基于随机代数变换的数值程序优化方法

发布时间：2020-03-21 16:23

【摘要】：编写正确高效并且易于维护的程序在软件工程领域一直以来都是一件非常具有挑战性的工作,而数值计算程序作为一些资源受限、安全攸关系统的核心部件,保障其正确性、安全性以及计算效率显得尤为重要。目前,绝大多数数值计算程序都是使用浮点精度类型来编写,但是浮点精度类型存在其固有的问题,浮点精度类型在计算过程中会引入舍入误差,因此编写浮点类型的数值程序的开发人员必须具备非常专业的数值计算知识才能够开发出计算稳定的浮点精度程序,并且这样的代码中往往包含了大量的精度相关的操作,导致程序非常复杂难以维护。另一方面,软件开发人员也通过提高程序精度甚至是使用任意精度程序的方式来保证数值程序的正确性,然而这样的程序代码的计算效率会比原来的浮点精度程序慢上成百上千倍,耗费大量的计算资源。针对上述问题,本文提出了一种针对数值计算程序的整体优化方法,能够将任意精度类型编写的数值计算程序自动优化成为高效并且正确的浮点类型的数值计算程序。软件开发人员只需要按照需求中的数学公式编写清晰且易维护的任意精度代码,该优化方法可以自动将这样的代码转换成为与之等价的、正确并且高效的浮点类型的代码。这样一来,不仅数值计算程序的安全性与正确性能够得到保障,而且大大提升原来任意精度程序的执行效率,软件开发人员也不用关注浮点精度类型的误差处理细节,提升了数值计算程序的开发效率。本文的主要工作如下:本文提出了一种优化方法,能够将任意精度类型的数值计算程序优化成为与其等价的浮点类型的数值计算程序,从而使得编程人员只需要使用任意精度类型来设计以及实现数值计算程序。本文提出了一种稳定计算过程的搜索方法,该方法运用规则库中的规则,对不稳定的计算过程进行数学上的等价变换,能够找到一个不稳定计算过程的等价的稳定计算形式。基于上述优化方法,我们实现了一个数值程序的优化工具,该工具共分为四个不同的模块,包括稳定性分析模块,路径提取模块,随机代数变换模块以及路径合并模块。该工具以任意精度类型数值计算程序作为输入,能够生成与原任意精度数值程序等价的更为高效的浮点精度程序。我们在一些测试程序以及GNU科学计算库上评估了我们的优化工具,我们的工具能够成功的检测到这些程序中不稳定的计算过程并实现对这些程序的优化。
【图文】：

ａ邋—邋ｓｉｎ（１０２２），邋ｂ邋—邋ｌｏｇ（１７．１），邋ｃ邋＝邋ｅｘｐ（０．４２）逡逑在这个简单的例子中，所有的输入都是精确的，不存在误差。对应的Ｃ代逡逑码如图２－１所示，我们在６４位的ＦｅｄｏｍｌＯ操作系统上，使用ＧＣＣ４．３．２编译逡逑器，使用２．９版本的ＧＮＣＣ库，，运行该代码，我们可以得到其计算结果为逡逑ｄ邋＝邋２．９１０３８３０４５６７３３７０４Ｅ邋－邋１１，这个结果很显然是完全错误的，其准确的结果逡逑为ｄ邋＝邋－１．３４１８１８９５８Ｅ－１２。如果我们将该计算过程使用的双精度类型修改为扩逡逑展的双精度类型（６４位有效数字），同时我们也将使用到的函数修改为对应扩逡逑展双精度的版本，将ｓｉｎ（１０２２）改为ｓｉｎｌ（１０２２），将ｌｏｇ修改为ｌｏｇｌ，将ｅｘｐ改为逡逑ｅｘｐｌ，我们得到的结果为Ｊ邋＝邋－１．３１４５0４0６１１５６１８５３Ｅ－１２，这个结果和之前的答逡逑案一样，都是错误的。在这个计算问题上，即便是扩展的双精度类型也无法提逡逑供足够的精度使得计算结果正确。逡逑１逦＃ｉｎｃｌｕｄｅ邋＜ｓｔｄｉｏ．ｈ＞逡逑２逦＃ｉｎｃｌｕｄｅ邋＜ｍａｔｈ．ｈ＞逡逑３逡逑４逦ｉｎｔ邋ｍａｉｎ（ｖｏｉｄ）邋｛逡逑５逦ｄｏｕｂｌｅ逦ａ邋＝逦ｓｉｎ逦（ｌｅ２２）；逡逑６逦ｄｏｕｂｌｅ逦ｂ邋＝逦ｌｏｇ逦（１７．１）；逡逑７逦ｄｏｕｂｌｅ逦ｃ邋＝逦ｅｘｐ逦（０．４２）；逡逑８逦ｄｏｕｂｌｅ邋ｄ邋＝邋１７３７４６＊ａ邋＋邋９４２２８＊ｂ邋－邋７８４８７＊ｃ；逡逑９逦ｐｒｉｎｔｆ逦（邋＂ｄ＝％邋？邋１６ｅ＼ｎ’’

２．２任意精度计算逦１３逡逑绝对不存在任何误差的。我们也可以使用ｒｅａｌ类型定义自定义数据类型，例逡逑如矩阵，复数等等，还可以使用ＲＥＡＬ类型实现各种各样的数学函数。ｉＲＲＡＭ逡逑库已经帮助我们实现了一系列常用的数学函数，包括了三角函数、反三角函逡逑数、对数指数函数、幂函数等等。逡逑我们在使用ｉＲＲＡＭ时还有一些注意事项，首先，用户无法使用普通的１０逡逑操作，必须使用ｉＲＲＡＭ自己实现的ＩＯ库，否则可能会导致错误的输入输出。逡逑其次，数值计算程序中无法使用全局的ＲＥＡＬ类型的变量，用户必须尽可能逡逑少地使用ｍａｌｌｏｃ函数来动态分配内存，可以使用ａｌｌｏｃａ来动态分配内存。由于逡逑ｉＲＲＡＭ的特殊语义，在使用第三方库时也必须倍加小心。逡逑ｉｎｕｅ’’ｉ．”逡逑
【学位授予单位】：南京大学
【学位级别】：硕士
【学位授予年份】：2018
【分类号】：TP311.1

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本文编号：2593602