1∶1内共振条件下受基础激励屈曲梁的非线性振动和分岔分析
发布时间：2021-08-09 02:51
研究两端固定屈曲梁这种同时含有2,3次非线性项的系统受基础简谐激励作用下的非线性振动响应及分岔演化过程。对屈曲梁的运动微分方程,利用Galerkin方法分离时间和空间变量,应用增量谐波平衡（IHB）法自动追踪屈曲梁的非线性振动响应的周期解和倍周期解,并用Floquet理论分析其解的稳定性。研究表明屈曲梁对称模态的固有频率随屈曲程度而变化,反对称模态的固有频率保持不变。研究发现基础简谐激励作用下,不同屈曲程度时存在两种截然不同的非线性现象:1)在非共振时,反对称模态未能被激发,系统经过发生倍周期分岔通向混沌运动;2)在1∶1内共振条件下,反对称模态在一定的频率区间里会被激发,系统发生Hopf分岔导致具有等间距边频带的准周期运动,最后至混沌运动。利用IHB法得到结果与用Runge-Kutta法得到的数值结果一致。
【文章来源】：振动工程学报. 2020,33(04)北大核心EICSCD
【文章页数】：11 页
【部分图文】：
图1 两端固定屈曲梁在基础简谐激励作用下振动
本文以文献[9]中Kreider和Nayfeh实验所用的梁为计算模型。其梁长27.922cm，宽1.270cm，厚0.508mm，杨氏模量为206.843GPa，密度为7805.733kg/m3。取方程（12）中外激励的振幅a为0.2246，式（23）中模态阻尼系数ξ为0.04。根据上述计算梁各阶固有频率的方法，代入数据可计算得到各阶固有频率?j随跨中高度b的变化。图2给出了前4阶固有频率随跨中高度b的变化，从图中可看出，随着跨中弯曲的增加，梁的反对称模态固有频率保持不变，而对称模态固有频率不断增加。在某些条件下，梁的各阶固有频率之间存在着倍数关系，使得梁的各阶模态之间存在着可能发生1∶1,1∶2,1∶3内共振的条件，限于篇幅及具体（结构）参数所对应产生内共振的条件，本文将重点聚焦于1∶1内共振条件下曲屈梁的非线性动力学行为的研究。本文考虑了两个不同跨中高度情形下梁的振动工况。工况1）当跨中高度b1=0.0018，非共振时，梁的前4阶固有频率分别为26.660,44.363,106.988,182.118，此时梁的第1阶固有频率小于第2阶固有频率；工况2）当跨中高度b2=0.0036，存在1∶1内共振时，梁的前4阶固有频率分别为47.643,44.363,118.975,182.118，此时梁的第1阶固有频率接近第2阶固有频率，第1模态与第2模态之间存在1∶1内共振条件。
图3(a）中a点外激励的频率为30.6，从a点开始计算倍周期分岔之后产生的period-2周期解，令m=2,nc=11,ns=10，式（35）中Δω为-0.01，为15.3。对计算得到的period-2周期解进行稳定性分析可发现，在图3(b）中b点外激励频率为29.42处，period-2周期解不稳定，在此处再次发生倍周期分岔。令m=4,nc=17,ns=16，式（37）中Δω为-0.001，为7.355，可计算得到period-4的周期解。同理，在c点外激励频率为29.26处和d点外激励频率为29.2424处发生倍周期分岔分别得到period-8和period-16的周期解。利用Floquet理论对period-16周期解的稳定性进行判定，其Floquet乘子在复平面上通过+1穿过单位圆，运动发生跳跃分岔至另一为period-2周期解的响应曲线ef。在图3(b）中f点外激励频率为29.1824，对应的period-2周期解发生倍周期分岔变为period-4周期解。g点外激励频率为28.8424，对应的period-4周期解发生倍周期分岔变为period-2周期解。h点在外激励为28.4713处发生跳跃分岔，此时频率曲线回折，跳跃到图中相同外激励频率对应的运动稳定点。图4和图5展示了从图3中a点到e点振动响应的变化。即非共振时，外激励频率接近梁的第1阶固有频率时振动响应的分岔演化过程。