几类高维系统的局部分支

发布时间：2017-12-29 12:16

  本文关键词：几类高维系统的局部分支　出处：《上海师范大学》2017年博士论文　论文类型：学位论文

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【摘要】：本文主要研究高维系统的局部分支问题。非线性动力系统的分支和极限环的存在与个数问题在许多学科中都有重要的意义,具有广泛的理论和应用价值。目前二维平面系统的分支理论已经建立了比较完善的研究体系,但高维系统的复杂性和计算难度相较于二维系统都有很大的提升,对高维系统的分支理论还没有建立起系统而完善的研究方法。本文针对一些特殊的高维系统,深入地研究了其Hopf分支、零Hopf分支等问题,得到了一些结果。第一章介绍本课题的来源背景和选题意义。第二章则介绍本文需要用到的预备知识,主要是介绍一些有关极限环和分支理论的基本概念,平面系统的结构稳定性和分支方法,特别是Hopf分支的主要理论。最后介绍了一点高维系统进行分支研究的思想方法,如降维思想和中心流形定理。第三章研究了 一个三维三次系统的Hopf分支。这个系统是最近由Ovsyannikov I.I.和Turaev D.V.提出来的,他们称之为扩展的Lorenz系统(Extended Lorenz System,ELS)。该系统带有5个参数,我们通过分析选择了其中一个参数来进行Hopf分支,利用中心流形定理将系统限制在奇点附近的二维局部中心流形上,然后再借助于平面系统的Hopf分支理论,得到了系统在三个孤立的平衡点处各存在一个极限环,共有三个极限环。第四章继续研究系统ELS的余维2的零-Hopf分支,采用的方法是Lyapunov-Schmidt约简方法。Lyapunov-Schmidt约简方法在研究高维周期系统和自治系统的局部分支方面具有较强的应用价值,它可以用于闭轨分支、Hopf分支、零-Hopf分支、共振分支等,还可以用于一些泛函微分方程的分支研究。我们利用此法研究了系统ELS的零-Hopf分支,通过建立的分支函数的零点个数的计算,得到系统ELS的极限环的存在性和个数。第五章则使用平均理论研究系统ELS的零-Hopf分支。平均理论也是研究高维系统分支时经常使用的一种方法。按照标准的平均理论的步骤,我们将原系统转化为一个平均系统,然后用平均函数的零点来确定原系统的极限环。这一章主要是用于与第四章用Lyapunov-Schmidt约简方法得到的结果进行比对。最后对全文进行了总结,并对进一步的工作作出了展望。
[Abstract]:......
【学位授予单位】：上海师范大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2017
【分类号】：O175

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本文编号：1350260