关于临界非线性方程组的基态解
本文关键词：关于临界非线性方程组的基态解 出处：《清华大学》2016年博士论文 论文类型：学位论文
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【摘要】：20年前,关于Bose-Einstein凝聚(简称BEC)的预言在实验中被证实.此后,与BEC相关的问题更是受到了广泛关注.本文旨在考虑如下临界情形的非线性Schr?dinger方程组(简称NLSS)其中0≤t2,0≤s≤1,μ_1,μ_20,α,β≥1且α+β=2*s(t):=(?),L_1,L_2为线性算子.针对线性算子L_1和L_2,主要考虑三种情况,即通常的Laplacian算子L_1=-?-λ_1,L_2=-?-λ_2,带有磁场的Laplacian算子L_1=-?_A-λ_1,L_2=-?_B-λ_2,和涉及分数阶的Laplacian算子L_1=-(-?)~s-λ_1,L_2=-(-?)~s-λ_2.对于通常的NLSS,为叙述方便,把不含奇异项(t=0)和含有奇异项(0t2)的情形分开来讨论,同时也考虑了耦合项幂次之一等于1(α=1或β=1)的情况,这导致在得到正解的存在性时,需考虑一个合适的修正泛函.对于带有磁场的NLSS,为叙述简洁,把不含奇异项(t=0)和含有奇异项(0t2)的情形合在一起讨论,同时也考虑了单个方程的基态解的存在性,这里主要是附加适当的条件以消除磁场的“干扰”.对于涉及分数阶的NLSS,本文考虑了不含奇异项(t=0)的情形,由于分数阶Laplacian算子的非局部性,在进行能量估计时,需要比前两种NLSS所作的估计更为精细,处理起来也更加复杂,并且需要运用分数阶版本的相关结论先研究清楚其所对应的极限问题的解的相关性质.因为本文所考虑的NLSS中的非线性项都是临界的,所以主要工作就是应用“梯度模”和“临界模”对于伸缩的不变性,对NLSS所对应的极限问题的极值函数进行伸缩和截断,通过一系列的能量估计来克服紧性的缺失问题.运用变分原理、Nehari流形方法、山路定理、集中紧原理和极值原理等方法,在适当的条件下,得到这三种NLSS的基态解的存在性。
[Abstract]:In this paper , we consider the existence of the fundamental solution of the fractional order . In this paper , we also consider the existence of the fundamental solution of the fractional order . In this paper , we consider the existence of the basic solution of the fractional order .
【学位授予单位】：清华大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2016
【分类号】：O175
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，本文编号：1422627
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