碰撞中动能损失与恢复系数的一般关系及其证明

发布时间：2021-12-16 04:09

　　本文一般性地讨论了碰撞,得到了动能损失与恢复系数的一般关系,对常见的三个结论,即e=1等价于动能不变、e=0等价于动能损失最大,及动能改变ΔK∝（1-e²）,都给予了一般证明。此外,还给出了此类碰撞的核心特征——系统只有一个自由度,其具体条件是:碰撞只发生在一处地方,且为光滑碰撞和严格点碰撞,此外其他约束皆为理想约束。 

【文章来源】：物理与工程. 2020,30(01)

【文章页数】：6 页

【部分图文】：

各种碰撞模型

实际上,如果碰撞满足光滑条件和严格点碰撞条件,就整个系统而言,其自由度必然只有一个。以两粒子一维正碰为例。确定系统状态需两个速度,但存在动量守恒,故只剩下一个自由度。这个自由度可以取为粒子1的速度,也可取为粒子2的速度,或者取为两粒子的速度差Dv=v2-v1。无论取哪个,只要它的取值确定,那么结合动量守恒方程(由初始条件确定总动量),就可以确定系统所有部分的速度情况,从而确定整个系统的状态。更为一般的情形如何呢?先考虑这样的简单情形:系统中的刚体共有N个,分为两串(如图2所示,但也允许有分枝情况出现):前m个为一串,后(N-m)个为第二串。两串中的各成员相互光滑铰接,而碰撞发生在分属两串的两个刚体之间。不会有刚体与这两串都不铰接:如果有,要么它不参与碰撞,要么违反“碰撞只发生在一处地方”的约定。又假定两串刚体分别是自由的,没有哪个刚体与参考系铰接(做定点转动)。

同一刚体内部,必有相对速度?瘙經0i-?瘙經0j和υ′i-υ′j都垂直于相互作用冲量Iji,故同一刚体内部对式(7)～(8)的贡献都是0。对于光滑铰链处,有?瘙經i-?瘙經j=0,故而光滑铰链处对式(7)～(8)的贡献也都是0。于是,式(5)～(6)的右边,或式(7)～(8)中,唯一可能不为0的,来自于碰撞点P处的相互作用(如图3所示)。根据假设,碰撞时只有沿法向n的弹力,且主矩为0。于是,设主矢为I12=I=In,则对式(7)～(8)中的如下典型项,有


本文编号：3537453