倒向随机微分方程的可解性研究

发布时间：2018-01-04 12:23

  本文关键词：倒向随机微分方程的可解性研究　出处：《山东大学》2017年博士论文　论文类型：学位论文

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【摘要】：在文[75]中,Pardoux和Peng引入了下面形式的非线性倒向随机微分方程(简记为:BSDEs):并证明了若ξ是平方可积,生成元f关于(y,z)是Lipschitz的,则BSDE(1)存在唯一的适应解。从那时起,倒向随机微分方程在许多领域逐渐变成了一个重要的数学工具,例如:金融数学、随机微分博弈、最优控制、偏微分方程等等。由于这些原因,人们做了很多工作来减弱生成元f的Lipschitz条件。在本文中,我们主要讨论BSDE(1)的可解性。我们首先在第一章中讨论当生成元f满足一类一致连续条件时,多维BSDEs的可解性问题。为了得到我们的结果,由f关于(y,z)的一致连续性,我们首先构造出一列在整个平面(y,z)上一致收敛到f的Lipschitz函数列{fn}n≥0。其主要难点是如何证明(yn,zn)收敛到BSDE(1)的解。为了证明(yn,zn)n≥0的收敛性,对于任意给定的(yn,zn)n≥0和(ym,zm)m≥0,其中n ≠ m,不同于以前的方法应用Girsanov变换削去控制项z,我们通过证明|yn-ym|是有界的,进而通过一个ODE的解去控制|yn-ym|,由此我们将证明序列(yn,zn)n≥0收敛到BSDE(1)的解。通过同样的方法,我们证明了 BSDE(1)的解也是唯一的。第二章,我们研究一类线性增长的多维BSDEs的可解性。我们通过引入一个随机过程的包络的概念,构造一族随机型微分方程,它们既可以看成BSDEs,也可以看成倒向常微分方程,使得它们的解在相应的子停时区间上能够控制|yn-ym|。通过改变随机型微分方程终端时间和终端值,我们将证明序列(yn,zn)n≥0收敛到BSDE(1)的解。类似地,我们证明BSDE(1)的解也是唯一的。在第三章中,借助于第二章中引入的方法,我们证明了一类二次增长的BSDEs的解的存在唯一性。在第四章中,我们将用惩罚函数方法证明在一般的反射边界条件下,双边反射倒向随机微分方程有唯一的适应解。为了解双边反射倒向随机微分方程,以前的方法在本质上是借助于单边反射倒向随机微分方程的结论,然后对另一边采用惩罚函数法,即把双边反射问题转化成单边反射问题。在本章中,我们借助于文[43]中局部解的概念,在一个充分必要条件下,对双边同时采用惩罚函数方法并证明了双边反射倒向随机微分方程有唯一的平方可积解。作为该方法的一个应用,我们将用该方法证明解耦的满足线性增长条件的双边反射正倒向随机微分方程是可解的。不用借助于单边反射倒向随机微分方程的结果,我们用惩罚函数方法直接处理了双边反射倒向随机微分方程,这说明了双边反射倒向随机微分方程在本质上可以看成是没有反射边界的倒向随机微分方程。本文共分为五章,以下是本文的主要结论。第一章:在本章中,我们研究一致连续系数的多维倒向随机微分方程的可解性,在下面的条件下:(H1.1).随机变量ξ ∈ L2(Ω,F,P),过过程(·,·,0,0),(0 ≤t≤1)属于2,2且对任意的(y,z)∈Rd× d×m,随机过程(f(·,·,y,z))0 ≤t≤1是P-可测的。(H1.2).(i)存在一至多线性增长的连续的非降函数Φ:R+→R+满足Φ(0)= 0以及Φ(x)0,(?)x ∈(0,+∞),使得:(ii)存在一至多线性增长的连续函数Ψ:R+→R+ 满足Ψ(0)= 0,且在0的一个邻域内是凸的,使得:其中‖z‖ =[tr(zz*)]1/2,z*表示z的转置。我们证明:定理0.1.若ξ ∈L2(Ω,F,P),函函数满足假设条条件(H1.1)和(H1.2),则在S2,d×H2,d×m中存在唯一的一对适应过程(y,z),使得第二章:在这一章,我们研究一类线性增长的多维BSDEs的解的存在唯一性,即在下面的条件下:(H2.1).随机变量ξ ∈L2(Ω,F,P),过程过(f·,·,0,0),(0 ≤ t ≤ 1)属且对任意的(y,z)∈Rd×Rd×m,随机过程(f(·,·,0,y,z))0≤t≤1是P-可测的。(H2.2).生成元f关于(y,z)是线性增长的,即存在一个非负常数K使得对于任意的(t,ω),我们有|f(t,w,y,z)| ≤ K(1 + |y| + |z|)。(H2.3).对于任意的i ∈{1,2,…,d},fi(t,y,z)= fi(t,y,zi),即fi仅依赖赖于的第i行向量zi。(H2.4).对于P-a.s.