18 计算机技术与数学创造性思维培养

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第 11 卷第 4 期 2002 年 11 月

数 学 教 育 学 报
JOURNAL OF MATHEMATICS EDUCATION

Vol.11, No.4 Nov., 2002

计算机技术与数学创造性思维培养
潘巧明 1，张维忠 2
（1．丽水师范专科学校 计算机系，浙江 丽水

323000；2．浙江师范大学 数理与信息科学学院，浙江 金华 321004）

摘要：利用计算机技术创设数学教学情境，培养学生的数学创造性思维是实现数学教育现代化的一条有效途径．利用 计算机技术可以帮助学生积累数学知识，优化认知结构；激发创造性思维诱因；加强形象思维、发散思维和直觉思维的培养， 使学生能辩证地运用各种思维方式进行数学创造性思维． 关键词：计算机；创造性思维；案例分析 中图分类号：G434 文献标识码：A 文章编号：1004–9894（2002）04–0059–04

数学创造性思维是指主体在数学学习过程中， 通过自己的独立思维活动解决数学问题的思维过 程，一般分为 4 个阶段，即选择与准备、酝酿与构 思、领悟与突破、完善与检验，其结果是一种对已 有数学知识的再发现，或是解决了一个新的数学问 题．波利亚认为数学教育应尽可能地为学生从事独 立的创造性活动提供机会，任何一个学生都可以在 某一水平上进行数学创造性思维活动．数学教学实 践表明，数学创造性思维培养的关键是激发学生创 造性思维的发生机制，计算机技术在数学教育中运 用，可以帮助学生积累数学知识，优化认知结构， 激发学生创造性思维诱因，从而加强学生形象思 维、发散思维和直觉思维的培养，使学生辩证地运 用各种思维方式进行数学创造性思维．笔者将根据 数学创造性思维形成理论和计算机技术的特点，通 过对数学 CAI 典型案例的分析， 具体探讨如何利用 计算机技术培养学生的数学创造性思维．

象， 学生听懂了教师讲课的内容， 却不会独立解题， 更谈不上创造性思维了．计算机技术在数学教育中 的运用，以其形象直观的特点对数学对象进行多重 表征，使数学知识的反映形式更加适应学生已有的 认知基础， 便于学生学习数学， 深入理解数学知识， 优化数学认知结构，是培养学生数学创造性思维的 良好认知工具． 案例 1 圆柱、圆锥、圆台的侧面积学习． 研究圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关 系时，教师往往采用以数学符号为表达形式的公式 分析和语言文字分析相结合，说明 3 个公式之间的 联系．学生的理解一般都只停留在短时记忆阶段， 当时是懂了（能够独立写出 3 个公式并阐述 3 者的 联系） ，但在以后解决问题时却不能灵活运用．一 次课上学生在知道圆台的侧面积公式的同时，还在 拼命地用脑子回忆圆柱、圆锥的公式，而不是用 3 者之间的联系来帮助回忆．这一现象的根本原因就 在于他们当时仅仅是听“懂”了，只是搞清楚了教 师的语言，教师正在进行的每一个运演步骤，学到 的知识在大脑中的储备情况是零散的、片断的，至 于数学最为本质的思想并没有在头脑中形成有机 轮廓，所以这些知识在以后的运用过程中很难系统 地发挥作用．笔者针对这一情况，采用计算机辅助 教学，把圆柱、圆锥、圆台 3 者侧面积关系首先转 化为 3 者的图形关系，演示了由圆柱变成圆台再变 成圆锥的过程，在此观察基础上让学生分析出 3 者 的侧面积关系，利用计算机技术创设情境，对数学 的理论达到能洞察其直观背景，并能看清楚它是如 何从具体特例过渡到一般抽象形式．这种教学方法 的测试结果显示学生能把这一知识纳入长时记忆

1 积累数学知识 优化认知结构
数学创造性思维依赖于扎实的基础知识和技 能，并使所学的数学知识与方法系统化、条理化， 所以，优化学生已有的数学认知结构是进行数学创 造性思维的前提．由于数学知识，特别是作为数学 教育内容的基础知识，可以用不同的数学命题来反 映．其中有的反映方式便于学习、理解和掌握，有 的则不然，像一些抽象、严谨，适合于科学研究的 反映方式，则不利于数学教育．所以在培养学生数 学创造性思维过程中，必须谨慎处理数学命题的反 映形式，尽可能让学生容易理解，形成良好的数学 认知结构．在数学教育中笔者常可以看到这样的现

