几类渗流模型的多点通量混合有限元方法及分析

发布时间：2018-01-02 17:04

本文关键词：几类渗流模型的多点通量混合有限元方法及分析　出处：《山东大学》2016年博士论文　论文类型：学位论文

【摘要】：多孔介质中,流体流动的数学模型广泛的应用于地下水和油藏模拟等领域[10,12,52].模型主要是基于流体的质量、动量和能量守恒定律得到.基于一些合理的假设,可以简化这些模型,简化后的模型在数学上表现为依赖于时间的强耦合非线性偏微分方程组.有些简化后的偏微分方程组结构复杂,只有特殊的方程组存在解析解.因此,快速高效的数值模拟这些数学模型成为了工程上的迫切需求.混合有限元(Mixed finite element或简称MFE)方法因其保持局部的质量守恒、同时求解速度和压力从而精确的近似速度、且对于处理一些系数不连续的方程表现出很好的收敛性等优点而广泛的应用于模拟多孔介质流模型,关于混合元方法的介绍及其在流体中的应用有许多文献.如[17,54,19,33,42,9,53,34,66,11,16,45,57,23,6,7,18,26].然而,由于混合元同时逼近速度和压力,故其需要解一个鞍点型的代数系统,这是混合元方法计算上的一个缺点,其大量占用计算机内存且非常耗时.针对上述问题,[58]中介绍了,在系数为对角张量及矩形网格剖分下,对速度的质量矩阵使用求积公式,混合元方法可以简化为压力的块中心有限差分(Cell-centered finite differences或简称CCFD)格式.[68]中研究了混合元与块中心有限差分之间的关系,并得到了矩形网格剖分下块中心有限差分的收敛性.[5,8]中引入了扩展混合元(Expanded mixed finite element或简称EMFE)方法,并且他们将上述结果扩展到了系数为完全张量及局部矩形网格上.尽管扩展混合元方法对于光滑网格和系数有很好的收敛性,但是在不连续的地方,需要对系数取算术平均从而导致在该处的精度有所降低.[5]中介绍了虽然可以在不连续的界面上引入压力的拉格朗日乘子来提高精度,但是这样却丧失了块中心的结构.尽管,处理粗网格和系数也有一些其他方法,例如[21,38]中分别介绍了控制体积混合有限元(Control volume mixed finite element或简称CVMFE)方法和拟有限差分(Mimetic finite difference简称MFD)方法.这两种方法的逼近空间都与最低阶的Raviart-Thomas混合有限元空间RT0相似.[24,59]及[13,14]分别给出了上面两种方法的收敛性.然而,就混合元而言,两种方法都会导出鞍点型的代数系统.[1,2,27,28]中介绍了多点通量近似(Multipoint flux approximation或简称MFA)方法,该方法具备了上述提到的方法的优点,即对于粗网格和系数表现出很好的收敛性,且可以简化为压力的块中心格式.然而,由于多点通量近似方法没有变分形式,因此该方法[43]的适定性和收敛性分析只有有限的理论结果.故找到一种既能对粗网格和系数有很好的收敛性又能解耦代数系统的方法变得十分重要.为解决上述问题,Mary F. Wheeler和Ivan Yotov在[72]中对于二阶线性椭圆问题介绍了一种混合元方法,其能解耦方程简化为压力的块中心有限差分格式,且可以精确的逼近具有完全张量矩阵、不规则的网格剖分以及不连续系数的方程.该方法是受多点通量近似方法的启发[2,28]引入子边通量,故Mary F. Wheeler和Ivan Yotov [72]称其为多点通量混合有限元方法.其逼近空间选取为最低阶的Brezzi-Douglas-Marini(BDM)混合有限元[19,17]空间,即BDM1空间.压力用分片常数逼近.例如,对于二维区域,当剖分为正三角形或正方形时,速度空间的自由度可以由每条边上任意两点的速度的法向分量值来确定；对于三维区域,当剖分为正四面体时,速度空间的自由度可以由每个面上任意三个点的速度的法向分量值来确定.对速度的质量矩阵使用一个特殊的求积公式,这样可以局部的消除速度从而导出压力的块中心有限差分格式,且导出的代数系统是对称正定的.关于多点通量混合有限元方法的文献有许多,如[72]中分别介绍了四边形和单纯形剖分下椭圆问题的多点通量混合有限元方法.[39],[70]及[69]分别讲述了六面体、曲边四边形和六面体以及一般网格剖分下椭圆问题多点通量混合有限元方法.然而我们了解到的大部分文献都是处理线性椭圆问题,对于其他问题的模拟却很少,该方法求解非线性问题的文献更少见.本文我们致力于该方法的拓展,在一般四边形剖分下,将该方法应用到几类渗流模型上,包括线性抛物问题,抛物型积分微分方程以及非线性不可压缩和可压缩Darcy-Forchheimer流问题上.文中我们首先介绍了渗流力学中流体的运动方程,给出了描述流体速度和压力梯度之间关系的Daxcy定律及Darcy-Forchheimer定律.且分别给出了不可压缩和可压缩流体简化形式的质量守恒方程.众所周知,Darcy定律是Darcy在1856年通过实验测得的经验公式,它描述了速度和压力梯度之间的线性关系.该公式在低流速、低渗透率的条件下成立[10],此时压力梯度主要用来克服粘性阻力[50,51], Darcy定律适用,关于Darcy定律的推导可参见[46,73].然而当流体的流速比较大时,流动中的惯性力作用增强,压力梯度除了克服粘性阻力外还用于克服惯性力,此时惯性力与速度的平方成正比,Darcy定律不再适用.