关于左对称代数胚的若干研究

发布时间：2018-01-08 06:04

  本文关键词：关于左对称代数胚的若干研究　出处：《吉林大学》2016年博士论文　论文类型：学位论文

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【摘要】：本文主要研究了左对称代数胚、预辛代数胚、左对称双代数胚、左对称代数胚的Manin三元组,建立了左对称代数胚与李代数胚,预辛代数胚与辛李代数胚,左对称双代数胚与预辛代数胚的紧密联系。更重要的是,我们将仿Kahler李代数胚和Hessian几何应用到左对称双代数胚相关理论中去。我们引入左对称代数胚的概念,它是左对称代数的推广：从一个向量空间到一个向量丛。左对称代数胚A的交换子给出了李代数胚Ac,我们称之为邻接李代数胚,左对称代数胚A的左乘给出了邻接李代数胚Ac的一个表示。我们从李代数胚的O-算子构造左对称代数胚,并将左对称代数胚的乘法从r(A)延拓到Γ(A·),得到一个分次的李容许代数,它的交换子刚好是邻接李代数胚Ac的Schouten括号构成的分次李代数。我们用左对称代数胚研究了李代数胚的相空间,并证明了在左对称代数胚A的邻接李代数胚Ac上有一个自然的相空间(P,[·,·]P,aP,ω),其中P=Ac(?)L*,A*,对 于x,y∈Γ(A),ζ,η∈Γ(A*),P上的李代数胚结构如下：辛结构ω定义如下：并证明了在相空间P上有一个自然的仿复结构P：P—}P定义如下：进一步,如果这个左对称代数胚是伪黎曼左对称代数胚(A,(·,·)+),其中(·,·)+是左对称代数胚A上的伪黎曼度量,则在这个相空间P上有一个自然的复结构J：P→P定义如其中φ：A→A*由伪黎曼度量(·,·)+诱导的,即并使得{J,P}是相空间P上的复积结构,即满足JP=-PJ。如果(·,·)+是左对称代数胚A上的黎曼度量,则{J,ω}是相空间P上的Kahler结构,使得P是一个Kahler李代数胚。我们详细的讨论了左对称代数胚的表示,构建了左对称代数胚的上同调理论。我们引入了一个新的上同调：左对称代数胚的形变上同调,证明了左对称代数胚的二阶形变上同调群可以控制左对称代数胚的形变。我们引入了Nijenhuis算子的概念,它可以生成一个平凡形变。我们建立了左对称代数胚的微分理论,定义了李导数和缩并,并证明了类似于经典流形上的微分公式,为进一步对左对称代数胚的研究奠定了基础。我们引入了预辛代数胚的概念,并证明了如果(E,, p,(·,·)-)是预辛代数胚,则(E.[·.·]E,ρ,ω=(·,·)-)是辛李代数胚,其中反过来,如果(E,[·,·]E,ρ,ω)是辛李代数胚,则(E,.ρ,(·,·)-=ω)是预辛代数胚,并且满足其中乘法定义为：我们引入了预辛代数胚中Dirac结构的概念,证明了预辛代数胚(E,,ρ,(·,·)-)的Dirac结构与相应的辛李代数胚(E,[·,·]E,ρ,ω=(·,·))的拉格朗日子代数胚是一一对应的。我们研究了仿复预辛代数胚,并证明了如果(E,, p,(·,·)-,P)是一个仿复预辛代数胚,则(E,[·,·]E,ρ,ω(·,·)-,P)是一个仿Kahler李代数胚。反过来,如果(E,[·,.]E,ρ,ω,P)是个仿Kahler李代数胚,则(E,,ρ,(·,·)-=ω,P)是一个仿复预辛代数胚。另外,如果(E,(?),ρ(·.·)-,P)是一个仿复预辛代数胚,则(E,g)是一个伪黎曼李代数胚,其中伪黎曼度量如下给出：并且证明了仿复预辛代数胚的乘法与相应伪黎曼李代数胚的Levi-Civita联络在拉格朗日子代数胚上的限制是一致的。我们对恰当的预辛代数胚进行了研究,并证明了恰当的预辛代数胚可由左对称代数胚的三阶上同调群进行分类。我们引入了左对称双代数胚的概念,并证明如果(A,·A,aA)是一个左对称代数胚,对于任意H ∈Sym2(A)满足S-方程,即[H,H]=0,则(A*,·H,αA*=αA○H#)是一个左对称代数胚,其中H@：A*→A定义为：H@(ζ)(η)=H(ζ,η),乘法·H定义如下：H@是左对称代数胚(A*,·H,αA*)和(A,·A,aA)间的同态,并且(A,A*)是左对称双代数胚。特别的,如果(M,%，

本文编号：1395893