收稿日期：2002–10–20 基金项目：全国教育科学“十五”规划教育部重点课题（DHA010276） 作者简介：潘巧明（1970—） ，男，浙江松阳人，丽水师范专科学校计算机系讲师，硕士，主要从事计算机辅助数学教学研究．

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中，取得较为理想的教学效果．我们的教学反思表 明，数学公式和数学语言虽然精练，但有时不利于 学生理解，而利用计算机技术呈现数学对象时，可 以超越传统数学言语的表达形式，加深学生对数学 的体验，有利于观察和发现数学现象的本质，形成 良好的知识结构，在数学创造性思维培养中不失为 一种有效的手段．

了了之， 掩没了创新思维的火花． 而现在这位学生， 在计算机技术的支持下很快验证并否定了这个猜 想，并在验证过程中产生了新的猜想，最终得出 SE?TE / (SE＋TE) = EU?EV / (EU＋EV) 这个完美的等式，并用数学逻辑进行了证明．在此 例教学中计算机技术提供了新的数学学习环境是 该生能够顺利进行创新思维的重要诱因，没有计算 机提供的实验环境，进行快速测量与及时反馈，学 生就会用更多的时间去做低水平的数学任务，渐渐 地失去进行创造性思维的激情．因此，我们必须充 分挖掘计算机潜力，创设出更多、更好的数学学习 环境，使它成为培养学生创造性思维的有力工具．

2 激发学生创造性思维诱因
计算机技术能使一些数学关系可视化，并能展 现出数学关系的变化过程，快速反馈验证结果，它 缩短了学生获取数学体验的时间，使数学教育有足 够多的时间在高层次思维水平上进行，使学生对数 学的理解更深刻．比如利用计算机技术创设平移、 旋转、反射对称、放大、缩小，跟踪轨迹情境，进 行设疑、制错、创难、求变，激发创造性思维诱因， 是计算机培养学生数学创造性思维的又一特长．我 们根据新旧知识内在联系和学生的认知水平，设计 出有利于学生探索的多种情境，利用新旧知识之间 的矛盾激发学生创造性思维诱因，让学生提出问 题、发现问题、解决问题，综合运用各种思维方式 进行创造性思维． 案例 2 “蝴蝶定理”的学习． 从圆 O 任意一条弦的中点 E 作 2 条直线交圆得 4 个点 （如 图 1 所示） ，连接 2 条线段后， 得到的图形像是一只蝴蝶，2
?O L E M

3 培养学生创造性思维的典型案例
在数学思维方式、方法方面，由于创造性思维 并非是一种单一性的思维，因此必须充分重视形象 思维、发散思维和直觉思维的培养，并注重各种思 维方式的辩证运用，以达到对学生创造性思维培养 的目的[2]．计算机技术在数学各种思维方式培养方 面，以其可以揭示出数学知识的发生、发展过程， 挖掘出具体知识背后的数学思想和方法，充分暴露 数学思维过程等优点，使学生创造性思维能力得到 培养． （1）利用计算机技术培养学生数学直觉思维能 力的典型案例分析． 案例 3 对椭圆与双曲线“离心率”的认识． “离心率”是刻画椭圆与双曲线形状的一个数 值，但利用传统的教学手段很难说清这里“数”与 “形”之间的内在联系．对于一个确定的曲线（椭 圆或双曲线） ，一眼看去谁也无法说出离心率确切 的数值；反之，在给定了离心率的数值后谁也无法 在黑板上画出与此对应的准确的图形．至于离心率 变化时曲线的形状如何随之变化，双曲线的离心率 与渐近线之间夹角的内在联系，传统教学只能通过 教师的讲述启发学生用“心灵”去想象了．借助于 计算机技术，学生的直觉思维被激活了．首先屏幕 上的线段 c 与 a 的长度可以通过鼠标拖动其端点加 以改变，这时椭圆的形状也随之改变．学生通过观 察第一直觉是椭圆的形状是能够用 c 与 a 之比反映 的，再利用“几何画板”的测量功能即时地测量出 c 与 a 的长度、计算出它们的准确的比值并显示在 屏幕上，由此可以方便地实现由定性到定量分析的 过渡，把问题引向深入．用什么数值刻画椭圆的形

