基于Lyapunov指数的弹性约束碰振系统的稳定性分析

发布时间：2021-06-06 02:34

　　以含弹性约束的两自由度碰撞振动系统为研究对象,通过构建系统的Poincaré映射,将非光滑连续动力系统转化成离散时间动力系统;再通过Gram-Schmidt正交化、范数归一化和迭代的方法得出了系统Lyapunov指数谱.结合系统分岔图、相图和Lyapunov指数谱,分析了系统周期运动的稳定性与各种分岔行为.结果表明,利用Lyapunov指数谱可以有效判定此类系统的稳定性. 

【文章来源】：兰州交通大学学报. 2020,39(03)

【文章页数】：7 页

【部分图文】：

图1 两自由度含弹性约束碰撞振动系统动力学模型

取系统参数(1):μm=0.9,ξ=0.01,μk2=0.9,μk3=0.9,b=0.25,f20=0和ω∈[2.04,2.2].系统在碰撞面∑p和定相位面∑T上的单参分岔图以及Lyapunov指数谱图如图2所示.符号n-p中n表示激励力周期数,p表示当 x ˙ 1 - x ˙ 2 >0 时振子M2与约束面碰撞的次数;GR表示擦边分岔,PB表示倍周期分岔.随着分岔参数ω的变化,从图2可以看到,当系统处于周期运动状态时,最大Lyapunov指数小于零(如当ω=2.04时,结合相图(图3(a))和Lyapunov指数谱图(图3(b))可知系统处于稳定的周期运动,这时它的四个Lyapunov指数均为负值,且其中两两无限靠近);当系统处于混沌状态时,最大Lyapunov指数大于零(如当ω=2.101 28时,结合相图(图4(a))和Lyapunov指数谱图(图4(b))可知系统处于混沌运动,这时它所对应的Lyapunov指数中有一个大于0,另三个均小于0(其中两个两两无限靠近);当系统的周期运动发生分岔时,系统的最大Lyapunov指数等于零(当ω=2.082 745和2.170 481 510 295,如图5所示).当ω=2.082 745时,系统的最大Lyapunov指数值等于零,其余的均小于零(图5(a)所示),同时系统映射的Jacobi矩阵的特征值为:

λ1,2=0.515 7590.727 735i,|λ3,4|=0.891 967.此时一对复共扼特征值穿越单位圆周,其余特征值仍然保留在单位圆周内.当ω递增穿越ω=2.082 745时,周期运动失稳发生Hopf分岔,形成概周期运动,在Poincaré截面上形成一吸引不变圈(图6(a)所示);随着参数ω的逐渐增加,吸引不变圈经历锁相(图6(b)所示)和环面倍化(图6(c)所示);参数再增加,倍化环破裂进入混沌(图6(d)所示).

【参考文献】：
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本文编号：3213414