ω ∈ Ω,存在一线性增长的连续的非降函数Φ:R+ → R+满足Φ(0)= 0以及Φ(x)0,(?)x ∈(0,+∞),使得我们得到:定理0.2.若ξ∈L2(Ω,F,P),函数f满足假设条件(H2.1)-(H2.4),则S2,d×H2,d×m中存在唯一的一对适应过程(y,z),使得第三章:在这一章,我们研究一类满足二次增长的多维BSDEs的可解性,在下面的条件下:(H3.1).随机变量ξ∈L2(Ω,F,P)过程f(·,·,0,0),(0 ≤ t ≤ 1)属于H2,d 且对任意的(y,z)∈Rd × Rd×m 随机过程(f(·,·,y,z))0≤ t ≤1是P-可测的。(H3.2).对于任意的i∈{1,2,…,d},fi(t,y,z)=fi(t,y,zi),即fi作为z的函数仅依赖于z的第i行zi。(H3.3).存在一至多线性增长的连续的非降函数Φ:R+ → R+满足Φ(0)= 0以及Φ(x)0,(?)x ∈(0,+∞),使得:并且.f0+[Φ(x)]-1dx = +∞。(H3.4).存在一个非负常数K使得对于任意的i ∈ {1,2,…,d},我们有P-a.s.我们可得:定理0.3.假设ξ∈L2(Ω,F,P),f满足假设(H3.1)-(H3.4)从若下面的BSDE的解存在,则必然唯一。第四章:在这一章中,我们用惩罚函数方法研究双边反射BDSEs的可解性,并将相应的的方法和结果应用到满足线性增长条件的双边反射的解耦的正倒向随机微分方程。其中H是一连续的半鞅且满足性质:E[f0T h(s)2ds]+∞,若过程At的全变差过程记为St,则有E[ST2]+∞。定理0.4.若生成元g是Lipschisz的,反射边界L,U满足条件LU,L(T)≤ξ≤ U(T),a.s.,以及假设(H4.1),则存在唯一的过程(y,z,K+,K-)∈L2(1;0,T)×L2(1×d;0,T)×S2ci×S2ci使得:定理0.5.若方程(4.29)的生成元g(s,x,y,z)满足假设(H4.2),且关于y和z满足Lipschitz条件,则存在可测的确定函数a:[0,T]×Rl→ Rm和β:[0,T]×Rl → Rm×d,使得对于任意的0 ≤ t ≤ s ≤ T,Yt,x(s)= α(s,Xt,x(s)),Zt,x(s)=β(s,Xt,x(s))。定理0.6.在(H4.2)假设条件下,(Y,Z,K+,K-)是双边反射BSDE(4.29)的解。
[Abstract]:In [75], Pardoux and Peng introduced the nonlinear backward stochastic differential equation of the following form (abbreviated as BSDEs), and that if x is a square integrable, the generator f on the (y, z) Lipschitz, BSDE (1) is the only solution to adapt. From then on, backward stochastic differential equation has become an important mathematical tool in many scientific fields such as: financial mathematics, stochastic differential game, optimal control, partial differential equations and so on. Because of these reasons, people do a lot of work to reduce the generators of F Lipschitz. In this paper, we mainly discuss the BSDE (1) solution. In the first chapter, we discuss when the generator f satisfies a uniform continuity conditions, solvability of multidimensional BSDEs. In order to obtain our results by about f (y, z) of the uniform continuity, we first constructed a column in the plane (y, z). Converge to f 鐨凩ipschitz鍑芥暟鍒梴fn}n鈮，

本文编号：1378505