚楠. 中国图象图形学报. 2009(11)
本文编号：3501261
本文链接：https://www.wllwen.com/kejilunwen/dizhicehuilunwen/3501261.html