条线段与弦分别交于点 L、M， 图 1 圆（一） 则有：LE=EM [1]． 学生不难证出这道题．计算机技术可以让学生 验证这个结论．在几何画板上，利用其度量功能， 移动 E 点观察 2 线段长度，让学生“看”到定理成 立．这一验证激发了一位学 生的兴趣，他提出如果再加 一个同心圆，2 圆与直线相 交得 8 个点，如图 2 所示， 连接得到一个扩展的花蝴 蝶，其 2 翼与弦交得 4 个点 与 E 相连成线段，是否也有
S T

? O E U V

图 2 圆（二） 某种等式关系．比如， SE＋TE=EU＋EV 或 SE?TE=EU?EV， 这种创新的猜想也许并不稀奇，但是在传统的学习

环境下，这些猜想很难验证正确与否，最后只能不

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状最适合呢？进而研究离心率的大小与曲线形状 的内在联系，什么时候椭圆显得更“圆” ，什么时 候显得更“扁” ；学生的直觉思维产生的猜想，立 刻在计算机上可以进行验证．同时关注 c 与 a 的大 小关系对图形的影响，当把 c 的长度调整到比 a 大 时，屏幕上的椭圆变成了双曲线，再利用实验的方 法研究离心率对双曲线的形状与渐近线的夹角的 影响．计算机的参与，使学生的直觉思维一步步得 到验证，同时又产生一个又一个新的直觉思维猜 想，为学生创造性思维培养创设了良好的条件． （2）利用计算机技术培养学生数学形象思维能 力的典型案例分析． 案例 4 极限形式化定义学习． 其内容已经超越感官上能直接把握的直观化 对象，是学生最难理解的定义之一．如果借助计算 机技术构造想象来帮助理解这一定义，可以取得特 殊的效果．数列极限的“ε-N”定义，学生遇到语 句如此长的数学定义，加上其中包括那么多的数学 符号：ε、an、A、n、N，要让学生理解它，必须 从学生可接收的粗略的描述极限的语言出发过渡 到十分形式化的ε-N 定义．为此，我们利用计算机 技术设计了如下的情景．在“如果一个无穷数列 an 变到后来无限制地接近某一个常数 A，就说这个数 列的极限是常数 A”这句话的下面动画式地依次显 示：①an 接近某一个常数 A；②an 无限制地接近某 一个常数 A；③an 变到后来无限制地接近某一个常 数 A． 接着又在这 3 句话的后面依次显示： an ? A ① 是一个很小的正数；② an ? A 能够要多小有多小， 即对无论多小的正数ε，不等式 an ? A <ε能够成 立；③对于预先给定的无论多小的正数，只需取足 够远的项 N，那么它以后所有的项都满足 an ? A < ε ．稍后以此为背景我们开出一个窗口显 示出数列极限的ε-N 定义．在此之后，通过具体例 子用图表显示 an ? A 的值； 用模拟的放大镜在数轴 上显示表示数列的点动态地趋向其极限的情况；为 帮助学生深入理解ε-N 定义， 利用计算机创设了自 由探试的环境：让学生自由地键入 N，屏幕则显示 相应的一个 N 及后面的 5 项的值和这些项与极限的 误差．通过反复实验，利用计算机技术对极限的形 式化定义精心设计其逐次精确化的过程，使原来难 懂的极限的ε-N 定义，变得容易理解了．这是一种 帮助学生形象思维新的尝试，它让学生通过亲身参 与实验与运算而不是听教师讲授来领悟数列极限

的概念．从感知到了解再过渡到形式化的定义，逐 次抽象，利用计算机技术激发学生已有知识和新知 识之间的联系，帮助学生进行形象思维． （3）利用计算机技术培养学生数学发散思维能 力的典型案例分析． 案例 5 点的轨迹学习．
F A D E C

