弹性碰撞振子和相关模型的周期解和Lagrange稳定性

发布时间：2017-12-24 00:35

本文关键词：弹性碰撞振子和相关模型的周期解和Lagrange稳定性　出处：《苏州大学》2015年博士论文　论文类型：学位论文

【摘要】：本文讨论弹性碰撞振子和相关模型的周期解和Lagrange稳定性.碰撞振子是非线性振动和非光滑Hamilton系统的重要模型之一,它们和Fermi-Ulam加速器问题、对偶台球问题、金属断裂学和天体力学稳定性等相关连,其动态行为的研究有助于这些问题的理解.文章有三个主要部分.一、证明了次线性Hamilton碰撞振子的弹性周期解的存在性.对于平面的Hamilton方程或者是Hamilton碰撞振子,Pioncare-Birkhoff扭转定理是证明方程存在周期解或无穷多次调和解的一个基本工具.在证明中关键的一步是在相平面上构造满足扭转条件的环域.当方程是次线性时,其对应的相平面上的扭转比较弱,需要考虑其Poincare映射的若干次迭代,才能产生足够的扭转.但这样多次迭代的副作用是可能有解会跑向原点而导致旋转角度无法估计.与已有的相应无碰撞振子的研究不一样,我们分析了解的盘旋性质,采用“后继映射”的方法分析碰撞振子的解的扭转性.在符号条件下我们给出了一个一般性的定理.然后通过细致的相平面分析把定理应用到次二次线性碰撞振子和弱次二次碰撞振子上.同时,我们也对不符合符号条件并且后继映射无定义的摆型碰撞振子进行了研究.我们引进新的坐标变换把右半平面上的碰撞问题转换到除原点以外的全平面上,再研究相应Pioncare映射的扭转性.二、讨论了拟周期碰撞振子的解的有界性(Lagrange稳定性)问题.作为Moser型的光滑的拟周期小扭转映射的不变曲线存在定理的应用,我们分别讨论了次线性、有界、半线性拟周期碰撞振子的解的有界性(Lagrange稳定性)问题.首先,我们把碰撞问题转化为具有中心对称向量场的Hamilton系统.为克服其角函数的不光滑性我们交换了时间变量和角变量,通过积分、磨光等方法把问题光滑化,再通过一系列坐标变换把它化为可积Hamilton系统的小扰动问题.与非碰撞问题相比我们必须保持变换后的Hamilton系统的向量场仍中心对称,所以我们用一定的技巧使其在每一次坐标变换中保持对称性.最后由其Pioncare映射的不变曲线的存在性得到拟周期碰撞振子的解的有界性.三、讨论了无碰撞的奇异方程在共振点处的无界扰动的周期解的存在性,并应用到相应的径向对称方程的周期解和拟周期解的研究上一定的奇异碰撞问题可能不存在碰撞解,但无碰撞的奇异方程的研究与高维的径向对称方程相关.对扰动项是无界的奇异共振方程,传统的估计其Poincare映射的方法失效,因此我们对其后继映射进行细致的相平面分析估计,然后用拓扑度理论证明方程的周期解的连续统的存在性.相应地就得到了径向对称方程周期解和拟周期解的存在性.我们同时也给出了在共振点处不存在周期解的径向对称方程的例子.
【学位授予单位】：苏州大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2015
【分类号】：O322;O302

【参考文献】