几类退化Keller-Segel方程一致L~∞有界弱解的存在性

发布时间：2018-01-14 21:30

  本文关键词：几类退化Keller-Segel方程一致L~∞有界弱解的存在性　出处：《吉林大学》2017年博士论文　论文类型：学位论文

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【摘要】：现如今,随着交叉学科研究风靡全世界,越来越多的数学家开始关注其他学科的模型,例如生物模型,化学模型和物理模型.在这篇文章中,我们将研究一个非常有趣的关于细菌趋化性的生物数学模型:Keller-Segel模型.Keller-Segel模型是由Keller和Segel在1970年[1,2]提出的,它主要描述的是网柄菌的生物趋化性.在这个模型中,细菌被一种化学物质所吸引,并且可以释放出同一种化学物质.我们研究的主要目标是对于两种不同的退化Keller-Segel模型,证明其弱解的全局存在性.这篇文章的主要内容如下:在第一章中,我们介绍了 Keller-Segel模型的背景信息.通过叙述原始模型的构造过程,我们希望读者能够更深入而全面的了解Keller-Segel模型.我们还列出了一些著名的简化模型以及优雅的结果,旨在向读者展示Keller-Segel模型的动人之处,从而吸引更多的人投身到研究中来.随后,我们陈述了此文灵感的来源,克服的困难以及得到的结论.我们还在这一章中给出了一些尚未解决的问题.在第二章中,我们研究了如下的退化抛物-抛物Keller-Segel模型:这里d≥3,扩散指数0m2-2/d其中,u(x,t)表示细菌的密度,v(x,t)表示化学物质的浓度.不失一般性地,我们假设v(x,0)= 0,即最初的容器中并没有化学物质,随后由细菌产生.为了证明弱解的全局存在性,我们首先要得到先验估计.对于已经被广泛研究的退化抛物-椭圆Keller-Segel方程,具有最佳常数的Hardy-Littlewood-Sobolev不等式是进行估计的关键:然而在退化的抛物一抛物Keller-Segel方程中,HLS不等式不再适用,因为v(x,t)无法由基本解的形式表出.因此,我们利用半群理论代替HLS不等式进行先验估计.以下关于半群的定义及估计是标准的.考虑柯西问题:定义0.0.1.设T＞0，p≥1(?)以及(?).函数(?)满足是问题(2)在[0,T]上唯一的温和解.这里热半群算子et△为(?),其中G(x,t)是热核即(?)不难证明,上面定义的温和解也是方程的一个弱解.接下来,我们介绍一个著名的热核的最大Lp模正则性结论,它是进行先验估计的关键.引理 0.0.1.假设 1p+∞,T0.那么对每一个 f ∈ Lp(0,T;Lp(Rd)),方程(2)在Lp(0,T;Lp(Rd))的意义下,有且仅有一个解h(x,t)满足h0(x)=0.进一步地,对所有的f∈Lp(0,T;Lp(Rd)存在一个只与p有关的正常数Cp,使得现在,应用最大Lp模正则性以及一些标准估计,我们得到了方程(1)弱解的先验估计：众所周知,弱解的L1模和L∞模有界是两个非常重要的性质.在进行先验估计的过程中,我们能够得到弱解的质量守恒.接下来,我们将应用Bootstrap迭代的方法证明弱解的L∞模是一致有界的.根据上面所得到的弱解的先验估计,我们能够通过构造(1)的正则化问题来证明方程弱解的全局存在性,即证明第二章的主要定理.我们考虑如下的正则化问题:对ε0,其中d ≥ 3,0m2-2/d对初值u0ε(x)进行适当的假设,我们能够证明正则化问题存在一个经典解且满足定理0.0.1中所有的先验估计.在整个证明的过程中,我们主要遇到的困难是无法应用Aubin-Lions引理证明强收敛,因为只得到了的一致有界性而不是%絬ε模的.因此,我们需要应用Aubin-Lions-Dubinskii引理[3]:引理0.0.2.设B,Y是Banach空间,M+是B中的一个非负半赋范锥,且满足M+ ∩Y≠(?),1≤p≤∞.如果(i)M+→B是紧的,(ii)对所有(ωn)(?)B,当n → ∞时,在B中有ωn→ω,在Y中有ωn→ 0,则ω = 0,(iii)U(?)Lp(0,T;M+ ∩ Y)且在 Lp(0,T;M+)中有界,(ⅳ)当 h→0 时,在 u ∈ U 中 一致地有 ||u(t+h-h)-u(t)||Lp(0,T-h;Y)→0,那么U在Lp(0,T;B)中是相对紧的.为了应用Aubin-Lions-Dubinskii引理,我们选取B = Lp(Ω),并构造是一个满足下面定义的Lp+1中的非负半赋范锥.定义0.0.2.设B是一个Banach空间,M+(?)B满足(1)对所有的u ∈M+,C≥0有有Cu ∈M+,(2)存在函数[·]:M+ →[0,∞),使得当且仅当u = 0时,[u]= 0,(3)对所有C≥0,有[Cu]= C[u],那么M+是B中的一个非负半赋范锥.从而,应用Aubin-Lions-Dubinskii引理,我们可以逐步的证明全局弱解的存在性.此外,当1m2-2/d时,弱解还是一个弱熵解.我们已经列出了证明第二章中存在性定理的重要思想,现在我们给出定理的完整叙述:在第二章的最后,我们证明了弱解的局部存在性并给出了一个爆破准则.当0m2-2/d时,退化抛物-抛物Keller-Segel方程弱解的有限时间爆破仍然是一个公开问题.第三章,我们在d ≥ 3的情况下提出了 p-Laplace Keller-Segel方程:其中p1.这个模型是退化抛物-椭圆Keller-Segel模型的一个自然延伸,因为多孔介质方程和p-Laplace方程都叫作非线性扩散方程.二者虽然属于不同的领域,但在描述的现象上,使用的技巧上以及获得的结果上都有很多重合之处.在这个p-Laplace Keller-Segel方程中,我们找到了一个临界指数p,它与方程(1)中的m = 2-2/d扮演相同的角色.当p=3d/d+1时,如果(u,v)是方程(5)的一个解,我们构造u的质量守恒坐标变换以及相应的v的坐标变换那么(uλ,vλ)也是方程(5)的一个解.因此,我们将p = 3d/d+1称为临界指数.对一般的p,(uλ,vλ)满足如下的方程根据p的不同取值,我们将问题分为超临界情形和次临界情形.当1p3d/d+1时,我们称为超临界情形.在超临界问题中,当细菌密度很高时,聚合作用强于扩散作用,导致有限时间爆破;当细菌密度很低时,扩散作用强于聚合作用,导致无限时间的传播.相应地,当p3d/d+1时,我们称为次临界情形.在次临界问题中,当细菌密度很高时,扩散作用强于聚合作用,阻止了有限时间爆破;当细菌密度很低时,聚合作用强于扩散作用,从而阻止了无限时间的传播.在第三章中,我们的主要目的是在超临界大初值假设下,证明方程(5)弱解的全局存在性.为了证明定理,我们首先要进行先验估计:对于p-LaplaceKeller-Segel方程,我们并没有像第二章一样得到u的质量守恒,这是一个公开问题.但是使用Bootstrap迭代方法,我们同样能够得到方程(5)弱解的L∞一致有界性.证明过程中的主要思想与定理0.0.2基本相同,但细节上却存在很大差异.得到弱解的先验估计后,我们构造方程(5)对应的正则化问题来证明本章中最主要的存在性定理:对于ε0这里α(d)是d-维单位球的体积.对初值u0ε(x)进行适当的假设,我们能够证明正则化问题存在一个经典解且满足定理0.0.4中所有的先验估计.那么结合Aubin-Lion引理得到的强收敛以及一致有界估计得到的弱收敛,我们能够证明第三章的主要定理:定理0.06.设d≥3,1p3d/d+1,q=d(3-p)/p.如果u0∈L+1(Rd)∩L∞(Rd),A(d,p)=Cp,d3-p-‖u0‖Lq3-p0,其中Cp,d=[qpp/Kp(d,p)(q-2)+p)p]1/3-p是一个常数,那么方程(5)存在一个非负的全局弱解(u,v),使得定理0.04中所有的先验估计以及定理0.05中的L∞一致有界估计都成立.定理的证明过程中,困难的部分是用单调算子理论得到非线性项的极限.下面的引理是单调算子的一个重要性质:引理0.0.3.对任意η,η'∈Rd,下列不等式成立其中C1和和C2是两个只依赖于p的正数.当1p3d/d+1时,p-Laplace Keller-Segel方程弱解的有限时间爆破仍然是有待解决的问题。