如图 3，C 是圆 A 内的一 个定点，D 是圆上的动点，求 线段 CD 的垂直平分线与半径 AD 的交点的轨迹方程． 学生通过分析可得它的轨
图3

圆（三）

迹是一个椭圆，至于它是否正确，如何检验是传统 教学中一个难点．如果不经过检验，学生难以形成 对轨迹的感性认识，无法看清问题的本质，即使开 展变式训练，也难以达到发散思维训练的效果．此 时若用计算机技术辅助教学，让学生用几何画板软 件，亲手实践，拖动点 D，保留点 F 的轨迹，学生 目睹了椭圆轨迹的形成过程，同时发现 EF 一直是 椭圆的切线，可以深入理解椭圆的第一定义．在此 基础上进行一系列研究， 如在 CD 上另取一个点 G， 探求点 G 的轨迹；探求 CF 的中点 I 的轨迹，问题 的提出与解决激发了学生的兴趣，学生开始自己提 出问题，进行联想、类比和直观推理．若点 C 拖到 圆外， 以上各题的点的轨迹会发生什么变化？在 EF 上取一点 S，S 的轨迹是什么？计算机技术使我们 可以深入研究这道题，通过这些探究使学生明确探 求一个点的轨迹，主要从 2 个角度解决问题，一是 找出动点变动的几何条件，二是影响动点变动的因 素．一位同学在自编变式练习过程中，想寻找椭圆 的另一条关于长轴对称切线，通过延长线段 DA 交 圆于 G，连结 CG，作它的垂直平分线（另一条切 线）交 EF 于 H，发现不论切线怎么变化，2 切线 交点 H 的轨迹是始终在一条直线上（如图 4） ，仔 细研究证实这条直线是椭圆的 准线，从而将椭圆的第一定义 与第二定义在这个变式练习过 程中有机地联系在一起，计算 机技术在培养发散思维过程中 显示了巨大的威力，发散思维
H D E F
?A

C

G

最终让学生归纳出同类问题的 解题规律同时，还发现了数学定义间必然的联系． 综上所述，利用计算机技术创设数学教学情 境，培养学生数学创造性思维是实现数学教育现代

图4

圆（四）

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化的一条有效途径．计算机技术以其能对数学对象 的多重表征、形象显示和快速反馈的特长，帮助学 生积累数学知识，优化认知结构，激发创造性思维 诱因，在培养形象思维、直觉思维和发散思维中发

挥重要作用，促进学生数学创造性思维的培养．但 同时也要防止过分依赖媒体视觉化的效果，影响思 维的深度，导致数学抽象思维能力的削弱．

Technique of Computer and Culture of Mathematics Creativity Thinking
PAN Qiao-ming1, ZHANG Wei-zhong2
(1. Department of Computer Science, Lishui Training School, Zhejiang Lishui 323000, China; 2. Fatulty of Mathematics, Physics and Information Science, Zhejiang Normal University, Zhejiang Jinhua 321004, China) Abstract: It was a valid path to realize modernization of mathematics education, which set up teaching situation by making use of the computer technique and culture the student creativity thinking of mathematics. It was discussed that application of the computer technique to culture mathematical creativity thinking by case analyze of mathematics CAI, such as to help the students to accumulate the knowledge of mathematics, to establish good cognition structure, stir up to incentive of creativity thinking, enhance the student culture of thinking in images, divergence thinking and intuitive thinking, make student can apply the every kind of thinking method doing mathematical creativity thinking. Key words: computer; creativity thinking; case analyzing

[责任编校：周学智]

勘误
正如下： 数学教育学报 第七届董事编委会

? 勘

误 ?

（1） 《数学教育学报》2002 年第 3 期刊登的 王梓坤 院士致《数学教育学报》贺电，校对有误现更

及有关同志： 今年是本学报创刊十周年．十年来，董事会及各位编委做了大量工作，在全国数学教育界的大力支 持下，本学报水平逐年提高，至今已成为全国高学术水平的刊物，深受数学界的广泛欢迎．我作为主编，， 特向各位先生致以衷心的感谢，并预祝数学教育学报在内容、装帧、发行等各方面将有更大的进步，同 时也预祝第七届董事编委会取得成功． 此致 敬礼 王梓坤 2002–06–08 （2） 《数学教育学报》2002 年第 3 期刊登的《西南联大数学名师的“治学经验之谈”及启示》一文 （作者：徐利治 先生）中“许宝禄”应为“许宝 ” ．



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