N体问题周期轨道的变分方法研究

发布时间：2020-07-23 18:53

【摘要】：天体力学是一个传统的科学分支,主要是利用数学方法研究质点在牛顿万有引力定律下的运动问题,在航空航天和天文学研究中有重要的应用。即使到了三百多年后的今天,天体力学中还有很多问题没有解决。本文在前人研究的基础上,进一步深入研究了天体力学中N体问题的周期轨道及其性质等问题,主要内容包括以下两个部分。3体问题是天体力学中研究最深入的问题之一。在第一部分中,我们用变分方法研究了带电荷三体问题的变分极小解的几何性质。自从Rabinowitz将变分法应用于哈密顿系统的周期解研究以来,很多数学工作者将变分法应用于周期函数空间来研究N体问题,得到很多进展。2000年,龙以明和张世清加上了τ/2反周期限制条件并确定了经典的3体问题在该条件下的变分极小解的几何性质。受他们工作的启发,我们研究了带电荷三体问题的变分极小解的几何性质。需要指出的是,在经典情形下,三体问题的非共线中心构型形状必定是等边三角形;而带电荷三体问题的中心构型可以是任意形状的三角形,甚至可能不存在三角形的中心构型。这给我们的证明带来很大困难,龙和张的证明不再适用于带电荷的情形。经过研究我们成功地推广了证明过程中的一个关键不等式,最后得到τ/2反周期的带电荷3体问题的变分极小解必是由相应的三角形中心构型加上圆周运动构成的。在第二部分中,我们运用带有边界条件限制的变分方法来寻找N体问题中的周期轨道,证明了在我们的变分框架下,变分极小对应的周期轨道必是Broucke-Hénon轨道和Schubart轨道之一。考虑等质量三体问题,用标准的平面直角坐标系来看,Broucke-Hénon轨道和Schubart轨道均关于x轴和y轴对称,其中Broucke-Hénon轨道由三个轨道构成,其中两个轨道关于y轴互相对称,另一条轨道关于原点中心对称;Schubart轨道三个质点都在x轴运动,中间质点与左右两个质点来回碰撞。由于计算机科学的发展,人们用数值方法发现了很多特殊的N体问题的周期轨道可能存在,包括我们所关注的Broucke-Hénon轨道和Schubart轨道,它们的存在性证明成为数学家们关注的焦点之一。由于N体问题有自然的变分结构,牛顿方程的解必然对应泛函作用量的临界点,人们发现很多特解能利用变分方法在某些对称性限制或者拓扑限制下的变分问题的极小得到。A.Chenciner和R.Montgomery于2000年在《Annals of Mathematics》上给出了著名的三体问题8字形轨道的存在性证明,紧接着陈国璋证明了4体问题平行四边形轨道的存在性,类似的方法被用于研究N体问题周期运动轨道的存在性。2004年D.Ferrario和S.Terracini合作发表在《Inventiones mathematicae》的文章用具有对称限制的变分方法对N体问题周期解的存在性和性质做了深入的研究。A.Venturelli于2008年用变分方法给出了Schubart轨道的存在性证明,但Broucke-Hénon轨道存在性一直没有得到解决,从而成为大家所关注的问题。在第二部分中,我们试图利用带有边界限制的变分方法来证明Broucke-Hénon轨道的存在,其中的难点在于排除边界碰撞。通常排除碰撞的方法主要有两种,一种是对碰撞局部扰动使得非碰撞道路拥有更小的泛函从而矛盾,另一种是利用碰撞泛函的下界估计构造测试道路来排除。由于我们的边界条件对于质点顺序的限制,使得我们对轨道的局部扰动也有了限制,通常的排除2体碰撞的方法在我们这里不适用。这里我们利用Jacobi坐标变换发现了满足一定边界条件的变分极小应当具有一些几何性质,而这个结果正好能用于处理某些有顺序限制情形的2体碰撞。Schubart轨道虽然存在碰撞,但也在我们的变分框架下。运用这个几何结果我们发现变分极小的轨道必然对应Broucke-Hénon轨道和Schubart轨道之一。通过数值的近似计算,我们发现两条轨道泛函值很接近,而且似乎Schubart轨道的泛函值要小一些,也就是说很有可能Schubart这个碰撞轨道是这种对称限制的全局极小而Broucke-Hénon轨道是局部极小。在第三部分中,我们用变分方法研究了等质量4体问题的周期轨道,证明了一系列类似于对称顺行轨道的周期或者拟周期轨道的存在性。2003年陈国璋就用变分法研究了N-体问题的周期和拟周期轨道,证明了与四体对称逆行轨道相关的变分极小对应的周期轨道的存在性。迄今关于四体顺行轨道的存在性没有得到证明,为了得这种顺行轨道轨道,我们这里对边界加了更强的限制,而限制越多,碰撞的排除就会越难。借助计算机的辅助,在满足一定条件的时候,我们构造了一系列测试道路来证明变分问题的极小不会有碰撞,进而能延拓成为周期或者拟周期的轨道。运用第二部分内容中类似的几何讨论,我们证明了我们这种情形下得到的变分极小泛函值是严格大于陈国璋文章中所得轨道的泛函值,所以不是同一条轨道。这也是为什么陈国璋在θ_∈(0,π/2)均能排除碰撞而我们只能做到证明在角度θ_∈(0,π/7)时没有碰撞。
【学位授予单位】：南开大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2018
【分类号】：P132

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本文编号：2767708