因此,流速越大,惯性力作用越明显,这时速度和压力梯度的关系可以用Darcy-Forchheimer[32]定律来描述,关于Forchheimer方程的理论推导见[60,46,35,3,22,40,73].关于求解Darcy-Forchheimer方程方法的研究有大量的文献[47,56,48,36,44,62,67,4,4,55].本文的组织结构如下：在第一章中,首先介绍本文将要研究的多孔介质渗流问题的数学模型.分别给出了Darcy定律和Darcy-Forchheimer方程,且分别对不可压缩和可压缩流体给出了简化形式的质量守恒方程.给出了文章中用到的基本定义和常用引理以及本文理论推导需要的一些不等式.在本章的最后,我们简单介绍多点通量混合有限元方法,呈现定义该方法用到的双线性映射,BDM混合元空间以及该空间上速度和压力的投影,介绍该方法的数值积分公式,最后给出数值积分公式的求积误差.在第二章中,对于可压缩Darcy流问题,给出了多点通量混合有限元方法求解该问题的离散格式和误差分析.多点通量混合有限元方法是基于最低阶的BDM混合元空间,速度的质量矩阵用数值积分来替代,进而化简质量守恒方程为压力的块中心有限差分格式.我们给出了该模型的两种离散格式,Backward Euler格式和Crank-Nicolson格式.针对这两种逼近格式,分别给出了收敛阶分析.本章的最后还呈现数值算例来验证理论分析的正确性.在第三章中,讨论了抛物型积分微分方程的多点通量混合有限元方法.抛物型积分微分方程常见于具有记忆的材料的热传导以及粘弹性力学等问题中,它可以看作非局部反应运移的模型.关于积分微分方程的工作有很多,[29,31,30,65,41,64,49,37,63].这里我们给出了该模型多点通量混合有限元的逼近方法,包括半离散方法和全离散方法Backward Euler格式,针对两种逼近方法分别给出误差估计,最后给出数值算例来验证理论分析的正确性.在第四章中,我们将多点通量混合有限元方法应用到了一类非线性问题,即求解不可压缩的Darcy-Forchheimer流方程.给出逼近格式以及适定性的说明,值得一提的是,我们证明了Forchheimer方程中非线性项求积公式部分与L3-范数是等价的这一性质,这对于适定性分析以及后面误差估计而言都是非常重要的.我们给出了L2-范数下压力以及H(div)-范数下速度的一阶的收敛性.在本章的最后,给出了数值算例,证明了理论结果的正确性,同时数值上得到了离散压力和离散速度二阶的收敛性.在第五章中,给出多孔介质中可压缩Darcy-Forchheimer流多点通量混合有限元方法的数值格式.对于该可压缩问题,我们介绍两种逼近方法,半离散方法和全离散方法,其中针对全离散方法我们又呈现了两种逼近格式：Backward Euler格式和Crank-Nicolson格式.分别对两种方法给出了误差估计,理论分析得到了速度和压力空间上一阶,时间上Backward Euler格式一阶,Crank-Nicolson格式二阶的收敛性,在本章的最后我们还给出了数值算例加以验证.
[Abstract]:A saddle - point algebraic system is proposed in this paper , which is based on the mass , momentum and energy conservation laws of fluid . In order to solve the above problems , the degree of freedom of the velocity space can be determined by the method of multi - point flux approximation . For example , for the two - dimensional region , the degree of freedom of the velocity space can be determined by the method of the velocity of any two points on each side . In the first chapter , we introduce the equation of Darcy ' s law and Darcy ' s law . In the end of this chapter , we introduce the law of Darcy ' s law and Darcy ' s law . In the end of this chapter , we give a brief introduction to the equation of Darcy ' s law and Darcy ' s law . In this chapter , we also give a numerical example to verify the convergence of the first order and the Crank - Nicolson format on the first order and the Crank - Nicolson format .

【学位授予单位】：山东大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2016
【分类号】：O241.82

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