图4(a）与图5(a）分别为外激励频率为30.7处（图3中a点右侧）稳定的period-1周期解中q1的频谱图和相图。从相图中比较RK法和IHB法，可以发现两种方法得到的结果完全一致。图4(b）与图5(b）分别为外激励频率为29.44处（图3中b点右侧）稳定的period-2周期解中q1的频谱图和相图。图4(c）与图5(c）分别为外激励频率为29.264处（图3中c点右侧）稳定的period-4周期解中q1的频谱图和相图。图4(d）与图5(d）分别为外激励频率为29.2432处（图3中d点右侧）稳定的period-8周期解中q1的频谱图和相图。图4(e）与图5(e）为外激励频率为29.2424处（图3中d点），由于振动响应不断发生倍周期分岔所引起的混沌运动中q1的频谱图和相图。由图5(e）看出，在此混沌运动中存在着两个对称的局部吸引子和一个全局吸引子。图4(f）与图5(f）分别为由其演变得到的稳定的period-2周期解（图3中e点）中q1的频谱图和相图，经过一段时间混沌运动，振动响应从混沌运动中的一个局部吸引子跳跃到另一个与之对称的局部吸引子。
【参考文献】：
期刊论文
[1]矩形磁流变弹性薄板的动力稳定性分析[J]. 田振国,梁金奎. 振动工程学报. 2018(01)
[2]不同脱层位置下脱层屈曲梁振动实验研究[J]. 陈得良,付钦,陈昌萍. 动力学与控制学报. 2015(06)
[3]多频激励局部非线性系统响应求解的降维增量谐波平衡法[J]. 姚红良,王重阳,王帆,闻邦椿. 振动工程学报. 2015(05)
[4]高速柔性并联平台的动力学分析[J]. 张泉,周丽平,金家楣,张建辉. 振动工程学报. 2015(01)
[5]黏弹性屈曲梁非线性内共振稳态周期响应[J]. 熊柳杨,张国策,丁虎,陈立群. 应用数学和力学. 2014(11)
[6]求解非线性系统共振峰值的限制优化打靶法[J]. 廖海涛,高歌. 振动工程学报. 2014(02)
[7]基于增量谐波平衡法的覆冰输电线舞动分析[J]. 晏致涛,张海峰,李正良. 振动工程学报. 2012(02)
[8]粘弹性复合材料屈曲梁非线性参数振动的稳定性和分岔分析[J]. 曾志刚,叶敏. 振动与冲击. 2012(02)
[9]基于增量谐波平衡法的汽车转向系非线性动力学特性研究[J]. 王威,宋玉玲,李瑰贤. 振动工程学报. 2010(03)
本文编号：3331213
【文章来源】：振动工程学报. 2020,33(04)北大核心EICSCD
【文章页数】：11 页
【部分图文】：
图1 两端固定屈曲梁在基础简谐激励作用下振动
本文以文献[9]中Kreider和Nayfeh实验所用的梁为计算模型。其梁长27.922cm，宽1.270cm，厚0.508mm，杨氏模量为206.843GPa，密度为7805.733kg/m3。取方程（12）中外激励的振幅a为0.2246，式（23）中模态阻尼系数ξ为0.04。根据上述计算梁各阶固有频率的方法，代入数据可计算得到各阶固有频率?j随跨中高度b的变化。图2给出了前4阶固有频率随跨中高度b的变化，从图中可看出，随着跨中弯曲的增加，梁的反对称模态固有频率保持不变，而对称模态固有频率不断增加。在某些条件下，梁的各阶固有频率之间存在着倍数关系，使得梁的各阶模态之间存在着可能发生1∶1,1∶2,1∶3内共振的条件，限于篇幅及具体（结构）参数所对应产生内共振的条件，本文将重点聚焦于1∶1内共振条件下曲屈梁的非线性动力学行为的研究。本文考虑了两个不同跨中高度情形下梁的振动工况。工况1）当跨中高度b1=0.0018，非共振时，梁的前4阶固有频率分别为26.660,44.363,106.988,182.118，此时梁的第1阶固有频率小于第2阶固有频率；工况2）当跨中高度b2=0.0036，存在1∶1内共振时，梁的前4阶固有频率分别为47.643,44.363,118.975,182.118，此时梁的第1阶固有频率接近第2阶固有频率，第1模态与第2模态之间存在1∶1内共振条件。
