Ricci-平均曲率流和联络Ricci流

发布时间：2017-10-18 13:49

  本文关键词：Ricci-平均曲率流和联络Ricci流

  更多相关文章： Ricci-平均曲率流 pinching条件 全测地 f-极小超曲面 F-稳定的 奇点 奇点模型

【摘要】：几何曲率流是指对微分流形的几何量进行演化,演化速度为曲率的某个函数.根据几何量的不同,一般分为内蕴的曲率流和外蕴的曲率流.最经典的就是Ricci流和超曲面的平均曲率流.Ricci流是由Hamilton所引入,并成为Perelman完全解决庞加莱猜想的主要工具.受到Hamilton的Ricci流的启发,Huisken最早用抛物方程的方法来研究超曲面的平均曲率流.本文首先研究Ricci-平均曲率流.所谓的Ricci-平均曲率流是指这样的一族浸入X(·,t):Mn→(Nn+1,g(t)),其中g(t)满足Ricci流,x(·,t)满足超曲面的平均曲率流.此时外围空间在Ricci流下演化,从而对超曲面的行为产生影响.我们比较关心超曲面的收敛性问题.在外围空间满足规范化的Ricci流且初始的度量与球空间形式充分接近的情况下,我们证明了如果初始的超曲面满足一个合适的pinching条件,那么这族超曲面在Ricci-平均曲率流下或者在有限时间内收缩到一个圆点,或者收敛到一张全测地超球面.通过构造F泛函,Huisken说明了对于闭超曲面的平均曲率流,其第一类奇点对应着self-shrinker. Colding-Minicozzi对self-shrinker的研究做出了突破性的工作.他们对self-shrinker提出了熵稳定性的概念并分类了熵稳定的self-shrinker.在外围空间是Ricci soliton的情况下,Magni-Mantegazza-Tsatis构造了类似于Huisken的泛函,使之在平均曲率流下单减.之后,在外围空间是收缩的梯度Ricci soliton (N,g,f)的情况下,Yamamoto说明了对于超曲面的Ricci-平均曲率流,其第一类奇点对应于f-极小超曲面,即极限的超曲面满足H＝g(%絝,v).一个很自然的问题就是分类收缩的梯度Ricci soliton中的f-极小超曲面.我们考虑乘积流形Mn×R,其中Mn是一个具有常正Ricci曲率的Einstein流形.通过构造类似于Huisken的F泛函,我们给出f-极小超曲面的自然的分类.重整化群流是由物理学家在研究量子场论中的非线性σ模型时所提出.由此,Streets引入了联络Ricci流,即将Ricci流推广到带挠率的联络上.在本文中,我们考虑3维闭流形的联络Ricci流.奇点分析在曲率流的研究中起到很关键的作用,而奇点的分类一般依据的是几何量的blow-up速度.利用发展方程,我们得到了带由挠率联络所定义的曲率的blow-up速度的下界估计.之后我们分类了联络Ricci流的极大解,并最终给出了其对应的奇点模型.
【关键词】：Ricci-平均曲率流 pinching条件 全测地 f-极小超曲面 F-稳定的 奇点 奇点模型
【学位授予单位】：浙江大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2015
【分类号】：O186.12
【目录】：

• 摘要5-7
• Abstract7-9
• 第一章 绪论9-19
• 1.1 背景介绍9-15
• 1.1.1 Ricci-平均曲率流9-11
• 1.1.2 Self-shrinker与f-极小超曲面11-13
• 1.1.3 联络Ricci流13-15
• 1.2 主要的结果15-19
• 1.2.1 Ricci-平均曲率流的收敛性问题16
• 1.2.2 M~n×R中f-极小超曲面的F稳定性16-17
• 1.2.3 3维闭流形的联络Ricci流的奇点分类17-19
• 第二章 超曲面在Ricci-平均曲率流下的形变19-45
• 2.1 准备工作19-22
• 2.2 规范化Ricci流下的曲率估计22-29
• 2.3 超曲面的拼挤估计29-40
• 2.4 平均曲率的导数估计40-42
• 2.5 定理1.1.1的证明42-45
• 第三章 M~n×R中f-极小超曲面的F-稳定性45-59
• 3.1 准备知识45-48
• 3.2 第一变分与f-极小超曲面48-51
• 3.3 F_a(∑)的第二变分51-56
• 3.4 M~n×R中的F-稳定的f-极小超曲面56-59
• 第四章 3维闭流形的联络Ricci流的奇点59-85
• 4.1 准备工作59-60
• 4.2 发展方程60-66
• 4.3 例子与特殊解66-70
• 4.4 联络Ricci流的奇点70-85
• 参考文献85-93
• 致谢93-95
• 简历95-97
• 发表和录用的文章目录97

【共引文献】

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本文编号：1055283