几类四阶非线性发展方程的整体吸引子

发布时间：2017-12-25 05:34

本文关键词：几类四阶非线性发展方程的整体吸引子　出处：《吉林大学》2015年博士论文　论文类型：学位论文

【摘要】：在数学、物理学、天文学、生物学、空间科学、环境科学、气象科学等领域,人们遇到了大量的非线性问题.这些问题有许多都可以用非线性发展方程(组)来表示.自上个世纪八十年代以来,随着许多高阶非线性微分方程模型的提出,越来越多的数学工作者开始把目光投向高阶非线性发展方程的研究并取得了令人瞩目的进展.高阶非线性发展方程理论研究中一个重要的问题是：如果可以证明方程整体解的存在唯一性,那么当时间趋于无穷大时该整体解的渐进性态如何,即方程解的长时间行为的研究.而对非线性高阶发展方程解的长时间行为的研究的一个重要课题是考虑当时间趋于无穷大时在某个函数空间中任意有界集内的初始数据所对应的所有整体解的渐进性态,例如方程整体吸引子的存在性以及整体吸引子的结构如何等(见[1]).本文研究了三种具有广泛物理背景的四阶非线性发展方程的整体吸引子存在性问题.一、在第二章中,我们对如下的一类描述各向异性表面张力作用下能控热力学不稳定晶体增长现象的四阶非线性发展方程的初边值问题的整体吸引子进行了研究.首先,利用Leray-Schauder不动点定理和一系列先验估计,我们得到了该初边值问题(1)整体解的存在唯一性；然后,利用初边值问题所关联的算子半群S(t)的相关性质,证明了在H2空间中有界吸收集的存在性和算子半群5(t)对充分大的时间t的一致紧性,得到了在空间中问题(1)整体吸引子的存在性；进一步,利用已得到的u空间中整体吸引子的存在性和分数次空间的若干性质(见[2]),通过迭代技巧,我们得到了在分数次空间Hk((0≤k+∞)中方程(1)整体吸引子的存在性.二、在第三章中,我们对一类具周期边值条件的Marangoni对流方程的整体吸引子进行了研究.该方程具有如下形式：类似于第二章,我们首先利用Leray-Schauder不动点定理和一系列先验估计得到方程(2)整体解的存在唯一性；然后利用算子半群S(t)的相关性质得到了在空间中问题(2)整体吸引子的存在性；进一步通过迭代技巧,我们得到了在分数次空间Hk(0≤k+∞)中方程(2)整体吸引子的存在性.在这里我们考虑的是二维方程(2)在分数次空间Hk(0≤k+∞)整体吸引子的存在性.而在第二章,我们考虑的是一维方程(1)在分数次空间Hk(0≤k+∞)整体吸引子的存在性.通过比较可以发现,随着维数的升高,问题更具有现实意义,更接近于真实模型且更具有难度,先验估计更难得到.另外,Marangoni对流方程的非线性项为相对于能控晶体增长方程的非线性项,Marangoni对流方程非线性项具有更强的非线性性质,更难控制.在这里我们利用Nirenberg不等式,Sobolev嵌入定理等工具得到了方程(2)在适当空间中的先验估计.三、在第四章中,我们考虑了如下的一类描述薄膜外延增长现象的四阶非线性发展方程初边值问题：薄膜外延增长方程是一类经典的四阶非线性发展方程.曾经有许多数学工作者(例如Winkler, Yagi, Kohn, Tang Tao等)对该方程解的性质以及数值解法进行过相关的研究.在文献[3,4]中,赵晓朋等人曾经考虑过一维情形下和二维情形下初边值问题(3)整体吸引子的存在性.由于非线性项的限制,很难得到在更高维情形下问题(3)解的H2-模先验估计.在这里,我们借助于Lyapunov能量泛函,得到了在n(n≤3)维情形下问题(3)解的H2-模先验估计,进一步利用Temam经典著作[5]中关于整体吸引子存在性的经典定理得到了在H2空间中初边值问题(3)整体吸引子的存在性.
【学位授予单位】：吉林大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2015
【分类号】：O175.29

【参考文献】