算术级数中Maass尖形式在指数和中的估计

发布时间：2017-12-31 14:15

  本文关键词：算术级数中Maass尖形式在指数和中的估计　出处：《山东大学》2016年博士论文　论文类型：学位论文

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【摘要】：自守形式的傅里叶系数是一类非常重要的算术函数,其生成的L-函数有很多深刻的性质。例如谷山丰和志村五郎提出的谷山志村猜想,建立了自守形式中的模形式与椭圆曲线之间的联系,后来怀尔斯证明了此猜想,进而证明了费马大定理。因此,对自守形式傅里叶系数的研究一直是数论中的热门问题。在解析数论中,研究算术函数在算术级数中的渐进分布也是一个非常有趣并且有深刻意义的问题。譬如,如果我们把素数的特征函数看为一类算术函数,研究算术级数中的此算术函数分布对于研究哥德巴赫猜想和孪生素数猜想都有很重要的意义。最近,张益唐改进了素数在算术级数中平均分布的一个结果,进而在孪生素数问题上做出了突破性进展。本文我们主要研究的是算术级数中的Maass尖形式的傅里叶系数扭乘上指数函数的分布问题。Maass尖形式作为非全纯的自守形式,其傅里叶系数的性质与全纯的模形式有很多不同。著名的Ramanujan-Petersson猜想说,每一个尖形式的第n个傅里叶系数的上界不会超过n∈对任意的∈0都成立。在模形式的情形下,此猜想由Deligne在1974年的论文[7]中证明。但是在Maass尖形式的情形下,这依然是一个开放性的问题,现在的最好结果是Kim和Sarnak的论文[22]中得到的上界n7/64+∈。尽管Ramanujan-Petersson猜想在此Maass尖形式下依然没有被证明,但是我们可以看到此猜想在平均意义下是成立的。令λg(n)是SL(2,Z)上面的Maass尖形式g的第n个傅里叶系数,我们有如下的估计[12]：从上式可以看出平均意义下我们甚至可以得到更好的上界估计,这说明Maass尖形式的傅里叶系数有很强的的震荡性,通过研究傅里叶系数震荡性可以对其性质有更深刻的理解。为了更好的研究傅里叶系数的震荡性,我们往往考虑其扭乘上指数函数的均值估计。也就是说,我们考虑如下的指数和：其中0≠α∈R, 0≤β≤1, e(x)=e2πix, n～X表示Xn≤2X。当上式中α与β的取值不同时会有不同的估计,可参见[33][34][36]。在本文中,我们把此问题推广到算术级数情形,期望可以看到算术级数中Maass尖形式的傅里叶系数与指数函数的共振现象。下面令λg(n)是SL(2,Z)上面Maass尖形式g的第n个傅里叶系数。我们将研究如下的指数和估计其中0≠α∈R,0≤β≤1, e(x)=e2πix。首先,当|α|βXβ的值较小时,在第三章中我们可以得到S(X)的一个上界估计：定理0.1 令λg(n)为正规化的SL(2,Z)上Hecke-Maass尖形式的第n个Fourier系数,其Laplace算子特征值为1/4+r2。令X1,0β1,0≠α∈R。令l,q∈N,l≤q≤X1/2。如果那么我们有注意到在q=1时的特殊情况下,我们的问题和Sun-Wu的问题是一样的。此时,我们应用[25]中关于傅里叶系数八次均值的结果来代替单个傅里叶系数的上界,可以看到当q=1时,定理0.1余项中X的阶为X1027/2827,从而改进了[36]结果中的X71/192。当|α|βXβ的值较大时,会有不同的情况产生。在第四章中,我们将证明下面四个定理。首先,当β≠1/2时,我们依然可以得到S(X)的一个上界：定理0.2 在上述条件下,如果那么我们有其次,当β=1/2时,我们对|α|的取值进行讨论。可以看到,当|α|的取值较大或者较小时,我们会得到S(X)的上界估计。当|α|的取值合适的时候,我们会得到S(X)的一个渐进公式：定理0.3 在定理0.1的条件下下,如果且β=1／2,当|α|1/q或者|α|(?)/q时,我们有当时,我们有其中上式中δc=1或者0取决于是否存在一个正整数nc,其中c|q且满足我们特别指出,当|α|=2(?)/q时,可以得到一个类似于[38]结果中的通项公式,此时可以看到共振现象的发生。定理0.4 在定理0.1的条件下,如果存在某个k∈N且kX/4,使得|α|=2(?)/q,那么(1.4)等于注意到这里关于q和k=的阶与[38]结果中的阶是一致的。在证明定理0.1-定理0.4的过程中,我们主要是采用[33]和[36]的思想。在证明过程中用的主要工具包括指数和的估计,Voronoi公式等。由于加法特征的正交性,我们在应用Voronoi求和公式后会得到Kloosterman和,此时应用Weil关于Kloosterman和的上界估计去得到q方面的节余,从而得到类似于(1.4)中的主项。在证明过程中,由于我们处理的情况更为一般,所以在参数的选择上我们会做一些改进,使得改进后的参数选取适更为适合。另外,当β=1/2,且α与2(?),k∈Z+相差不大时,我们可以看到共振现象的发生,这同样也可以看做是[33]结果的推广。最后,考虑当Ramanujan猜想成立的情况下,或者说对于全纯的模形式,我们可以得到如下结果定理0.5 假设Ramanujan猜想2.1成立,或者说假设g为一全纯的尖形式,λg(n)是g的第n个傅里叶系数,其他条件不变,那么我们有(i)如果式(1.5)变为(ii)如果且卢=1/2,当|α|1/q或者|α|(?)/q时,我们有当时,我们有(iii)如果|α|=2(?)/q,其中k∈N且kX/4,那么式(1.9)变为
[Abstract]:In this paper , we can see this conjecture as a kind of arithmetic function . Let 位 g ( n ) be an upper bound of S ( X ) . When 尾 鈮，

本文编号：1360114