半线性椭圆方程多解计算的一类Barzilai-Borwein型局部极小极大算法

发布时间：2020-09-21 13:09

　　 本文研究了一类半线性椭圆偏微分方程问题的多解计算理论和数值算法。由于模型问题的非线性、解的不稳定性和多重性等困难,设计一种稳定、高效、收敛的多解计算方法具有极大的挑战性.目前已有很多有效的数值算法被成功的应用到多解计算中,如山路算法、高环绕算法、局部极小极大算法(LMM)、搜索延拓法等.本文正是基于LMM算法,对模型问题提出了一类Barzilai-Borwein型LMM算法,其核心思想是通过构造Barzilai-Borwein型步长和一类非单调搜索准则用于求解LMM算法的外层局部极小极大化问题,并分析了基于这类非单调搜索准则的LMM算法的可行性和收敛性.最后应用本文提出的一类Barzilai-Borwein型LMM算法求解了Lane-Emden方程、H′enon方程、非线性Schr¨odinger方程的多个不稳定解,得到了丰富的数值结果.其结果表明,该算法相比传统的LMM算法具有更快的收敛速度.
【学位单位】：湖南师范大学
【学位级别】：硕士
【学位年份】：2019
【中图分类】：O241.82
【部分图文】：

图 2-1: 梯度下降图图 2-2: 函数值随迭代次数的变化图表 2-1: 对应于图2-1三种算法的相关数据.精确线性搜索Armijo线性搜索BB梯度法迭代次数k 50 48 9CPU时间0.034844秒0.005521秒0.002981秒梯度 ‖ ‖ 6.6640E-08 9.3816E-08 2.3359E-13S2.3 非单调线性搜索本章, 我们先介绍在欧氏空间无约束优化问题中几种常见的求解步长的线性搜索方法.设 : → 是一个连续可微函数, 考虑以下无约束最优化问题：min ( ), ( ∈ ).上述问题的线性搜索方法的迭代格式如下： +1= + ,10

及 BB 梯度法求解上述问题时, 梯度范数随迭代次数 的变化, 其相关数据见表2-1, 我们可以从中看出 BB 梯度法的收敛性效果要远远好于其他两种算法.图2-2表示函数值 | ( ) ( *)| 随迭代次数 的变化图, 其中 ( *) 为函数的精确解, 从图2-2中我们发现对 BB 梯度法来说, 函数值的下降不是单调的.9

割线示意图

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本文编号：2823522