图3(a）中a点外激励的频率为30.6，从a点开始计算倍周期分岔之后产生的period-2周期解，令m=2,nc=11,ns=10，式（35）中Δω为-0.01，为15.3。对计算得到的period-2周期解进行稳定性分析可发现，在图3(b）中b点外激励频率为29.42处，period-2周期解不稳定，在此处再次发生倍周期分岔。令m=4,nc=17,ns=16，式（37）中Δω为-0.001，为7.355，可计算得到period-4的周期解。同理，在c点外激励频率为29.26处和d点外激励频率为29.2424处发生倍周期分岔分别得到period-8和period-16的周期解。利用Floquet理论对period-16周期解的稳定性进行判定，其Floquet乘子在复平面上通过+1穿过单位圆，运动发生跳跃分岔至另一为period-2周期解的响应曲线ef。在图3(b）中f点外激励频率为29.1824，对应的period-2周期解发生倍周期分岔变为period-4周期解。g点外激励频率为28.8424，对应的period-4周期解发生倍周期分岔变为period-2周期解。h点在外激励为28.4713处发生跳跃分岔，此时频率曲线回折，跳跃到图中相同外激励频率对应的运动稳定点。图4和图5展示了从图3中a点到e点振动响应的变化。即非共振时，外激励频率接近梁的第1阶固有频率时振动响应的分岔演化过程。图4(a）与图5(a）分别为外激励频率为30.7处（图3中a点右侧）稳定的period-1周期解中q1的频谱图和相图。从相图中比较RK法和IHB法，可以发现两种方法得到的结果完全一致。图4(b）与图5(b）分别为外激励频率为29.44处（图3中b点右侧）稳定的period-2周期解中q1的频谱图和相图。图4(c）与图5(c）分别为外激励频率为29.264处（图3中c点右侧）稳定的period-4周期解中q1的频谱图和相图。图4(d）与图5(d）分别为外激励频率为29.2432处（图3中d点右侧）稳定的period-8周期解中q1的频谱图和相图。图4(e）与图5(e）为外激励频率为29.2424处（图3中d点），由于振动响应不断发生倍周期分岔所引起的混沌运动中q1的频谱图和相图。由图5(e）看出，在此混沌运动中存在着两个对称的局部吸引子和一个全局吸引子。图4(f）与图5(f）分别为由其演变得到的稳定的period-2周期解（图3中e点）中q1的频谱图和相图，经过一段时间混沌运动，振动响应从混沌运动中的一个局部吸引子跳跃到另一个与之对称的局部吸引子。
【参考文献】：
期刊论文
[1]矩形磁流变弹性薄板的动力稳定性分析[J]. 田振国,梁金奎. 振动工程学报. 2018(01)
[2]不同脱层位置下脱层屈曲梁振动实验研究[J]. 陈得良,付钦,陈昌萍. 动力学与控制学报. 2015(06)
[3]多频激励局部非线性系统响应求解的降维增量谐波平衡法[J]. 姚红良,王重阳,王帆,闻邦椿. 振动工程学报. 2015(05)
[4]高速柔性并联平台的动力学分析[J]. 张泉,周丽平,金家楣,张建辉. 振动工程学报. 2015(01)
[5]黏弹性屈曲梁非线性内共振稳态周期响应[J]. 熊柳杨,张国策,丁虎,陈立群. 应用数学和力学. 2014(11)
[6]求解非线性系统共振峰值的限制优化打靶法[J]. 廖海涛,高歌. 振动工程学报. 2014(02)
[7]基于增量谐波平衡法的覆冰输电线舞动分析[J]. 晏致涛,张海峰,李正良. 振动工程学报. 2012(02)
[8]粘弹性复合材料屈曲梁非线性参数振动的稳定性和分岔分析[J]. 曾志刚,叶敏. 振动与冲击. 2012(02)
[9]基于增量谐波平衡法的汽车转向系非线性动力学特性研究[J]. 王威,宋玉玲,李瑰贤. 振动工程学报. 2010(03)
本文编号：3331213
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