[Abstract]:Now, with the interdisciplinary research has swept the world, more and more mathematicians began to pay attention to other disciplines such as model, biological model, chemical model and physical model. In this article, we will study a very interesting about the bacterial chemotaxis biological mathematical models: Keller-Segel model.Keller-Segel model is put forward by Keller and Segel [1,2] in 1970, it mainly describes the Dictyostelium biological chemotaxis. In this model, the bacteria are attracted by a chemical substance, and can release the same chemicals. The main goal of our research is for two different kinds of degenerate Keller-Segel model prove that the weak global existence of solutions. The main contents of this article are as follows: in the first chapter, we introduce the background information of the Keller-Segel model. Through the construction process described the original model, I hope to read Who can understand the Keller-Segel model is more in-depth and comprehensive. We also list some famous simplified model and elegant results, to show readers the beauty of the Keller-Segel model, in order to attract more people to participate in the study. Then, we presented the sources of inspiration, overcome difficulties and get the conclusion we are still. This chapter gives some unsolved problems. In the second chapter, we study the degenerate parabolic parabolic Keller-Segel model as follows: here D is more than 3, the diffusion index 0m2-2/d the U (x, t) said the bacterial density, V (x, t) said the chemical concentration without loss of generality, we assume that V (x, 0) = 0, which is the first container and no chemical substances produced by bacteria. Then, in order to prove the global existence of weak solutions, we must first obtain a priori estimates for has been widely studied Degenerate parabolic elliptic Keller-Segel equation, Hardy-Littlewood-Sobolev inequality with a best constant is the estimation of the key: but in the degradation of a parabolic parabolic Keller-Segel equation, HLS inequality is no longer applicable, because V (x, t) which could form the fundamental solution. Therefore, we use the theory of Semigroups of transcendental inequality instead of HLS the following about semigroup estimates. The definition and estimation is standard. Consider the Cauchy problem: the definition of 0.0.1. T > 0, P = 1 (?) and (?). The function (?) meet the problem (2) in [0, only a mild solution of T]. This heat semigroup et Delta for (?), G (x, t) is the thermonuclear (?) it is not difficult to prove that the above definition of mild solution is a weak solution of the equation. Then, we introduce the maximum Lp mode regularity conclusion of a famous thermonuclear, it is a priori estimation key lemma 0.0.1. hypothesis. 1p+ ~ T0., so on 姣忎竴涓，

本文编号：1425413